高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置课时训练

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知识点 1 直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
（1）直线与圆相交，有两个公共点；
（2）直线与圆相切，只有一个公共点；
（3）直线与圆相离，没有共同点．
2、判断直线与圆位置关系的方法
（1）几何法判断直线与圆的位置关系：
直线与圆，圆心到直线的距离．
直线与圆相离无交点；
直线与圆相切只有一个交点；
直线与圆相交有两个交点．

（2）代数法判断直线与圆的位置关系：
联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断：
当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；
当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；
当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离．
知识点 2 直线与圆相交弦长
1、几何法求弦长：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，
整理出弦长公式为：．
2、代数法求弦长：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长．
知识点 3 直线与圆相切
1、圆的切线的条数
（1）过圆外一点，可以作圆的两条切线；
（2）过圆上一点，可以作圆的一条切线；
（3）过圆内一点，不能作圆的切线．
2、过圆上一点的切线方程
法一：先求出切点与圆心的连线斜率，
若不存在，则结合图形可直接写出切线方程；
若，则结课图形可直接写出切线方程；
若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程．
法二：若不存在，验证是否成立；
若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可．
3、过圆外一点的圆的切线方程
法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即
由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程．
法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即
代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出．
4、切线长公式
过圆外一点引圆的两条切线，圆心坐标为，则切线长为
1、直线与圆的位置关系的判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断．
（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．
（3）直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．
2、求圆的切线方程的三种方法
（1）几何法：设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求出未知量，此种方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验证，若符合题意，则直接写出切线方程．
（2）代数法：设出切线方程后与圆的方程联立消元，利用判别式等于零，求出未知量，若消元后的方程为一元一次方程，则说明要求的切线中，有一条切线的斜率不存在，可直接写出切线方程．
（3）设切点坐标：先利用切线的性质解出切点坐标，再利用直线的两点式写出切线方程．
3、与圆的切线相关的结论
（1）过圆上一点的圆的切线方程为．
（2）过上一点的圆的切线方程为
（3）过外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线方程为：．
（4）过圆外一点引圆的两条切线，则过圆外一点的切线长为．
4、圆上的点到直线的最大、最小距离
设圆心到直线的距离为，圆的半径为
（1）当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和；
（2）当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和，此时；
（3）当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大、最小的距离分别为和0．
5、圆上的点到直线的距离求参数问题
设圆的半径为，圆心到直线的距离为，圆上的点到直线的距离为定值．
当或时，点的个数为0；
当或时，点的个数为1；
当或时，点的个数为2；
当时，点的个数为3；
当时，点的个数为4．
题型一 直线与圆的位置关系判断
【例1】（23-24高二上·广东深圳·月考）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相离
C．相交且l过圆C的圆心D．相交且l不过圆C的圆心
【答案】C
【解析】圆心到直线的距离为，
故圆心在直线上，故直线和圆相交且l过圆C的圆心.故选：C
【变式1-1】（23-24高二上·广东深圳·月考）直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切B．相离
C．相交且l过圆C的圆心D．相交且l不过圆C的圆心
【答案】C
【解析】圆心到直线的距离为，
故圆心在直线上，故直线和圆相交且l过圆C的圆心.故选：C
【变式1-2】（23-24高二下·广东梅州·月考）已知圆，则直线与圆C（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
【答案】A
【解析】可化为，
即该圆圆心为，半径为，
由可得该直线过定点0,1，
有，即该定点必在圆内，
故两者位置关系为相交.故选：A.
【变式1-3】（23-24高二上·湖北武汉·期中）（多选）直线与圆的公共点的个数可能为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】BC
【解析】圆的圆心，半径，
当时，点到直线的距离，
因此直线与圆相切或相交，所以直线与圆的公共点个数为1或2.故选：BC
题型二 根据直线与圆的位置关系求参数
【例2】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，圆心到直线的距离，
即，解得故选：D
【变式2-1】（23-24高二上·河南周口·月考）“”是“直线与圆相离”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】将配方，即，
表示圆需满足，
所以或，其圆心为，半径为，
因为直线与圆相离，
故圆心到直线的距离，解得，
结合或可得或，
（）
则成立推不出直线与圆相离；
反之成立，故“”是
“直线与圆相离”的必要不充分条件，故选：B
【变式2-2】（23-24高二上·福建泉州·月考）若直线与圆相切，则实数的值为（ ）
A．或B．1或
C．或3D．或
【答案】C
【解析】由圆心为，半径为，
，即，
则，解得或.故选：C.
【变式2-3】（23-24高二上·内蒙古赤峰·月考）（多选）若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】ABCD
【解析】直线恒过定点，显然点在圆内，
因此，直线与圆相交，
所以实数的取值可能是0，1，2，3.故选：ABCD
【变式2-4】（23-24高二上·天津滨海新·月考）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为 .
【答案】
【解析】因为的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，
又直线与均相切，
所以①，②，由①②得到，即有，
两边平方得，
又，得到，
代入①式得到，解得，所以方程为,
故答案为：.
题型三 求圆的切线方程
【例3】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足，
这表明点在圆上，
所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为，
所以该切线方程为，化为一般式得.故选：B.
【变式3-1】（23-24高二下·云南昆明·月考）过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】A
【解析】由条件知点在圆上，所以直线的斜率为切线的斜率为，
即直线方程为，整理得：直线与
直线平行，直线方程为，则直线与的距离为，故选：A．
【变式3-2】（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为，
显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意；
设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切，
所以，所以解得，
所以满足题意的直线方程为或.故选：D.
【变式3-3】（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）（多选）过点作圆的切线，所得切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】
由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为，
则，可得，所以，即；
斜率不存在时，，显然与圆相切，
综上，切线方程为：或．故选：AB．
题型四 与切线长有关的问题
【例4】（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知圆:,过作圆的切线,则切线长为（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】B
【解析】圆:,即圆心半径
切线长为故选:B.
【变式4-1】（22-23高二上·福建宁德·期中）设是直线：上的动点，过作圆：的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【解析】圆的圆心为，半径为，切点为
由题意得当最小时，CP连线与直线垂直，
所以，
由勾股定理得，
所以的最小值为，故选：D.
【变式4-2】（23-24高二上·江苏镇江·期末）过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【解析】⊙M：的圆心，半径，
由，得，
由题意可得圆心到直线的距离，
即，解得.故选：B.
【变式4-3】（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，当四边形面积最小时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】

将化为标准方程为：，
所以圆的圆心为，半径为2，
由题意，四边形面积为，
又因为，
所以当最短时，四边形面积最小，此时.故选：C
题型五 切点弦及其应用
【例5】（23-24高三下·海南·月考）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，即，故圆心为，半径为，
又，所以，故切线长，
由，得到，故选：C.
【变式5-1】（23-24高二上·河北·期中）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 ．
【答案】
【解析】
由图可知，其中一条切线为轴，切点为坐标原点．
因为,，则，
所以直线的方程为．
【变式5-2】（22-23高二上·重庆沙坪坝·月考）已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.则点到直线的距离的最大值为 .
【答案】
【解析】设，，，
由题得，
又，所以，同理.
即直线的方程是，
因为，则，代入得，
则直线恒过定点，
所以点到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为.
【变式5-3】（22-23高三上·河南郑州·月考）已知圆，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】圆，即，
由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则，
，，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以，即，
所以最短时，最短，
点C到直线的距离即为的最小值，
所以，所以的最小值为
题型六 直线与圆相交弦长问题
【例6】（23-24高二上·湖南张家界·月考）直线：与圆相交、两点，则 ．
【答案】
【解析】由解得或，
不妨令，所以.
【变式6-1】（23-24高二下·上海宝山·月考）直线被圆所截得的弦长为（ ）
A．B．C．3D．6
【答案】B
【解析】圆化为标准方程为：,圆心为，；
圆心到直线的距离为，所以弦长为.故选：B.
【变式6-2】（23-24高二上·山东泰安·月考）若直线与圆交于A，B两点，且，则的值为（ ）
A．5或-15B．-5C．-5或15D．15
【答案】C
【解析】由题意，
在中，，
∴圆心坐标 ，半径为.
由得，圆心到直线的距离为 ，
∴圆心到直线的距离，解得：或，故选：C.
【变式6-3】（23-24高二上·湖南长沙·月考）直线：与圆：相交于，两点，则的面积为 .
【答案】
【解析】由，可得圆心坐标为0,3，半径为，
则圆心到直线的距离为，
则弦长，
故.
题型七 过定点直线最短弦长
【例7】（23-24高二下·湖南益阳·月考）直线截圆所得弦长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】直线化简为，
联立，得，
所以直线恒过定点，
点满足，所以点在圆内，
所以当点是弦的中点时，此时弦长最短，
圆心和定点的距离为1，所以最短弦长为.故选：B
【变式7-1】（23-24高二上·广东广州·月考）已知直线与圆相交于点A，B，点P为圆上一动点，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由圆心为，半径为，则圆心到直线距离，
所以，
要使面积最大，只需圆上一动点P到直线距离最远，为，
所以面积的最大值是.故选：A
【变式7-2】（23-24高二上·浙江金华·月考）已知实数满足，直线，该直线被圆所截得弦长的取值范围为 .
【答案】
【解析】将代入直线可得，
则,即直线过定点;
因，故最短弦长是过点且垂直的弦长，
即弦长，最长弦是该圆的直径，即最长弦长为6，
故该直线被圆所截得弦长的取值范围为.
【变式7-3】（23-24高二上·河南·月考）已知直线与圆相交，则当圆截直线所得的弦长最短时，直线的方程为 .
【答案】
【解析】由题意得恒过点.
圆的标准方程为，
所以圆心，
且，可知点在圆内.
方法一：由直线与圆的几何性质知，当时，所截得弦长最短，
此时.即，
所以直线的方程为.
方法二：易得直线的方向向量为，
当圆截直线所得的弦长最短时，.
所以，解得，
所以直线的方程为.
题型八 圆上的点到直线的距离最值
【例8】（23-24高二上·四川眉山·月考）圆上的点到直线距离的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】圆的标准方程为，
所以圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离为，
所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是，即，故选：A.
【变式8-1】（23-24高二上·福建泉州·月考）已知圆，则当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，故圆的圆心坐标为，半径为，
由0，得，故直线过定点．
易知点在圆外，连接，则当与直线垂直时，
圆的圆心到直线的距离最大，为，
此时，所以，得．故选：B.
【变式8-2】（23-24高二上·浙江杭州·月考）点在圆上运动，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】令，则，可得该直线方程为：
或，
设到直线和的距离为和，得
或，解得或，
又因为，所以，.故选B
【变式8-3】（23-24高二上·江苏徐州·月考）已知实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．6C．D．12
【答案】C
【解析】设，，，
故，在圆上，且，
表示到直线的距离之和，
原点到直线的距离为，
如图所示：，，是的中点，于，
，，
故在圆上，.
故的最大值为.故选：C.
题型九 直线与半圆相交求参问题
【例9】（23-24高二上·广东佛山·月考）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由曲线，可得，
又由直线，可化为，直线恒过定点，
作出半圆与直线的图象，如图所示，
结合图象，可得，所以，
当直线与半圆相切时，可得，解得，
所以实数的取值范围为.故选：A.
【变式9-1】（23-24高二上·广东佛山·月考）直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】方程，即，表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆，
直线的斜率为1，连接和B0,3，
要使直线与该半圆有两个交点，直线必在以上的半圆内平移，
直到直线与半圆相切（不含相切），则可求出直线的两个临界位置对应的的值.
当直线与重合时，，
当直线与半圆相切时，圆心到的距离3，即，
解得或（舍去）.
所以的取值范围是）.故选：D
【变式9-2】（23-24高二上·河南南阳·月考）若方程有实数解，则实数的取值范围 .
【答案】
【解析】由可得，
则直线与曲线有公共点，
由可得，
所以，曲线表示圆的上半圆，如下图所示：
当直线与圆相切，且切点在第二象限时，，且，解得，
当直线过点时，，可得，
由图可知，当时，直线与曲线有公共点，
因此，实数的取值范围是.
【变式9-3】（23-24高二上·河北·月考）（多选）已知直线与曲线，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与曲线有且仅有一个交点
B．当时，直线与曲线有且仅有一个交点
C．当时，直线与曲线有两个交点
D．当或时，直线与曲线没有交点
【答案】BCD
【解析】把化成为，
因为，，所以曲线表示圆的下半部分，如图，，，．
当过时，，直线与曲线有且仅有一个交点，
当过时，，这时直线与曲线有两个交点，
当与曲线相切时，，解得（舍去）．
∴当或时，直线与曲线无交点；
当或时，直线与曲线有且仅有一个交点；
当时，直线与曲线有两个交点，故选BCD．]
【变式9-4】（23-24高二下·上海·月考）曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】依题意，，，即或，
当时，曲线方程表示在直线及左侧半圆，圆心为，半径为1，
当时，曲线方程表示在直线及右侧半圆，圆心为，半径为1，
曲线与直线有两个不同的交点，
等价于上述两个半圆组成的图形与直线有两个不同的交点，
在同一坐标系内作出曲线与直线，如图，
当直线与半圆相切时，，解得，
当直线过点时，，
由图形得当时，直线与这个半圆有两个交点，
当直线过点时，，这条直线也过点，符合题意，
当直线与半圆相切时，，解得，
当直线过点时，，
由图形得当时，直线与这个半圆有两个交点，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
题型十 圆上的点到直线的距离求参问题
【例10】（23-24高二上·贵州贵阳·月考）已知圆，直线，圆上恰有一个点到直线的距离等于1，则 ．
【答案】1
【解析】圆的圆心为，，
由题可知圆心到直线距离，则.
【变式10-1】（23-24高二上·广东·月考）已知圆，直线，设圆上恰有两个点到直线的距离等于1．则的取值范围是（ ）
A．或B．
C．或D．或
【答案】D
【解析】圆，化简为标准方程为，
则圆的圆心为，半径，
若圆上恰有两个点到直线的距离等于1，则圆心到直线的距离，,
即，得或故选：D
【变式10-2】（23-24高二上·浙江金华·期中）若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径，
若圆上恰有三个点到直线的距离等于1，
则圆心为到直线的距离等于1，
∴，解得.故选：B.
【变式10-3】（23-24高二上·湖南长沙·月考）若圆上恰有四个点到直线的距离等于1，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由圆可得圆心，半径为，
设圆心到直线的距离，
要使得圆上恰有四个点到直线的距离为1，则满足，
则，即，解得，
即的取值范围为．
【变式10-4】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）若对于一个实常数，恰有三组实数对满足关系式，则 .
【答案】
【解析】由，
若，则需与矛盾，所以，
由，得点到直线的距离为，
由，得点在圆上，
根据题意恰有三组实数对满足关系式，
等价于圆上恰有三个点满足到直线的距离为，
圆心到直线的距离为，
则需圆的半径，
过作直线于，交圆于，
则，
则要使圆上恰有三个点满足到直线的距离为，
有.
故答案为：