福建省厦泉五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)

这是一份福建省厦泉五校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,,则( )
A.-1B.0C.1D.2
2．椭圆上一点P到左焦点的距离为6,则P到右焦点的距离为( )
A.5B.6C.4D.12
3．“”是“直线与圆相切”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分条件也不必要条件
4．下列命题中,不正确的命题是( )
A.空间中任意两个向量一定共面
B.若,则存在唯一的实数,使得
C.对空间中任一点O和不共线的三点A,B,C,若,则P,A,B,C四点共面
D.若是空间的一个基底,,则也是空间的一个基底
5．平行六面体的底面是边长为2的正方形,且,,M为,的交点,则线段的长为( )
A.B.C.3D.
6．在平面直角坐标系中,直线被圆截得的最短弦的长度为( )
A.B.2C.D.4
7．已知,分别为椭圆的两个焦点,P是椭圆E上的点,,且,则椭圆E的离心率为( )
A.B.C.D.
8．如图是一个棱数为24,棱长为的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点E为线段上的动点,则直线与直线所成角的余弦值的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．空间直角坐标系中,已知,,下列结论正确的有( )
A.
B.点A关于平面对称的点的坐标为
C.若,则
D.若,,则
10．如图,在棱长为2的正方体中,E,F,G分别为棱,,的中点,则( )
A.直线与所成角的余弦值为
B.点F到直线的距离为1
C.平面
D.点到平面的距离为
11．已知椭圆,,分别为它的左右焦点,A,B分别为它的左右顶点,点P是椭圆上的一个动点,下列结论中正确的有( )
A.存在P使得B.椭圆C的弦MN被点平分,则
C.,则的面积为9D.直线PA与直线PB斜率乘积为定值
三、填空题
12．已知直线l的一个方向向量为,则直线l的斜率为______________.
13．已知F为椭圆的一个焦点,点M在C上,O为坐标原点,若,则的面积为_____________.
14．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,已知点,,圆,在圆上存在点P满足,则实数m的取值范围是______________.
四、解答题
15．已知的顶点,边上的高所在直线为,D为中点,且所在直线方程为.
(1)求边所在的直线方程;
(2)求顶点B的坐标.
16．已知空间三点,,.
(1)求向量与夹角的余弦值;
(2)求的面积.
17．已知圆C的圆心M在直线上,并且经过点,与直线相切.
(1)求圆C的方程;
(2)经过点的直线l与圆C相交于A,B两点,若,求直线l的方程.
18．已知椭圆C的中心在坐标原点,左焦点为,点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B,若（O是坐标原点）的面积,求直线AB的方程.
19．已知O为坐标原点,圆,直线,如图,直线l与圆O相交于A（A在x轴的上方）,B两点,圆O与x轴交于M,N两点（M在N的左侧）,将平面沿x轴折叠,使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）互相垂直,再以O为坐标原点,折叠后原y轴负半轴,原x轴正半轴,原y轴正半轴所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)若.
（ⅰ）求三棱锥的体积;
（ⅱ）求二面角的余弦值.
(2)是否存在m,使得折叠后的长度与折叠前的长度之比为？若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：因为.
故选：B.
2．答案：C
解析：由,则,所以,
根据椭圆的定义,点P到右焦点的距离为.
故选：C.
3．答案：A
解析：圆的圆心为,半径为,
若直线与圆C相切,则,解得或3,
且是的真子集,
所以“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.
故选：A.
4．答案：B
解析：A选项,空间中任意两个向量可以通过平移的方法平移到同一个平面,
所以空间中任意两个向量一定共面,A选项正确.
B选项,若,可能是非零向量,是零向量,
此时不存在,使,所以B选项错误.
C选项,对于,有,所以P,A,B,C四点共面,
所以C选项正确.
D选项,若是空间的一个基底,,
假设,,,
则,,共面,与已知矛盾,所以,,不共面,
所以是基底,所以D选项正确.
故选：B.
5．答案：A
解析：由题意可知：,
则
,
所以.
故选：A.
6．答案：C
解析：直线过定点,
圆,圆心,半径
因为点在圆M内,由圆的几何性质可知,当直线l时,
弦长最短为,
故选：C.
7．答案：C
解析：由椭圆定义得：,又因为,
所以解得：,
再由于,,结合勾股定理可得：,
解得,所以椭圆E的离心率为,
故选：C.
8．答案：C
解析：由题意得该几何体有6个面为边长为的正方形,8个面为边长为的等边三角形,
在原正方体中建立如图所示的空间直角坐标系,原正方体边长为2,
则,,,设,,
,,
则直线DE与直线AF所成角的余弦值,
而,故,,
故选：C.
9．答案：ACD
解析：由题意,A正确;
关于平面对称的点的坐标x,y坐标相同,z坐标相反,因此点A关于平面对称的点的坐标为,B错,
若,则,所以,C正确;
若且,则,解得,D正确,
故选：ACD.
10．答案：BC
解析：如图,以D为坐标原点建立空间直角坐标系,
则,,,,,,,
且E,F,G分别为棱,,的中点,可知,,
可得,,,,,
对于选项A：因为,
所以直线与所成角的余弦值为,故A错误;
对于选项B：因为在方向上的投影向量的模长为,且,
点F到直线的距离为,故B正确;
对于选项C：因为,可得,
且,,平面,所以平面,故C正确;
对于选项D：因为平面的法向量可以为,
点到平面的距离为,故D错误;
故选：BC.
11．答案：ABC
解析：对于A.由余弦定理知
,
当且仅当时,等号成立,
因为在上递减,所以此时为钝角最大,
所以存在P使得,所以A正确;
对于B.当直线MN的斜率不存在,即直线时,,,
不是线段MN的中点,所以直线MN的斜率存在.
设,,则,两式相减并化简得,
所以,所以B正确;
对于C.,,
因为,所以,
因为,解得.
因为,所以,所以C正确;
对于D.,,设,则,整理得,
可得直线PA,PB的斜率分别为,,
所以,所以D错误.
故选：ABC.
12．答案：-5
解析：由题意可知,直线l的斜率为.
故答案为：-5.
13．答案：
解析：法一：设椭圆上,则,又,
联立解得,,
则.
法二：设椭圆的另一焦点,,则焦点为直角三角形,
设,,则,,解得,
所以.
则.
故答案为：.
14．答案：
解析：设,因为点,,,
所以,即,
所以,可得圆心,半径,
由圆可得圆心,半径,
因为在圆C上存在点P满足,
所以圆与圆有公共点,
所以,整理可得：,
解得,
所以实数m的取值范围是,
故答案为：.
15．答案：(1);
(2).
解析：(1)由边上的高所在直线的斜率为1,得直线的斜率为-1,
又直线过,所以直线的方程为,即.
(2)由直线的方程为,而顶点B为直线与直线的交点,
由,解得,
所以点.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,,,
则,,,,
所以;
(2)由(1)得,
则,
所以.
17．答案：(1)
(2)或
解析：(1)设圆的方程为,
由已知得,
解得,,,
所以圆的方程为,即;
(2)① 若直线l有斜率,可设的方程为,即,
由已知,则圆心到直线l的距离
解得,
此时,直线l的方程为,即;
② 若直线l没有斜率,则l的方程为,
将其代入,可得或,
即得,,满足条件,
综上所述,直线l的方程为或.
18．答案：(1);
(2)或.
解析：(1)根据题意,设椭圆C的方程为=1,
因为椭圆的左焦点为,设椭圆的右焦点为,
由椭圆的定义知,所以,所以,
所以,
所以椭圆C的方程为,
(2)设,,
由题可设直线AB的方程为.
联立直线与椭圆的方程,,消去x得,
则有,,
所以
又由,即
解得,即.
故直线AB的方程为,即或
19．答案：(1)（ⅰ）;（ⅱ）
(2)存在,
解析：(1)（ⅰ）若,折叠前直线l的方程为,
联立,解得或,可得,,
圆,与x轴交于M,N两点,则,
折叠后三棱锥的体积为.
（ⅱ）由（ⅰ）及已知,则,,,,
,.
设平面的一个法向量为,
则,即,
令,则,,所以.
易知为平面的一个法向量,
设二面角的大小为,由题可知为锐角,
所以
故二面角的余弦值为.
(2)设折叠前,,圆心到直线l的距离,
则,
直线l与圆O方程联立得,
即,.
设A,B在新图形中的对应点分别为,,
,,
.
若折叠后的长度与折叠前的长度之比为,
则,解得,
故当时,折叠后的长度与折叠前的长度之比为.