辽宁省丹东市七校协作体2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

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考试时间：120分钟 满分150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则集合的子集个数为（ ）
A. 7B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】由条件确定结合中的元素，由此可得集合的子集个数.
【详解】因为，，
所以，
所以集合的子集个数为.
故选：B.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由含有一个量词的命题的否定求解.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：C.
3. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的定义即可判断.
【详解】由命题“，”为真命题
可得，恒成立，
即可得，则可推得，必要性成立
而推不出，充分性不成立，
，”为真命题的一个必要不充分条件是；
故选：A
4. 已知关于x的不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由不等式的解集，利用韦达定理得与的关系，对所求不等式进行变形求解即可.
【详解】关于x的不等式的解集是，则,
则，，
不等式等价于，即，
解得或.
故选：C.
5. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，研究函数的单调性与奇偶性，利用函数性质解不等式.
【详解】令，定义域为R，
，所以函数为定义域内的奇函数，
函数和在R上都单调递增，则在R上单调递增，
则，则，即，
即，所以，解得，
故实数a的取值范围是.
故选：A.
6. 已知函数，若，且，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】判断函数的单调性，继而结合零点存在定理列出相应不等式组，即可求得答案.
【详解】由于在R上均单调递增，故函数在R上单调递增，
又，且，则，解得.
故选：B
7. 设，，且，则（ ）
A. 有最小值为B. 有最小值为
C. 有最小值为D. 有最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】利用已知条件变形凑配出积为定值，然后由基本不等式求得最小值.
【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
所以有最小值为.
故选：D
8. 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调的；
②当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.
如果可是函数的一个“黄金区间“，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到在上单调，从而得到为方程的两个同号实数根，然后化简，进而结合根与系数的关系得到答案.
【详解】由题意， 在−∞,0和0,+∞上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，
即方程有两个同号的实数根，因为，所以只需要或，
又，所以，则当时，有最大值.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小䞨给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设为定义在上的奇函数，当时，为常数），则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 在上是单调减函数D. 函数仅有一个零点
【答案】AD
【解析】
【分析】根据，求得，得到，求得的值，可得判定A正确；结合由，可得判定B不正确；结合和都是增函数，及为在上的奇函数，得出函数的单调性，可判定C不正确；结合和函数的单调性，得到仅有一个零点，可得判定D正确.
【详解】对于A中，因为为定义在上的奇函数，且当时，，
可得，解得，所以，
则，所以A正确；
对于B中，由，所以B不正确；
对于C中，当时，，
因为函数和都是增函数，所以在是单调递增函数，
又因为为在上的奇函数，所以在也是递增函数，所以C不正确；
对于D中，由，且和是单调递增函数，
所以函数为定义在上仅有一个零点，所以D正确.
故选：AD.
10. 已知且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由已知条件求的取值范围，即可判断AB；由指数幂的运算判断C；利用基本不等式判断D.
【详解】且，可知，，
又，则，A选项正确；
由，则，B选项正确；
，C选项错误；
，当且仅当时等号成立，D选项正确.
故选：ABD.
11. 对于函数，如果对于其定义域D中任意给定的实数x，都有，并且，则称函数为“倒函数”.则下列说法正确的是（ ）
A. 函数是“倒函数”
B. 若函数在R上为“倒函数”，则
C. 若函数在R上为“倒函数”，当，则
D. 若函数在R上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在R上是单调增函数，记，若，则.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用“倒函数”的定义判断A；举反例排除B；利用“倒函数”的定义求解析式可判断C；利用函数单调性与奇偶性的定义判断的性质，从而判断D.
【详解】对于A，对于，则，
所以，
则函数是“倒函数”，故A正确；
对于B，取，则，
所以，
此时在R上为“倒函数”，但，故B错误；
对于C，当时，则，所以，故C正确；
对于D，因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，
所以，
任取、且，则，所以，，
所以
，
所以函数为上的增函数，
因为，故函数为上的奇函数，
当时，即，则，
所以，故D正确.
故选：ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分.
12. 已知函数，则___________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据函数的解析式直接代入求函数值即可.
【详解】函数，则.
故答案为：3.
13. 若函数的定义域为，则函数的定义域是______.
【答案】
【解析】
【分析】由函数有意义的条件，求定义域.
【详解】函数的定义域为，函数有意义，
则有，解得，
所以函数的定义域是.
故答案为：
14. 已知函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由已知奇偶性质得到对称性，借助已知条件与f1=0求出待定系数，再利用对称性转化为，代入解析式求解即得．
【详解】根据题意，由为奇函数，得，
令得f1=0，即；令，得，
由为偶函数，得,令，得，
由，所以，
由，解得，
故时，，
由，当时，可得.
故答案为：.
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过屋或演算步聚.
15. 在①；②“”是“”必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到下面的司题中，并解答.
问题：已知集合，
（1）当时，求；
（2）若________，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）把代入，利用补集、交集的定义求解即得.
（2）选①②③，可得，再利用集合的包含关系求出的范围.
【小问1详解】
当时，，由，得或，
所以或.
【小问2详解】
选①，，则，
当，即时，，满足，因此；
当时，，解得，于是，
所以实数取值范围是.
选②，“”是“”的必要条件，则，
当，即时，，满足，因此；
当时，，解得，于是，
所以实数的取值范围是.
选③，，得，
当，即时，，满足，因此；
当时，，解得，于是，
所以实数的取值范围是.
16. 已知函数满足，其中且.
（1）求的解析式；
（2）若，求函数的定义域；
（3）讨论的值域.
【答案】（1），其中且
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）利用换元法即可求解，
（2）根据指数函数的单调性即可求解不等式得解，
（3）对分类讨论，即可结合二次函数以及指数函数的性质求解.
【小问1详解】
令，则
故，其中且
【小问2详解】
当时，，则，
故，则，解得,解得，
故的定义域为
【小问3详解】
由于，故
当时，故值域为，
当时，故值域为
17. 已知定义在上的函数与,满足如下两个条件:①为奇函数,为偶函数;②；
（1）求的解析式.
（2）设函数,若实数满足不等式,求实数的取值范围.
【答案】（1）,；
（2）；
【解析】
【分析】(1)在=中,用代替x得:=，再结合函数的奇偶性解答;
(2)由(1)的结果,知,因为,所以按照和讨论即可.
【小问1详解】
在中,
用代替x得:
因为为奇函数,为偶函数.所以上式可化为，
将两式相减得:;相加得；
【小问2详解】
由(1)的结果,知,
因为,所以,
①当,即时,=,
此时不等式即,解得或，
又,所以或.
②当即时,=,
此时不等式即,
又,
所以，
综上,实数取值范围为．
18. 某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
【答案】（1）8小时 （2）1.6
【解析】
【分析】（1）由可求出结果；
（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经小时后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果.
【小问1详解】
因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
【小问2详解】
设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，由，解得，
所以a的最小值为．
19. 已知（且）是上的奇函数，且.设.
（1）求，的值，并求的值域；
（2）把区间等分成份，记等分点横坐标依次为，，设，记，是否存在正整数，使不等式有解?若存在，求出所有的值，若不存在，说明理由.
【答案】（1）答案见解析
（2）存在，1，2或3
【解析】
【分析】（1）由是上的奇函数，且求出可得及，利用分离常量求出的值域；
（2）得出的图象关于对称，所以，利用对称性求出可得答案.
【小问1详解】
因为（且）是上的奇函数，且，
所以，解得，
则，
因为定义域为，，
所以是上的奇函数，故，
，
因为，所以，
当且仅当，即x=0时等号成立，
所以
又时，，
所以，即的值域为；
【小问2详解】
把区间等分成份，则等分点的横坐标为，，
，为奇函数，
所以的图象关于对称，所以，，
所以
所以，即.
故存在正整数或3，使不等式有解.
【点睛】关键点点睛：第二问的解题的关键点是判断出，的图象关于对称，所以.