北师大版数学九年级上册 第六章 反比例函数教案

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第六章　反比例函数1　反比例函数1．了解反比例函数的概念，会判断一个式子是否是反比例函数．2．能够列出实际问题中的反比例函数的表达式，并能确定自变量的取值范围．重点了解反比例函数的概念，会判断一个式子是否是反比例函数．难点能够列出实际问题中的反比例函数的表达式．一、情境导入课件出示：导体中的电流I，与导体的电阻R、导体两端电压U之间满足关系式U＝IR.当U＝220 V时，(1)你能用含有R的代数式表示I吗？(2)利用写出的关系式完成下表：当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？(3)变量I是R的函数吗？为什么？学生小组合作讨论后举手回答，教师点评，并引出本节课课题——反比例函数．二、探究新知1．反比例函数的概念问题1：小明有10元钱，购买y(个)单价是x(元)的铅笔，你能用含x的代数式表示y吗？学生：y＝eq \f(10,x).问题2：京沪高速公路全长约为1 318 km，汽车沿京沪高速公路从上海开往北京，汽车行完全程所需的时间为t(h)，行驶的平均速度为v(km/h)，你能用含t的代数式表示v吗？学生：v＝eq \f(1318,t).教师：从上面的两个问题得出关系式y＝eq \f(10,x)和v＝eq \f(1318,t).它们是函数吗？能否根据这两个问题归纳出这一类函数的表达式呢？引导学生观察，归纳总结出反比例函数的概念：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成 y＝eq \f(k,x)(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数．从y＝eq \f(k,x)中可知自变量x作为分母，所以x不能为零．2．反比例函数的表达式课件出示：下列函数表达式中，哪些式子表示y是x的反比例函数？如果是，请写出k的值．(1)y＝eq \f(5,x)；　　　(2)y＝eq \f(0.4,x)；(3)y＝eq \f(x,2)； (4)xy＝2；(5)y＝eq \f(x,π)； (6)y＝－eq \f(5,x)；(7)y＝2x－1.学生思考后汇报答案，教师点评．教师：通过上面这道题，你能总结出反比例函数表达式的不同形式吗？学生积极思考，归纳总结：第一种：y＝eq \f(k,x).第二种：xy＝k.第三种：y＝kx－1.三、举例分析例1　若y＝(5＋m)x2＋n是反比例函数，则m，n的取值是(　　)A．m＝－5，n＝－3　　　B．m≠－5，n＝－3 C．m≠－5，n＝3 D．m≠－5，n＝－4学生举手回答，教师点评．例2　一个矩形的面积为20 cm2，相邻的两条边长分别为x cm和 y cm，那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？例3　某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗？是反比例函数吗？为什么？例4　y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值：(1)写出这个反比例函数的表达式；(2)根据函数表达式完成上表．学生独立完成后汇报答案，教师点评，并提出问题：上述问题中，自变量能取哪些值？四、练习巩固教材第150页“随堂练习”第1，2题．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．什么是反比例函数？六、课外作业教材第150～151页习题6.1第1～4题．本节课的知识是反比例函数．课堂上，结合实例引导学生了解所讨论的函数的表达式，形成反比例函数概念的具体形象，让学生经历从感性认识到理性认识的转化过程，发展学生的思维．在探索具体问题中的数量关系和变化规律的基础上抽象出数学概念，结合具体情境领会反比例函数．通过练习题既巩固了反比例函数的定义，也让学生认识到反比例函数的表达式有不同的形式．由学生总结归纳，锻炼了学生的观察总结能力，紧接的练习又巩固了反比例函数表达式的3种形式．在教学过程中，给学生足够的时间和空间，培养学生自主分析问题、解决问题的能力，让学生得到一个良好的自主学习的环境．2　反比例函数的图象与性质1．掌握画出反比例函数图象的基本步骤，会画反比例函数的图象．2．掌握反比例函数的主要性质．3．能利用反比例函数的图象及性质解决一些实际问题．重点画反比例函数的图象，理解反比例函数的性质．难点理解反比例函数的性质，并能灵活应用．一、复习导入1．什么是反比例函数？2．画出一次函数y＝4x的图象，图象是什么形状？画一次函数图象的步骤是什么？学生自主思考后给出答案，教师点评．二、探究新知1．反比例函数的图象教师：反比例函数y＝eq \f(4,x)的图象会是什么形状呢？我们可以用什么方法画这个反比例函数的图象？学生独立画图象，指名板演．教师点评，引导学生归纳画反比例函数图象的基本步骤．教师：你以为画反比例函数图象时应注意哪些问题？引导学生总结：(1)反比例函数的图象是双曲线；(2)画反比例函数的图象要经过列表、描点、连线这三个步骤；(3)双曲线的两端是无限延伸的，画的时候要“出头”；(4)画双曲线时，取的点越密集，描出的图象就越准确，但计算量会越大，故一般在原点的两侧各取3～5个点即可；(5)连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线连接．注意：两个分支不连接．教师：观察上面的函数图象，如果点P(x0，y0)在函数y＝eq \f(4,x)的图象上，那么与点P关于原点成中心对称的P′的坐标应是什么？这个点在函数y＝eq \f(4,x)的图象上吗？学生思考回答后，教师进一步讲解：反比例函数的图象既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．对称轴有两条，分别是直线y＝x与直线y＝－x；对称中心是坐标原点，任何一条经过原点的直线只要与双曲线有两个交点，则这两个交点关于原点对称．2．反比例函数的性质课件出示：画出反比例函数y＝eq \f(4,x)与y＝－eq \f(4,x)的的图象，探究下列问题：(1)这两个反比例函数的图象有什么相同点和不同点？(2)在每个象限内，随着x值的增大y的值是怎样变化的？引导学生思考，得出：　　三、举例分析例1　反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象如图所示．(1)判断k为正数还是负数．(2)如果A(－3，y1)和B(－1，y2)为这个函数图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是怎样的？学生思考回答，教师讲评并进一步讲解根据反比例函数的增减性比较函数值大小的方法：利用反比例函数的增减性来比较函数值的大小时，如果给定的两点或几点能够确定在同一象限的分支上时，可以直接利用反比例函数的性质解答；如果给定的两点或几点不能够确定在同一象限的分支上时，则不能利用反比例函数的性质比较，需要根据函数的图象和点的位置用数形结合思想来比较或利用特殊值法通过求值来比较．例2　如图，两个反比例函数y＝eq \f(4,x)和y＝eq \f(2,x)在第一象限内的图象分别是G1和G2，设点P在G1上，PA⊥x轴于点A，交G2于点B，则△POB的面积是多少？学生分小组讨论后给出答案，教师点评，并提问：双曲线的几何特性是什么呢？引导学生总结双曲线的几何特性：过双曲线y＝eq \f(k,x)上的任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形面积等于|k|，连接该点与原点，还可得出两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(k)),2).四、练习巩固1．教材第153页“随堂练习”．2．教材第155页“随堂练习”第1，2题．五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．反比例函数图象的画法及步骤是什么？3．反比例函数图象与位置的关系是什么？4．反比例函数有哪些性质？六、课外作业1．教材第154页习题6.2第1，3题．2．教材第157页习题6.3第1，2题．本节课的内容主要有两点：一是画反比例函数的图象，二是由图象得出反比例函数的性质．在教学中，通过学生自由探究、观察、类比学习，探索得出反比例函数的图象和性质，使学生经历获取新知的成功体验，充分体现了新课程的教学理念和自主探究的学习方法．学生的学习往往从问题开始，因为这样的学习具有方向性与原动力，因此，我把教学设计的主体设计成又若干个有一定逻辑顺序的问题，即通过复习反比例函数的定义——画出反比例函数的图象——根据图象得出反比例函数的性质——利用函数性质解决问题．层层深入，逐步培养学生的问题意识及利用所学知识解决问题的能力．3　反比例函数的应用1．分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题．2．经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题、理解问题、解决问题．发展应用意识，建立函数思想．重点根据具体情境建立反比例函数的模型，进而解决实际问题．难点理解反比例函数的实际意义．一、复习导入1．什么是反比例函数？2．反比例函数的图象是什么？3．反比例函数的图象有什么性质？教师指名学生回答．二、探究新知1．课件出示：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地．为安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务．你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？(2)当木板画积为0.2 m2时，压强是多少？(3)如果要求压强不超过6 000 Pa，木板面积至少要多大？(4)在直角坐标系中，画出相应的函数图象．(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释．学生思考后给出答案，教师点评，并强调：①画函数图象的三个步骤，②画出的图象应符合实际问题的实际意义，也就是列表时应注意自变量的取值范围，并可根据图象的性质回答相关的问题．2．课件出示：蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流I(A)与电阻R(Ω)间的函数关系如下图所示：(1)蓄电池的电压为多少？你能写出这一函数的表达式吗？(2)完成下表，并回答问题：如果蓄电池为电源的用电器限制电流不得超10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？分析：图象上所提供的信息包括：①直观上看，I与R之间的关系可能是反比例函数关系，利用相关知识IR＝U(U为定值)得到确认；②由图象上点A的坐标可知，当用电器电阻为9 Ω时，电流为4 A.解：(1)根据图象可得，当用电器的电阻为9 Ω时，电流为4 A．因为IR＝U(U为定值)，所以蓄电池的电压为U＝9×4＝36(V)．所以电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系为I＝eq \f(36,R).即I与R成反比例函数关系．(2)利用I与R之间的关系可得到下表：如果以此蓄电池为电源的用电器，限制电流不超过10 A，即I≤10 A，所以eq \f(36,R)≤10，R≥3.6 Ω.因此，用电器的可变电阻应控制在大于等于3.6 Ω的范围内．强调：我们还可以综合运用表格、图象来考查此问题，这样我们就可以形成对反比例函数较完整的认识．无论从图象还是从表格，我们都能观察出反比例函数在第一象限内I随R的增大而减小．当I＝10 A时，R＝3.6 Ω.因此当限制电流不超过10 A时，用电器的可变电阻应是不小于3.6 Ω的．3．课件出示：如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数y＝eq \f(k2,x)的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(eq \r(3)，2eq \r(3))．(1)分别写出这两个函数的表达式；(2)你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？分析：要求这两个函数的表达式，只要把点A的坐标代入即可求出k1，k2，求点B的坐标即求y＝k1x与y＝eq \f(k2,x)的交点．解：(1)∵点A(eq \r(3)，2eq \r(3))既在y＝k1x的图象上，又在y＝eq \f(k2,x)的图象上．∴eq \r(3)k1＝2eq \r(3)，2eq \r(3)＝eq \f(k2,\r(3)).∴k1＝2，k2＝6.∴正比例函数的表达式为y＝2x，反比例函数的表达式为y＝eq \f(6,x).(2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y＝\f(6,x)，))　得2x＝eq \f(6,x)，∴x2＝3.∴x＝±eq \r(3).当x＝－eq \r(3)时，y＝－2eq \r(3).∴点B的坐标为(－eq \r(3)，－2eq \r(3))．说明：这是一道函数综合问题，如有困难教师可以讲解．还可以通过对称性，借助图形进行理解．教师：建立反比例函数模型来解答实际问题的方法是什么呢？引导学生得出：①观察图象法；②关系式计算法．三、练习巩固1．教材第159页“随堂练习”．2．某学校冬季储煤120吨，若每天用煤x吨，经过y天可以用完．(1)请写出y与x之间的函数表达式；(2)画出函数的图象；(3)当每天的用煤量为1.2～1.5吨时，这些煤可用的天数在什么范围？四、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．建立反比例函数模型来解答实际问题的方法有哪些？3．反比例函数与正比例函数的图象相交，两交点关于什么对称？五、课外作业教材第159～160页习题6.4第1～3题．本节课教学的主要内容是反比例函数的应用，教学过程中要让学生经历从实际问题—建立模型—拓展应用—体会数学的应用价值的过程，培养学生的自主学习及合作学习的能力．但在中考中此节内容考查较简单，所以变式训练要适度. 综合与实践制作视力表1．通过测量、比较、计算，发现视力表中蕴含的数学知识．2．通过小组合作，能借助测试距离为5 m的“E”形图制作出一个测试距离为3 m的“E”形图．3．通过从数学的角度观察、分析视力表，初步形成“用数学”的意识，体会数学与实际生活息息相关．重点探索视力表中蕴含的数学知识．难点从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已有的知识解决问题．一、情境导入教师：视力表对我们来说并不陌生．但你想过吗？视力表中蕴含着一定的数学知识．你知道是什么知识吗？教师：本节课我们就来探索视力表中蕴含的奥秘．二、探究新知1．课件出示视力表，提出问题：度量视力表中视力为0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0所对应的“E”的长a、宽b、空白缺口宽d.学生独立测量，并把测量结果填在书上的表格中．教师：观察上表，你发现了什么？视力表中的各“E”形图之间有什么关系？学生小组交流讨论，共同归纳：视力表中的各“E”形图都是长与宽相等的图形，如果把视为0.1时的“E”形图作为基本图形，则视力为0.2，0.3，…，2.0时的“E”形图都与基本图形是相似图形．2．课件出示：用硬纸板复制视力表中视力为0.1，0.2，0.3，0.5，1.0所对应的“E”，并依次编号为①②③④⑤.取编号为①②的两个“E”，按下图的方式把它们放置在水平桌面上．如图，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点O看去，点P1，P2，O在一条直线上为止．这时我们说，在D1处用①号“E”测得的视力与在D2处用②号“E”测得的视力相同．教师：从图中你发现了什么？学生小组内讨论，教师点评．因为①号“E”与②号“E”都水平放置在桌面上，它们与桌面的边缘是垂直的．因此b1∥b2，又P1，P2，O在一条直线上，所以∠O为公共角，根据相似三角形的判定方法，两角对应相等的两个三角形相似，得△P1A1O∽△P2A2O.当人离①号“E”的水平距离l1与人离②号“E”的水平距离l2满足eq \f(l2,l1)＝eq \f(b2,b1)时，用①号“E”测得的视力和②号“E”测得的视力相同．3．课件出示：按照上述方式，将①～⑤各个“E”排列成如图所示的样子．教师：从图中你能得到什么？学生小组内讨论交流汇报答案，教师点评．并进一步讲解：按照上面大家讨论的结果，可以猜想得出，在D1处用①号“E”测得的视力，与在D2处用②号“E”测得的视力，在D3处用③号“E”测得的视力，在D4处用④号“E”测得的视力，在D5处用⑤号“E”测得的视力都相同．教师：根据刚才大家讨论出的结论，我们可以据此自己制作视力表．若一个视力表中的视力为0.1的“E”的长、宽都为60 mm，空白缺口宽为12.5 mm，求视力为0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.8，1.0，1.2，1.5，2.0时“E”的长、宽、空白缺口宽．学生独立制作视力表，教师巡视指导．三、练习巩固现有一个标准视力表，它要求的测试距离为5 m．根据这个视力表，怎样制作一个测试距离为3 m的视力表？如果要求测试距离为8 m呢？四、小结1．视力表中的各“E”形图之间有什么关系？2．如何找视力相同的图形“E”的大小和它的落脚点？五、课外作业到有关单位进行调查，目前较为通用的视力表有哪几种？它们与我们上面讨论的视力表是一种什么换算关系？整理调查结果并写出调查报告．本节课，教师从实际问题出发，通过有层次、环环相扣的问题，创设了许多与实际生活有关的问题情境，活跃了课堂气氛，激发了学生的学习和探究兴趣．如开始让学生观察生活中的视力表，再以标准对数视力表为例观察分析这些“E”形图的整体特点，体现了相似、位似知识在生活中的应用等，初步形成对相似图形的整体认识；再通过为学生测视力引出问题，利用动画制作把实际问题转化为数学问题，引导学生探究每一个“E”形图的特点．教师有效地引导学生从数学的角度、用数学的方法研究实际问题，进而解决实际问题，体现了综合实践课学习的价值．本课以学生的主动参与为基础，以学生的思维发展为目标，让他们懂得如何去自主探究、合作交流．教师给学生提供了较多的空间和时间，各组成员都有机会做汇报展示，小组交流合作探究是本节课最主要的学习方式，学生的主体作用得到充分的发挥．猜想、证明与拓广1．经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验．2．在问题解决过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识．3．在探究过程中，感受由特殊到一般的思维规律和数形结合、函数与方程的思想方法，体会证明的必要性．4．在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神．重点探究“任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积，分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径．难点综合运用一元二次方程、方程组、函数等知识发现具有一般性的结论．一、情境导入教师：同学们，图片中的人物你们认识吗？对，他是伟大的物理学家——牛顿．他在思考苹果为什么落地的问题时，首先做出了大胆的猜想，最终得出了一个伟大的结论——牛顿万有引力定律．同时也给我们留下了一句名言：没有大胆的猜想，就没有伟大的发现与发明．当然，仅靠大胆的猜想，并不能对问题作出正确的决策和判断，那么，怎样才能对问题作出全面、正确的决策和判断呢？本节课我们就一起探究解决问题的策略与方法——猜想、证明与拓广．二、探究新知1．感悟猜想教师：已知一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？ 引导学生思考：(1)要对这个问题作出合理的猜想，首先应怎么做？ (2)你得出的猜想是什么？你的猜想对任意正方形一定适用吗？学生讨论交流后回答，教师点评，并进一步讲解：猜想是在对具体事例的研究结论的基础上，通过类比或归纳得出的具有普遍性的结论．猜想前所需经历的重要过程就是特例尝试，要使得猜想合理化，就要通过特例尝试．2．体会证明猜想结论：任意给定一个正方形，不存在另一个正方形，使它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍．教师：你的猜想正确吗？对任意正方形一定适用吗？如何知道猜想的正确性？学生思索、讨论、交流意识到：通过几个特例得来的猜想不一定适用于所有正方形，必须要经过证明从而体会到证明的必性．3．学会拓广教师：由正方形的倍增问题的结论出发，从改变图形或改变条件或将此结论向更一般化的规律上去拓广等角度出发，你能提出新的问题吗？学生思考、讨论、交流，分析出：此命题受图形、周长、面积及2倍等条件因素的影响．教师：如果改变某一条件，新的命题就会生成，这就是拓广．拓广就是改变命题的某一条件，生成新的命题；拓广就是新一轮的猜想；拓广就是举一反三、思维的更高境界. 三、举例分析例1　任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍？面对矩形倍增问题，你有怎样的研究过程和步骤？请说出你的研究步骤．学生小组合作研讨解决此问题的主体步骤．每组可任选一种矩形的长和宽进行研究．然后得出确定的结论，注意解题策略的多样性，小组活动后展示本组的思维成果．例2　任意给定一个矩形，是否一定存在另一个矩形，它的周长和面积，分别是已知矩形周长和面积的一半？学生思考、讨论、交流、归纳．四、练习巩固1．当矩形满足什么条件时，存在一个新矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？2．自学教材第168页“读一读”．五、小结1．知识方面：(1)任意给定一个正方形，一定不存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形的2倍；(2)任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．2．数学思想方法方面：(1)转化思想——几何中图形是否存在的问题，常常把它转化为代数中方程是否有解的问题加以解决；(2)特殊到一般的思想——对一个问题的研究，一般先从特殊开始，然后再到一般．六、课外作业教材169～170页习题第1～4题．在实际教学中，我们常被课本或教学参考书中的教学设计模式牢牢套住，授课时按部就班，有时显得十分牵强附会．本设计尽可能做到摆脱课本内容模式对授课过程的束缚，在学生行动上先从简单易操作的动手试验入手，力求营造一个轻松愉快的课堂氛围，激发学生的学习兴趣和求知欲．在内容上先从最特殊的正方形的探究入手，让学生在轻松愉快的活动过程中建立起思考和解决问题的模式．然后循序渐进，通过类比、实验、探索、猜想、验证和拓广的数学模型，提出和解决了矩形的相关问题．然而，本课题中的具体问题仅是一个展示平台，在教学活动中感悟问题的产生和提出，体会知识的归纳、综合与拓展，领会处理与解决问题的方法与策略，积累一定的数学活动经验，才是本课题教学应追求实现的目标．因此，本节课教学更侧重于学生数学活动水平的提高，努力渗透数学思想方法、问题的处理和解决策略等，并力求做到人人参与，使不同的学生均有不同的收获．池塘里有多少条鱼1．进一步体会概率与统计之间的联系以及用样本去估计总体的统计思想．2．初步感受统计推断的合理性. 3．发展学生与人合作交流的意识和能力．重点结合具体情境，初步感受统计推断的合理性．难点进一步体会概率与统计之间的关系．一、情境导入教师：要想知道一个鱼缸里有多少条鱼，应怎么办？学生：只要数一数就可以．教师：如果要想知道鱼塘里有多少条鱼，该怎么办呢？教师：在日常生活中，有些对象可以通过直观数数的方法准确计量，而有些对象由于数量很大，我们无法直接用数数的方法去计量．本节课我们就一起以“池塘里有多少条鱼”为课题，来探索一种科学而有效的方法．二、探究新知1．活动一：教师：首先我们来看一个熟悉的试验：(课件出示)问题1: 一个口袋中有8个黑球和32个白球，任意摸出一个，摸到黑球的概率有多大？若任意摸出10个，你能推断这10个中可能有几个黑球吗？为什么？学生思考回答：球的总个数是40，黑球所占比例为eq \f(1,5)，故任意摸出10个，能推断这10个中可能有2个黑球．问题2：如果口袋中有8个黑球和若干个白球，不允许将球倒出来数，那么你能估计出其中的白球数吗？请你设计一种方案，试一试．启发学生思考，小组讨论后可能会引出下列两种方法．第一种方法：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，我共摸了200次，其中有57次摸到黑球．假设口袋中有x个白球，通过多次试验，可以得出摸出黑球的频率，依此，我们可以估计出从口袋中摸出1个球，它为黑球的概率．解得x≈20.在学生提出这一个方案后，教师可以提问：为什么要把摸出的球放回口袋中，如果不放回可以吗？第二种方法：利用抽样调查的方法，从口袋中一次摸出10个球，求出其中黑球数与10的比值，再把球放回口袋中．不断重复上述过程．我总共摸了20次，黑球数与10的比值的平均数为0.25.假设口袋中有x个白球，通过多次抽样调查，求出样本中黑球数与总球数比值的“平均水平”，这个“平均水平”应近似等于口袋中黑球的概率．解得x ≈24.在学生得到上述两种方法后，引导学生讨论：(1)这两种方法合理吗？两种方法的依据有什么不同？(第一种方法是利用频率估计概率，第二种方法是利用样本估计总体)(2) 这两种方案计算的结果一样吗？(两种方案的计算结果都是近似值，都有误差)(3)怎样才能获得较为精确的估计值呢？(保证摸球的随机性，使试验次数尽可能的多，进而求“平均值”，是减小误差的有效方法．当总数较小时，用第一种方法比较精确；当总数较大时，用第二种方法具有现实意义)学生对问题的讨论的过程中，看法多种多样，只要有道理教师应给予肯定与鼓励．2．活动二：活动内容：分组活动进行摸球试验收集数据．活动过程：在每个小组的口袋中放入已知个数的黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．(1)分别利用上述两种方法估计口袋中所放的白球数. (学生动手操作，老师巡视指导)　　学生完成后，分组汇报结果，老师把同学的数据填在表格里，然后，老师继续出示下列问题：(2)打开口袋，数数口袋中白球的个数，你们的估计值与实际结果一致吗？为什么？ (学生议论计算结果的精确情况)(3)全班交流，看看各组的估计结果是否一致．各组结果与实际情况的差别有多大？ (4)怎样可以使估计结果较为准确？3．活动三：如果口袋中只有若干个白球，没有其他颜色的球，而且无法全部将球倒出来数，那么你如何估计出口袋中的白球数量呢？与同伴交流．学生分组自由讨论，讨论完成后得出以下方法：方法1：另外找几个黑球放入口袋就可以了．方法2：如果没有黑球，将口袋中的几个白球染成黑色．方法3：给其中几个白球做上了标记．三、举例分析例　赤峰某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉20只黄羊给它们分别作上标记，然后放还，待有标记的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉40只黄羊，发现其中两只有标记，从而估计这个地区有黄羊__________只． 分析：第二次捕捉40只黄羊，并以其中有标记的2只黄羊的比例作整个赤峰某地区有标记的黄羊的比例，据此估计该地区黄羊的数量． 解：估计这个地区有黄羊x只，则2∶40＝20∶x，x＝400.即估计该地区有黄羊400只．四、练习巩固1．小明想知道自家鱼塘中鱼的数量，他先从鱼塘中捞出100条鱼分别作上记号，再放回鱼塘，等鱼完全混合后，第一次捞出100条鱼，其中有4条带标记的鱼，放回后，第二次又捞出100条鱼，其中有6条带标记的鱼，请你帮他估计鱼塘中鱼的数量是多少．2．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，再把它放回口袋中搅匀，不断重复上述过程，试验中共摸了200次，其中50次摸到红球．求口袋中有多少个白球．五、小结通过本节课的学习，你有什么收获？六、课外作业1．一个盒子中有6个白球，每次随意取出一个放回再取，重复200次，有40次取出的是白球，其他颜色的球有多少个？2．木箱中有6个红球，2个黄球，还有一些蓝球，每次从中随意摸出一个球再放回，共摸100次，其中有15次是红球，4次是黄球，那么蓝球大约有多少个？本节课采用“创设情境——探索新知——归纳新知——运用新知”为主线的教学思维过程．在学习过程中充分体现教师引导，学生自主学习的教学理念．根据学生的实际情况，通过试验解决口袋中白球的问题，意在让学生体会研究概率的方法，感受概率与现实生活的联系．个别小组没有明确试验方向，多数小组采用第一种做法，教师在试验之前可以先引导全体学生分析可行的试验方法，并且各个小组可以在同一时间内用两种方法进行试验，这样学生在做试验的同时会根据数据比较两种方法的优缺点．从而让学生经历从现实世界中抽象出数学模型的过程，使学生感到数学就在我们身边，充分体现了数学源于生活，用于生活．R/Ω20406080100I/Ax－2－1－eq \f(1,2)eq \f(1,2)13yeq \f(2,3)2－1表达式　图象的位置　y随x的变化情况y＝eq \f(4,x)图象在第一、三象限内在每个象限内，y的值随着x值的增大而减小y＝eq \f(－4,x)图象在第二、四象限内在每个象限内，y的值随着x值的增大而增大R/Ω345678910I/A4R/Ω345678910I/A129eq \f(36,5)6eq \f(36,7)eq \f(9,2)4eq \f(18,5)组估计值实际值差值12345