2024年陕西省西咸新区沣西实验学校中考数学一模试卷（3月份）（含答案）

这是一份2024年陕西省西咸新区沣西实验学校中考数学一模试卷（3月份）（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列实数中，最大的是（ ）
A．B．C．0D．|﹣3|
2．（3分）搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．航天神舟B．中国行星探测
C．中国火箭D．中国探月
3．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．6x+5y＝11xyB．（﹣x+y）（x+y）＝y2﹣x2
C．2x2（x2y+1）＝2x4y+1D．2x2y•3x2y＝5x4y2
4．（3分）如图，将含30°角的三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝35°（ ）
A．80°B．65°C．60°D．55°
5．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝1（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，则csB的值是（ ）
A．B．C．D．2
7．（3分）如图，这是一扇拱形门的示意图，BC为门框底，AB＝BC＝CD＝2m，门框顶部是一段圆心角为90°的圆弧的中点，则点E到门框底BC的距离是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）如图，这是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则化简|a﹣b+c|﹣|a+b|的结果是（ ）
A．﹣2a﹣cB．c﹣2bC．2a+cD．2a﹣b+c
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）因式分解：7x2﹣7＝ ．
10．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠1的度数是 ．
11．（3分）“今有邑方二百步，各开中门，出东门一十五步有木，如图，大意是今有正方形小城市，东门在CD的中点M处，南门在BC的中点N处，则从南门N往正南方向走 步能见到这棵树．
12．（3分）如图，点A，B在双曲线上，y轴的垂线，垂足分别为D，C，y轴的垂线，垂足分别为F，BE相交于点G，四边形OEGD的面积为2， ．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，AD＝8，AG＝2，E是边CD上的一动点，F为AE的中点，则AF+GF的最小值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解不等式组：
15．（5分）计算：．
16．（5分）先化简：，再在﹣1，1，2中选择一个合适的数代入求值．
17．（5分）如图，点E，F在正方形ABCD的边AB，请用尺规作图法，在AD，N，使得MN⊥EF且平分正方形ABCD的面积．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）如图，∠B＝∠D，BC∥AE，点C在线段AD上，求证：AC＝AE．
19．（5分）一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标记数字﹣2，﹣1，0，2
（1）若从袋子中随机选出1个小球，则小球上的数字是正数的概率是 ．
（2）若从袋子中先随机选出1个小球，不放回，再从袋子中随机选出1个小球，求所选的2个小球上的数字之积是正数的概率．
20．（5分）某学校组织师生乘坐同一型号的大巴车前往宝塔山研学，若安排5辆大巴车，则有18人没有座位，则有17个空座位，求参加研学的师生人数．
21．（6分）如图，在海面上，点B处有一艘供给船，供给船从点B向北偏东68°方向行驶了100海里到达补给点C，卸载完物品后接着向北偏西7°继续行驶，此时点A恰好在点B的北偏东23°位置上，则A（结果保留根号）
22．（7分）一根弹簧在竖直且不挂物体状态下长为5cm，随着所挂物体质量的增加，弹簧长度随之增加．已知所挂物体质量小于15kg，弹簧长度为9.5cm，设物体质量为x kg
（1）当0＜x＜15时，求y关于x的函数表达式．
（2）当弹簧长度为23cm时，求所挂物体的质量．
23．（7分）某中学为了提高同学们的消防意识，增强消防安全，特邀请消防支队到学校开展消防安全讲座和组织实操演习，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表
七、八年级竞赛成绩统计表
（1）根据以上信息：a＝ ，b＝ ，并将七年级竞赛成绩统计图补充完整．
（2）若学校七、八年级共有500人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上为优秀，请估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的人数．
24．（8分）如图，在△ABC中，点E在AC上，⊙O过点A且与BC相切于点B，与AE相交于点F，．
（1）求∠AEB的度数．
（2）若，求AC的长．
25．（8分）如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，A，B两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C，D为桥面钢丝的固定点，C，已知．
（1）以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，垂直于MN的直线为y轴构建平面直角坐标系
（2）现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，为了广告效果，海报顶边的两个顶点在钢拱圈上，求海报的面积．
26．（10分）（1）在等边三角形ABC中，点M，N分别在AB，AM＝CN，当AM＝ AC时，△AMN为等边三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠B＝120°，求△ABC面积的最大值．
（3）如图2，在一块四边形土地ABCD上，准备搭建光伏基地，△CMN为光伏逆变器安装区域，阴影部分为光伏太阳能板安装区域，∠BAD＝2∠B＝120°，点E在AD的中点上，M，AN＝2CM，按照设计要求（即△CMN的面积）需要尽可能大，试求光伏太阳能板的占地面积的最小值．（结果保留根号）
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列实数中，最大的是（ ）
A．B．C．0D．|﹣3|
【解答】解：|﹣3|＝3，
∵8＜9，
∴.＜，
∴，
即＜|﹣3|，
那么﹣＜0＜，
则最大的数为|﹣8|，
故选：D．
2．（3分）搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭于2023年10月26日成功发射升空，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．航天神舟B．中国行星探测
C．中国火箭D．中国探月
【解答】解：由题意可知，选项C的图形能绕某一点旋转180°后与原来的图形重合；
选项A、B、C的图形不是中心对称图形；
故选：C．
3．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．6x+5y＝11xyB．（﹣x+y）（x+y）＝y2﹣x2
C．2x2（x2y+1）＝2x4y+1D．2x2y•3x2y＝5x4y2
【解答】解：A、6x与5y不能合并；
B、（﹣x+y）（x+y）＝y4﹣x2，故B符合题意；
C、2x6（x2y+1）＝5x4y+2x3，故C不符合题意；
D、2x2y•3x2y＝6x6y2，故D不符合题意；
故选：B．
4．（3分）如图，将含30°角的三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝35°（ ）
A．80°B．65°C．60°D．55°
【解答】解：
∵EF∥MN，∠1＝35°，
∴∠1＝∠3＝35°，
∵∠A＝30°，
∴∠2＝∠A+∠3＝65°，
故选：B．
5．（3分）若关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝1（ ）
A．0B．1C．2D．﹣1
【解答】解：，
①﹣②得：2x﹣5y＝5k﹣3，即3（x﹣y）＝5k﹣3，
∵x﹣y＝3，
∴5k﹣3＝7
∴k＝1．
故选：B．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，则csB的值是（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，得
AB＝＝．
由锐角的余弦，得csB＝＝＝，
故选：B．
7．（3分）如图，这是一扇拱形门的示意图，BC为门框底，AB＝BC＝CD＝2m，门框顶部是一段圆心角为90°的圆弧的中点，则点E到门框底BC的距离是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：连接AD，设圆弧的圆心是O，连接OA，
∴OH＝AD＝，E是圆弧的中点，
∵OA＝OB，OE⊥AD，
∴∠AOH＝∠AOD＝，
∴△OAH是等腰直角三角形，
∴AH＝OH＝8m，
∴OA＝AH＝，
∴OE＝OA＝m，
∴EH＝OE﹣OH＝（﹣1）m，
∵AB＝6m，
∴点E到门框底BC的距离是2+﹣7＝（．
故选：B．
8．（3分）如图，这是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，则化简|a﹣b+c|﹣|a+b|的结果是（ ）
A．﹣2a﹣cB．c﹣2bC．2a+cD．2a﹣b+c
【解答】解：由图形可知，a＜0，b＞0＝1，
∴a+b＝a+（﹣2a）＝﹣a＞7，
当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，
∴|a﹣b+c|﹣|a+b|＝﹣a+b﹣c﹣（a+b）＝﹣a+b﹣c﹣a﹣b＝﹣2a﹣c，
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）因式分解：7x2﹣7＝ 7（x+1）（x﹣1） ．
【解答】解：原式＝7（x2﹣5）
＝7（x+1）（x﹣4），
故答案为：7（x+1）（x﹣5）．
10．（3分）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠1的度数是 108° ．
【解答】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠CBA＝∠BAE＝＝108°，
∴∠ABE＝∠BAC＝＝36°，
∴∠1＝180°﹣∠BAC﹣∠ABE＝108°．
故答案为：108°．
11．（3分）“今有邑方二百步，各开中门，出东门一十五步有木，如图，大意是今有正方形小城市，东门在CD的中点M处，南门在BC的中点N处，则从南门N往正南方向走 步能见到这棵树．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，DC长200步、南门点N分别是DC，
∴BC⊥DC，CN＝CG＝，
∵NH⊥BC，
∴NH∥DC，
∴∠GCE＝∠NHC，
∵EG⊥GC，NH⊥CN，
∴∠EGC＝∠CNH＝90°，
∴△EGC∽△CNH，
∴＝，
∴，
解得：x＝．
故答案为：．
12．（3分）如图，点A，B在双曲线上，y轴的垂线，垂足分别为D，C，y轴的垂线，垂足分别为F，BE相交于点G，四边形OEGD的面积为2， 5 ．
【解答】解：由题意可知：AC＝EG＝OD，OE•OD＝2，
∵，
∴OE＝，
∴•OD＝2，
∴OC•OD＝8．图象在第一象限，
∴k＝5．
故答案为：5．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，AD＝8，AG＝2，E是边CD上的一动点，F为AE的中点，则AF+GF的最小值为 ．
【解答】解：取AD的中点H连接BH，
∵BC＝4，AD＝8，
∴AH＝HD＝BC＝6，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BH∥CD，
∴BH与AE的交点就是AE的中点F，
连接CH，
∵AD∥BC，AH＝BC，AB＝BC＝4，
∴四边形ABCH是正方形，
∴A，C关于BH对称，
连接CF，CG，
则AF＝CF，
∴AF+GF＝CF+GF≥CG，
即AF+GF的最小值为CG的长，
在Rt△CGH中，
CH＝AB＝4，GH＝AH﹣AG＝3﹣2＝2，
由勾股定理，得CG＝＝＝，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）解不等式组：
【解答】解：由2x+3≥7得：x≥2.5，
由x﹣3＜5得：x＜9，
则不等式组的解集为5.5≤x＜9．
15．（5分）计算：．
【解答】解：
＝2×﹣（
＝﹣+7﹣
＝．
16．（5分）先化简：，再在﹣1，1，2中选择一个合适的数代入求值．
【解答】解：
＝•
＝•
＝
＝，
∵1﹣x≠6，x+1≠0，
∴x≠2，x≠﹣1，
∴当x＝2时，原式＝＝＝．
17．（5分）如图，点E，F在正方形ABCD的边AB，请用尺规作图法，在AD，N，使得MN⊥EF且平分正方形ABCD的面积．（保留作图痕迹，不写作法）
【解答】解：因为平分正方形面积的直线经过正方形的中心，
连接AC和BD相交于点O，过点O作EF的垂线，
如图所示，MN即为所求出的直线．
18．（5分）如图，∠B＝∠D，BC∥AE，点C在线段AD上，求证：AC＝AE．
【解答】证明：∵BC∥AE，
∴∠ACB＝∠EAD，
在△ABC和△EDA中，
，
∴△ABC≌△EDA（AAS），
∴AC＝AE．
19．（5分）一个不透明的袋子中装有4个小球，小球上分别标记数字﹣2，﹣1，0，2
（1）若从袋子中随机选出1个小球，则小球上的数字是正数的概率是 ．
（2）若从袋子中先随机选出1个小球，不放回，再从袋子中随机选出1个小球，求所选的2个小球上的数字之积是正数的概率．
【解答】解：（1）数字﹣2，﹣1，3，是正数的为2，
∴从袋子中随机选出1个小球，小球上的数字是正数的概率是．
故答案为：．
（2）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的8个小球上的数字之积是正数的结果有：（﹣2，（﹣1，共8种，
∴所选的2个小球上的数字之积是正数的概率为＝．
20．（5分）某学校组织师生乘坐同一型号的大巴车前往宝塔山研学，若安排5辆大巴车，则有18人没有座位，则有17个空座位，求参加研学的师生人数．
【解答】解：设每辆大巴车能坐x人，则：
5x+18＝6x﹣17．
解得x＝35．
所以3x+18＝193．
答：参加研学的师生人数为193人．
21．（6分）如图，在海面上，点B处有一艘供给船，供给船从点B向北偏东68°方向行驶了100海里到达补给点C，卸载完物品后接着向北偏西7°继续行驶，此时点A恰好在点B的北偏东23°位置上，则A（结果保留根号）
【解答】解：过B作BE⊥BM，过A作AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝23°，
∵∠CBE＝68°，
∴∠ABC＝45°，
过C作CF∥AD，
∴∠DAC＝∠ACF＝7°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝30°，
过C作CH⊥AB于H，
∴∠AHC＝∠CHB＝90°，
∴BH＝CH＝BC＝50，
∴AH＝CH＝50，
∴AB＝BH+AH＝（50+50，
答：A，B相距（50）海里．
22．（7分）一根弹簧在竖直且不挂物体状态下长为5cm，随着所挂物体质量的增加，弹簧长度随之增加．已知所挂物体质量小于15kg，弹簧长度为9.5cm，设物体质量为x kg
（1）当0＜x＜15时，求y关于x的函数表达式．
（2）当弹簧长度为23cm时，求所挂物体的质量．
【解答】解：（1）设当0＜x＜15时，y关于x的函数表达式为y＝kx+5，
把x＝4，y＝9.5代入解析式得：5k+5＝9.4，
解得k＝1.5，
∴当3＜x＜15时，y关于x的函数表达式为y＝1.5x+5；
（2）当y＝23时，1.5x+8＝23，
解得x＝12，
答：所挂物体的质量为12kg．
23．（7分）某中学为了提高同学们的消防意识，增强消防安全，特邀请消防支队到学校开展消防安全讲座和组织实操演习，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表
七、八年级竞赛成绩统计表
（1）根据以上信息：a＝ 9 ，b＝ 10 ，并将七年级竞赛成绩统计图补充完整．
（2）若学校七、八年级共有500人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上为优秀，请估计七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的人数．
【解答】解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分，
∴a＝9，
∵八年级A等级人数最多，
∴b＝10，
故答案为：8，10；
七年级成绩C等级人数为：25﹣6﹣12﹣5＝7（人），
七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：
（2）[6+12+（44%+4%）×25]÷50×500＝300（人），
答：估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共大约有300人．
24．（8分）如图，在△ABC中，点E在AC上，⊙O过点A且与BC相切于点B，与AE相交于点F，．
（1）求∠AEB的度数．
（2）若，求AC的长．
【解答】解：（1）∵OB＝OF，BF＝，
∴OB2+OF6＝BF2，
∴△OBF为直角三角形，
∴∠BOF＝90°．
∴∠A＝∠BOF＝45°．
∵BE⊥AB，
∴∠ABE＝90°，
∴∠AEB＝90°﹣∠A＝45°；
（2）延长BO交AC于点D，过点D作DM⊥AB于点M，交BC于点N，
∵BC为⊙O的切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC＝90°．
∵∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠OBC，
∴∠ABO＝∠EBC．
由（1）知：∠A＝45°，∠AEB＝45°，
∴∠BEN＝45°＝∠A，AB＝BE．
在△ABD和△EBN中，
，
∴△ABD≌△EBN（ASA），
∴AD＝EN，BD＝BN．
设DM＝k，则AM＝MD＝k，
∴AD＝k，
∴NE＝AD＝k．
∵tan∠ABO＝，
∴BM＝3k，BN＝BD＝k．
∴AE＝AB＝4kk．
∵∠C＝∠C，∠NEC＝∠DBC＝90°，
∴△NEC∽△DBC，
∴，
∴，
∴EC＝2．
∵NE6+CE2＝CN2，
∴，
∴k＝2（不合题意．
∴AC＝AE+EC＝7+2+2．
25．（8分）如图，某条河流上桥的钢拱圈截面形状类似于抛物线，钢拱圈与桥面两接触点M，A，B两点为钢拱圈的钢丝固定点且距离桥面高度均为30米，C，D为桥面钢丝的固定点，C，已知．
（1）以M为坐标原点，MN所在直线为x轴，垂直于MN的直线为y轴构建平面直角坐标系
（2）现要在钢拱圈上挂一幅公益宣传海报，海报为正方形，为了广告效果，海报顶边的两个顶点在钢拱圈上，求海报的面积．
【解答】解：（1）由题意得，点M（0，点N（20
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣0）（x﹣20）．
作AE⊥CD于点E，则AE＝30．
∴∠AEC＝90°．
∵tan∠ACD＝，
∴CE＝40．
∵CD＝90米，MN＝20米，
∴CM＝35米．
∴ME＝5．
∴点A的坐标为（8，30）．
∴5（﹣15）a＝30．
解得：a＝﹣0.2．
∴y＝﹣0.4（x﹣8）（x﹣20）＝﹣0.4x4+8x；
（2）设海报的顶边的两个顶点分别为点G、F．正方形的边长为n．
∵海报底边与桥面平行且距离为20米，
∴点F的坐标为（m，20+n），20+n）．
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝10，
∴＝10，
解得：n＝20﹣2m．
∴点F的坐标为：（m，40﹣2m）．
∴﹣6.4m2+2m＝40﹣2m．
0.8m2﹣10m+40＝0，
m7﹣25m+100＝0，
（m﹣20）（m﹣5）＝2，
∴m1＝20，m2＝4．
∵点F的纵坐标40﹣2m＞0，
∴m＝7．
∴n＝20﹣2m＝10．
∴海报的面积＝10×10＝100（平方米）．
答：海报的面积是100平方米．
26．（10分）（1）在等边三角形ABC中，点M，N分别在AB，AM＝CN，当AM＝ AC时，△AMN为等边三角形．
（2）如图1，在△ABC中，∠B＝120°，求△ABC面积的最大值．
（3）如图2，在一块四边形土地ABCD上，准备搭建光伏基地，△CMN为光伏逆变器安装区域，阴影部分为光伏太阳能板安装区域，∠BAD＝2∠B＝120°，点E在AD的中点上，M，AN＝2CM，按照设计要求（即△CMN的面积）需要尽可能大，试求光伏太阳能板的占地面积的最小值．（结果保留根号）
【解答】解：（1）当AM＝AN时，△AMN为等边三角形，
而AM＝CN，
故当AM＝AC＝CN时，
故答案为：；
（2）如图1，过点C作CH⊥AB交AB的延长线于点H，
∵∠ABC＝120°，AB+BC＝12，
则∠CBH＝60°，设BC＝x，
则△ABC面积＝×AB•CH＝（12﹣x）×x•sin60°＝2+12x）＝﹣（x﹣6）2+9≤2，
即△ABC面积的最大值为9；
（3）如图2，∵∠BAD＝2∠B＝120°，
∴∠B＝60°，
∴△ABC为等边三角形，则∠BAC＝60°＝∠CAD＝∠ACB，
∴AD∥BC，
而AD＝BC，
则四边形ABCD为平行四边形，
∵AB＝AD，
则四边形ABCD为菱形，
∵△ABC为等边三角形
则△ACD为等边三角形，则AC＝AD＝CD＝200，
∵点E是DA的中点，
则CE⊥AD，∠ACE＝30°，
过点N作NT⊥EC于点T，
则NT＝CN，
设AN＝2CM＝7x，
则CN＝AC﹣AN＝200﹣2x，
则NT＝100﹣x，
则S△CMN＝CM×NT＝x2+50x＝﹣（x﹣50）2+1250≤1250，
故S△CMN的最大值为1250，
则光伏太阳能板的占地面积的最小值＝S菱形ABCD﹣1250＝BC×CE﹣1250＝200×200×sin60°﹣1250＝20000﹣1250．

年级
平均分
中位数
众数
七年级
8.76
a
9
八年级
8.76
8
b
﹣2
﹣1
2
2
﹣2
（﹣3，﹣1）
（﹣2，2）
（﹣2，2）
﹣4
（﹣1，﹣2）
（﹣7，0）
 （﹣1，5）
0
（0，﹣8）
（0，﹣1）
（5，2）
 2
 （3，﹣2）
（2，﹣3）
 （2，0）

年级
平均分
中位数
众数
七年级
8.76
a
9
八年级
8.76
8
b