高二数学第三次月考（北京专用，空间向量与立体几+直线与圆+圆锥曲线）2024-2025学年高中上学期第三次月考1.zip

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：空间向量与立体几何30%+直线与圆30%+圆锥曲线40%（人教A版）
5．难度系数：0.67。
第一部分（选择题 共40分）
选择题：本题共10小题，每小题2分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线与直线 平行，则直线l 的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．设α，β是两个不同的平面，直线，则“对β内的任意直线l，都有”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图，空间四边形OABC中，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
6．已知空间向量，，，若四点共面，则实数x的值为（ ）
A．B．0C．D．2
7．已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知圆，直线，为圆上一动点．为直线上一动点，定点，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知圆与双曲线的一条渐近线交于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
10．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点P在C上，垂直l于点Q，直线与C相交于M、N两点．若M为靠近点F的的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题 共110分）
填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知直线在轴上的截距为1，则 .
12．已知向量，，则在方向上的投影向量的模为 .
13．已知直线：，则直线过定点 ；若直线与两坐标轴围成的三角形的面积为，则这样的直线有 条．
14．祖暅（公元5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家.他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”.这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等；该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年.椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立.据此，为，为的椭球体的体积是 .

15．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（ ）
①．曲线关于坐标原点对称
②．曲线上的点到原点的最大距离为
③．四叶草曲线所围的区域面积大于
④．四叶草曲线恰好经过1个整点（横、纵坐标均为整数的点）
三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本题满分13分）已知直线l过点A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为1.
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若直线l1与直线l平行，且l1与l间的距离为2，求直线l1的方程.
17．（本题满分14分）如图，正方体的棱长为2，E为的中点.点M在上.

(1)求证：平面；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定.
求直线与平面所成角的大小，及点E到平面的距离.
条件①：
条件②：
条件③：平面
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．（本题满分14分）已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
19．（本题满分14分）已知点在椭圆上，动点都在椭圆上，且直线不经过原点，直线经过弦的中点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线的斜率．
20．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面，．
(1)求证：平面PAB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱AP上是否存在点，使得平面MBC与平面PCD所成角余弦值为?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（本题满分15分）已知椭圆过点，且离心率为．设，为椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求证：直线与的斜率之积为定值；
(3)判断三点，，是否共线：并证明你的结论．