湖北省部分高中联考协作体2024-2025学年高二上学期11月期中数学试卷（Word版附解析）

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命题学校：广水市实验高级中学 命题教师：肖永汉
审题学校：崇阳众望高中 审题教师：谭红光
考试时间：2024年11月16日8：00-10：00 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效.
3.填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知向量，则＝（ ）
A 6B. 7
C. 9D. 13
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量加法与数量积的坐标运算即可.
【详解】因为
所以.
故选：C.
2. 椭圆的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先将方程化为标准方程，再求出长轴和短轴，再由已知列方程可求出m的值
【详解】由，得，
因为椭圆的焦点在轴上，
所以，
因为长轴长是短轴长的两倍，
所以，即，得，
故选：D
3. 直线与直线平行，那么的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据两直线平行的等价条件列方程组，解方程组即可求解.
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得：，
故选：B.
4. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点A到直线BC的距离为（ ）
A. B. C. 3D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】先利用空间两点间距离公式，把，，的长度求出来，再利用余弦定理，面积公式等求出点A到直线BC的距离
【详解】利用空间两点间距离公式，，，
所以
所以
设点A到直线BC的距离为
则
故选：A
5. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量运算的三角形法则、平行四边形法则表示出即可.
【详解】
=
故选：A.
6. 过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得圆心和半径，由此求得圆的方程.
【详解】设圆心为，半径为，
则，
解得，所以圆心为，
半径.
所以圆的方程为.
故选：A
7. 已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间四点共面的充要条件代入即可解决.
【详解】，即
整理得
由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，
可得 ，解之得
故选：B
8. 如图，椭圆的中心在坐标原点顶点分别是，焦点分别为，延长与交于点，若为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，从而有，结合即可求椭圆离心率的取值范围．
【详解】解：由题意，设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为，，，则，，
因为就是与的夹角，所以与的夹角为钝角，
所以，即，又，
所以，两边同时除以，得，即，
解得或，又，
所以，
所以椭圆离心率的取值范围为，
故选：D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或未选的得0分.）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 过，两点的直线方程为
B. 点关于直线的对称点为
C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】
运用直线的两点式方程判断A 的正误；利用对称知识判断B的正误；求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C的正误；利用直线的截距相等可判断D 的正误．
【详解】对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；
对于B：点 (0,2) 与 (1,1) 的中点坐标， 满足直线方程, 并且两点的斜率为： −1, 所以点 (0,2) 关于直线 y=x+1 的对称点为 (1,1) ，所以 B 正确；
对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为： 2,−2, 直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C 正确；
对于D：经过点 (1,1) 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x+y−2=0 或 y=x ，所以 D 不正确；
故选：BC.
【点睛】本题考查直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，注意在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为的情况，属于基础题．
10. 已知椭圆C：内一点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A. C的焦点坐标为2,0，
B. C的长轴长为
C. 直线l的方程为
D.
【答案】AB
【解析】
【分析】由椭圆标准方程确定，即可得到选项A，B错误；利用点差法可求直线方程，得到选项C正确；联立直线和椭圆方程，利用弦长公式可得选项D正确.
【详解】由，得椭圆焦点在轴上，且，，
则，，，
所以椭圆的焦点坐标为0,2，，长轴长为，故选项A、B错误；
设Ax1,y1，Bx2,y2，则，，
两式作差得，
因为为线段的中点，所以，，
所以，
所以直线的方程为，即，所以选项C正确；
由，得，则，，
所以，所以选项D正确．
故选：AB．
11. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 向量与夹角是60°
D. 直线与AC所成角的余弦值为
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．
【详解】解：对于，
，
所以，选项错误；
对于
，所以，即，
，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；
对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；
对于，
所以，
，
同理，可得
，
所以，所以选项正确．
故选：AC．
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为____________.
【答案】45°或135°
【解析】
【分析】根据二面角夹角与法向量的关系，结合夹角公式求解即可.
【详解】因为两平面的法向量分别为，，
则两平面所成的二面角与相等或互补，
因为，且，故.
故两平面所成的二面角为45°或135°.
故答案为：45°或135°
13. 已知圆：与圆：有四条公共切线，则实数的取值可能是___________.（填序号）
①；②；③；④.
【答案】①④##④①
【解析】
【分析】两圆有四条公共切线可知两圆相离，然后两圆心的距离与半径之和作比较计算即可.
【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，
因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，
又两圆圆心距，即，解得或，
故答案为：①④.
14. 已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A（2，1），B（-2，3），C（-3，0）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求BC边上的高AD所在直线的方程．
【答案】（1）3x-y+9=0
（2）x+3y-5=0
【解析】
【分析】（1）由题意可设直线BC的直线方程为y=kx+b，将B，C的坐标代入即可求解；
（2）由题意可知，设直线AD的方程为，将点A（2，1）代入，即可求解
【小问1详解】
设直线BC的直线方程为y=kx+b，
将点B（-2，3），C（-3，0）代入，可得，
解得，
∴直线BC方程为y=3x+9，即3x-y+9=0．
小问2详解】
∵AD为直线BC的高，
∴AD⊥BC，
∴，
设直线AD的方程为，将点A（2，1）代入，
解得，
∴直线AD的方程为，即x+3y-5=0．
16. 已知空间三点，设．
（1）若，，求；
（2）求与的夹角的余弦值；
（3）若与互相垂直，求k．
【答案】（1）或
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据向量共线设出向量的坐标，由模长公式列出方程，求解即可；
（2）利用向量的坐标公式和向量的夹角公式即可得出；
（3）根据向量垂直时数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到k．
【小问1详解】
因为，
所以，又因为，
所以，又因为，
所以，
因此或；
【小问2详解】
因为
所以与的夹角的余弦值为；
【小问3详解】
因为与互相垂直，
所以
或.
17. 已知圆和点.
（1）过点M向圆O引切线，求切线的方程；
（2）求以点M为圆心，且被直线截得的弦长为8的圆M的方程；
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】(1)分斜率不存在和斜率存在两种情况求解；
（2）根据垂径定理和弦长公式求解即可.
【小问1详解】
（1）当切线的斜率不存在，直线方程为，为圆的切线；
当切线的斜率存在时，设直线方程为，即，
∴圆心到切线的距离为，解得，∴直线方程为
综上切线的方程为或.
【小问2详解】
点到直线的距离为，
∵圆被直线截得的弦长为8，∴，
∴圆的方程为.
18. 如图，在三棱锥中， ，为的中点，.
（1）证明：平面平面;
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥的体积为，求平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明平面BCD，又平面ABD，从而由面面垂直的判定定理即可得证；
（2）取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点，则，又由（1）知平面BCD，所以，，两两垂直，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解.
【小问1详解】
证明：因为，为的中点，
所以，又且，
所以平面BCD，又平面ABD，
所以平面平面；
【小问2详解】
解：由题意，，所以，
由（1）知平面BCD，
所以，所以OA=2，
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，1，，A（0，0，2），，
因为平面，所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，又，
所以由，得，令，则，，
所以，
所以，
所以平面BCD与平面BCE的夹角的余弦值为.
19. 已知椭圆过点，且右焦点为.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，交y轴于点P. 若，，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题干所给条件及椭圆简单的几何性质可求；
（2）设直线的方程为，联立椭圆方程，消可得关于的二次方程，再由韦达定理可得两交点纵坐标关系，再根据题意和两交点纵坐标关系求出.
【小问1详解】
由题意可得，，故椭圆的方程为
【小问2详解】
1、若直线垂直轴，根据椭圆简单的几何性质可知A，B两点的坐标，如，则，，，，，
又∵，求得
，
∴
2、若直线不垂直轴，则设直线的方程为，联立椭圆方程，消可得
，设，则
由可得，∴，
由同理可得
∴