2025北京通州区高一上学期期中考试数学含解析

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2024年11月
本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求解一元二次方程解得集合，再求并集即可.
【详解】，又，
故.
故选：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】由解得；
由解得；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
3. 命题“存在一个实数，它的绝对值不是正数”的否定是（ ）
A. 存在一个实数，它的绝对值是正数
B. 存在无数个实数，它的绝对值不是正数
C. 任意一个实数，它的绝对值都不是正数
D. 任意一个实数，它的绝对值都是正数
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定判断即可.
【详解】命题“存在一个实数，它的绝对值不是正数“的否定命题是：
“任意一个实数，它的绝对值都是正数”.
故选：D
4. 已知，且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据特殊值以及作差比较法来确定正确答案.
【详解】依题意，，且，
A选项，若，则，所以A选项错误.
B选项，，所以B选项正确.
C选项，若，则，所以C选项错误.
D选项，若，则，所以D选项错误.
故选：B
5. 已知集合，根据函数定义，下列给出四个对应法则，能构成从到的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义确定正确答案.
【详解】A选项，对于，，，所以A选项错误.
B选项，对于，，所以B选项错误.
C选项，对于，，所以C选项错误.
D选项，对于，集合中任意一个元素，在集合中都有唯一确定的数对应，
所以能构成从到的函数.
故选：D
6. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把分为和两种情况，分类讨论解不等式即可得到结果.
【详解】当时，由得，不等式解集为，
当时，由得，不等式无解.
综上得，的解集为.
故选：C.
7. 若函数fx,gx用列表法表示如下：
则满足的值为（ ）
A. 1B. 3C. 1或2D. 2或3
【答案】D
【解析】
【分析】根据表格求函数值，逐项验证进行比较.
【详解】根据表格可知，，
，
，
所以满足条件的是或.
故选：D
8. 已知函数的定义域为，则下列说法正确的个数为（ ）
①若，则
②若在上单调递增，在上也单调递增，则在上单调递增
③若，则在上不可能为增函数
④若，则在上不可能为奇函数
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式求最小值，可判断①；举出反例可判断②；根据单调性定义可判断③；若，则函数在R上可以为奇函数，可判断④.
【详解】对于①：因为，
所以，
当且仅当，即时等号成立，故，①正确；
对于②：若，则满足题目要求，但在R上不增函数，故②错误；
对于③：因为，所以由单调性定义可知， 在上不可能为增函数，故③正确；
对于④：若，则函数在R上可以为奇函数，
例如：，满足，且为奇函数，故④错误.
综上可知，①③正确.
故选：B
9. 已知不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用判别式列不等式来求得的取值范围.
【详解】不等式对一切实数都成立，
即不等式对一切实数都成立，
所以，解得.
故选：A
10. 设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（ ）
A. 12B. 15C. 31D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果.
【详解】∵，
∴满足“，则”的的集合是的子集，
但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现，
∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：.
故选：B.
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】由，解得，
所以的定义域为.
故答案为：
12. 已知函数，当时，则的值为______.
【答案】或
【解析】
【分析】根据已知条件列方程，从而求得的值.
【详解】依题意，，
则，
解得或.
故答案为：或
13. 已知全集，集合为的两个非空子集，且，则______；满足的一个集合为______.
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】根据补集的定义以及子集定义即可求解.
【详解】由于，，故，
，则.
故答案为：，（答案不唯一）
14. 设集合、是两个实数集，给出下列三个结论：
①若，则，使，且；
②若，，则；
③若，，且“”的充要条件是“”.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①②
【解析】
【分析】根据交集的定义可判断①的正误；求出集合、，利用交集的定义求出集合，可判断②的正误；对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的包含关系验证或得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围，可判断③的正误.
【详解】对于①，若，则，使，且，①对；
对于②，，
，则，②对；
对于③，因为，
，
当时，则，此时，，
当时，则或x>1，此时，，
当时，则或，要使得，则，此时，，
综上所述，“”的充要条件是“”，③错.
故答案为：①②.
15. 已知函数若互不相等的三个实数满足，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】画出的图象，根据对称性求得的取值范围.
【详解】画出的图象如下图所示，
当时，令，解得，
依题意，互不相等的三个实数满足，
不妨设，由图可知，
而，所以.
故答案为：
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知幂函数的图象过点.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值；
（3）设函数，判断的奇偶性.
【答案】（1）
（2）
（3）为奇函数.
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的知识求得的解析式，进而求得.
（2）根据函数的单调性来求得最大值.
（3）根据函数的奇偶性的定义进行判断.
【小问1详解】
设幂函数，因为的图象过点，
所以，得.所以.所以.
【小问2详解】
因为，
所以在区间上单调递增.
所以在区间上的最大值为.
【小问3详解】
因为函数，
所以.
因为的定义域为，
所以.
所以为奇函数.
17. 已知全集，集合.
（1）求；
（2）再从下面给出的条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的取值范围.
条件①：；条件②：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案.
（2）结合集合关系及集合运算，根据所选条件列不等式，由此来求得的取值范围.
【小问1详解】
因为集合，
所以或.
所以.
【小问2详解】
选择条件①：
因为，所以.
所以，或.
所以，或.
因为，所以.
所以的取值范围是.
选择条件②：
因为，所以.
因为，所以.
所以.
因为，所以.
所以的取值范围是.
18. 已知函数.
（1）求的值域；
（2）设函数.
①当时，求的最小值；
②根据定义证明在区间上单调递增.
【答案】（1）；
（2）①2；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）对二次三项式配方，即可求得函数值域；
（2）①利用基本不等式，即可求得函数的最小值；②根据单调性定义，作差、变形、定号即可证明.
【小问1详解】
因为函数，所以，
所以的值域为.
【小问2详解】
因为函数，所以.
①因为，
所以.
当且仅当，即时，等号成立.
所以当时，取到最小值，最小值为2.
②任取，且，
那么
因为，所以，
所以，即.
所以在区间上单调递增.
19. 已知二次函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若在区间上单调递增，求的最小值；
（3）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）
（2）2 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
（2）根据单调性、对称轴列不等式，由此求得的范围，进而求得的最小值.
（3）化简不等式，对进行分类讨论，由此求得不等式的解集.
【小问1详解】
因为，不等式为.
对于方程，解得.
所以不等式的解集为.
【小问2详解】
因为，所以开口向上.
因为在区间上单调递增，
所以.解得.所以的最小值为2.
【小问3详解】
因为，
所以，即.
当，即时，解得，或；
当，即时，解得；
当，即时，解得或.
综上所述，当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或.
20. 如图，计划靠一面墙建一个菜园，墙长为20米.用篱笆围成两个相同长方形区域种植蔬菜
（1）若每个长方形区域的面积为54平方米，要使篱笆的总长度最小，每个长方形的长和宽分别是多少米？并求篱笆总长度的最小值；
（2）若每个长方形的长为米，宽为长的一半.篱笆价格每米为8元，区域的重建费用每平方米为20元.要使总费用不超过360元，求的取值范围.
【答案】（1）长和宽分别为9米和6米时，篱笆总长度最小，且最小值为36米
（2）.
【解析】
【分析】（1）列出总长的表达式，直接利用基本不等式即可求解最值，
（2）根据题意列出总费用，即可根据不等式求解.
【小问1详解】
设每个长方形长为米，
因为每个长方形区域的面积为54平方米，所以宽为米.
所以篱笆总长为
当且仅当，即时等号成立，
所以每个长方形长和宽分别为9米和6米时，篱笆总长度最小，且最小值为36米.
【小问2详解】
因为每个长方形的长为米，宽为长的一半，
所以每个长方形的宽为米.
所以长方形区域的面积为平方米，篱笆的总长度为米.
所以总费用为元.
因为总费用不超过360元，
所以，解得.
因为，所以.
所以要使总费用不超过360元，的取值范围是.
21. 已知函数.
（1）当时，若对于恒成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若对于任意恒成立，求的取值范围；
（3）若存在，使得与同时成立，求的取值范围.
【答案】（1）或.
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）先求得在区间上的最大值，由此列不等式来求得的取值范围.
（2）对进行分类讨论，将问题转化为求在区间1,2的最小值、在区间1,2的最大值，由此来求得的取值范围.
（3）对，利用判别式进行判断.对，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
【小问1详解】
因为，所以.
因为对于恒成立，等价于的最大值.
因为在区间上单调递减，
所以在区间上的最大值为.
所以，即，解得，或.
所以实数的取值范围是或.
【小问2详解】
因为对于任意恒成立，
等价于在区间1,2的最小值在区间1,2的最大值.
因为，所以在区间1,2的最大值是0.
因为，所以对称轴.
①当时，在区间1,2的最小值为.
所以，解得.
所以的取值范围是0,1.
②当时，在区间1,2的最小值为.
所以，解得.
所以的取值范围是.
③当时，在区间1,2的最小值为.
所以，解得不符合.
由①②③得，的取值范围是0,2.
【小问3详解】
因为函数的图象开口向上，且存在x∈R，使得gx