华大新高考联盟2025届高三上学期11月教学质量测评数学试卷(含答案)

这是一份华大新高考联盟2025届高三上学期11月教学质量测评数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，，则的真子集个数为( )
A.1B.3C.7D.15
2．已知（其中i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则在复平面内，所对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
3．已知向量，，若，则( )
A.2B.3C.D.
4．小明新买的储蓄罐有5位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6项中随机抽取5个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6项依次为“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为( )
A.144B.120C.84D.116
5．已知抛物线的焦点F到准线l的距离为2，第一象限的点A在抛物线C上，过点A作l的垂线，垂足为点B，若，且点在直线上，则直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
6．已知在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值可能为( )
A.B.1C.3D.5
7．若函数，则的解集为( )
A.B.C.D.
8．已知正方体的表面积与体积之比为6，若，，则四面体的体积的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列四棱锥的所有棱长都相等，A，B，C，D，E是四棱锥的顶点或所在棱的中点，则直线不与平面垂直的是( )
A.B.
C.D.
10．已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次记为A，B，C，若，则( )
A.的最小正周期为
B.
C.将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则在上的值域为
D.若函数，则在上有6个零点
11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆C交于P，Q两点，则( )
A.若，则
B.若l过右焦点，且，，则椭圆C的离心率为
C.若l过右焦点.且，，则椭圆C的离心率为
D.若，，且椭圆上存在一点B，使得，则
三、填空题
12．定义：已知平面向量，表示夹角为的两个单位向量，O为平面上的一个定点，A为平面上任意一点，当时，定义为点A的斜坐标.设点B的斜坐标为，则________.
13．将一组嵌套模型一一拆分之后所得的图形如下所示，若图中每个小正方体的外接球的表面积为，则以此类推，第10个图形的体积为________.
14．某站台经过统计发现，一号列车准点到站的概率为，二号列车准点到站的概率为，一号列车准点到站或者二号列车不准点到站的概率为，记“一号列车准点到站且二号列车不准点到站”为事件A，“一号列车不准点到站且二号列车准点到站”为事件B，则________.
四、解答题
15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，在双曲线C上.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知不与x轴垂直且过的直线l与双曲线C交于P，Q两点，若，，且，求证：.
16．某公司有意在小明、小红、小强、小真这4人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试且采用积分制，其中小明和小红通过初试的概率均为，小强和小真通过初试的概率均为，小明和小红通过复试的概率均为，小强和小真通过复试的概率均为，通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，本次面试满分为10分，且初试未通过者不能参加复试.
(1)若从这4人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率；
(2)若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望.
17．已知圆柱如图所示，其中正方形为轴截面，点E，G为圆上异于A，B且同侧的点，且，点F为线段的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若平面与平面夹角的正切值为，求的值.
18．已知函数，的导函数为，且.
(1)讨论的单调性；
(2)若为的极大值点，求实数a的取值范围；
(3)若为锐角，比较和的大小关系，并说明理由.
19．已知有序数组，，分别为：，，，…，，：，，，…，，，1，2，3，…，，若它们之间满足：
①；
②；
则称为的双覆盖数组.为的单覆盖数组.
(1)有序数组，分别为：8，5，4，a，：b，c，d，2，若为的双覆盖数组，求a，b，c，d的值.
(2)已知为的单覆盖数组，其中又可记为.
（i）判断满足条件的的个数为奇数个还是偶数个，并给出说明过程.
（ii）判断是否能成为的单覆盖数组.若是，写出所有满足条件的双覆盖数组；若不是，说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：依题意，，故，则有3个真子集，故选B.
2．答案：A
解析：方法一依题意，
，
故解得
则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.
方法二易知方程的解为，则，
即解得
则在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.
3．答案：D
解析：依题意，，
故，解得，
故，故选D.
4．答案：B
解析：若选的数字只有一个1，此时有两个偶数，则不同的排列方法有种；
若选的数字有两个1，则不同的排列方法有种.
故共有种不同的设置方法，故选B.
5．答案：C
解析：依题意，得，设，则，而，且，故，则，解得，故直线的倾斜角为，故选C.
6．答案：B
解析：依题意，得，
故，则，
因为A为锐角，所以.
依题意，，而
故，故，
则，故选B.
7．答案：A
解析：依题意，，易知在R上单调递减，且，故的图象关于中心对称，
则为奇函数且单调递减，
故
，故选A.
8．答案：C
解析：依题意，，解得.如图所示，过点F作，过点E作，，且与交于点O，设，，
则，，，
，
故，当且仅当时，V取到最大值，故选C.
9．答案：BCD
解析：B中直线平面；C、D中与不垂直，故直线平面不成立.故选BCD.
10．答案：ACD
解析：依题意，，故A正确；
，故，，
记，则，，
故，则①.
而②，联立①②可得，故B错误；
，
故当时，，，
故，C正确；
，
在直角坐标系中分别作出，的图象如图所示，
观察可知，它们在上有6个交点，即在上有6个零点，故D正确.故选ACD.
11．答案：ACD
解析：若，则，故A正确；
设，则，，，
在中，，解得，
在中，，则，故B错误；
设，则，又因为，所以，
由椭圆的定义知，得.
又，即点Q为短轴端点，
故在中，，
在中，，
解得，故C正确；
设，，则，则，
因为点P，Q，B均在椭圆C上，
故，，，
因为，故，
故，
联立故，
显然，，，
故，解得，故正确.
故选ACD.
12．答案：
解析：依题意，，
则.
13．答案：2648.
解析：设小正方形的边长为，则，解得.故第10个图形的体积为2648.
14．答案：
解析：记“一号列车准点到站”为事件M，“二号列车准点到站”为事件N，则，，
，故，
则，则，
故，
而，即，故，
则.
15．答案：(1)；
(2)证明见解析
解析：（1）依题意，
解得，，故双曲线C的方程为.
（2）依题意，得，设直线l的方程为，，，
联立整理得，
因此当时，，
，，
则，即
故直线，
令，得，则，
故，
故.
16．答案：(1)；
(2)分布列见解析，
解析：（1）记选出小明、小红参加面试为事件，选出小明、小红或小强、小真各一人参加面试为事件，选出小强、小真参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于16分为事件B，
则，，，
（2）X的可能取值为0，6，10，12，16，20，
故，，
，，
，.
故X的分布列为：
则.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为，故，
而平面，平面，故平面.
取线段的中点H，连接，，
则，，故，
故四边形为平行四边形，则.
而平面，平面，故平面.
而，平面，平面，
故平面平面.
（2）如图，连接，因为是圆O的直径，所以，过点E作圆柱的母线，则平面，所以，，互相垂直，以E为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，，，则，
则，，，
所以，.
设为平面的法向量，
令，解得所以为平面的一个法向量.
易知为平面的一个法向量.
因为平面与平面夹角的正切值为，故夹角的余弦值为，
所以，化简得，
而，解得（舍去），则.
18．答案：(1)答案见解析；
(2)；
(3)，理由见解析
解析：（1）依题意，有，
当时，，在上单调递增；
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）依题意，，
当时，易知，由（1）可知，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，不符合题意，舍去；
当时，，且，
由（1）可知，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以是函数的极小值点，不符合题意；
当时，，，，在上单调递增，故无极值点，不符合题意；
当时，，且；
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，是的极大值点，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围为.
（3）结论：.
要证，
即证，
即证，
即证，，
因为，，
即证当时，.
即证当时，.
令，由（2）可知，当时，，
故，则，
令，则，
所以在上单调递增，故，即，
两式相加可得，，
即.
19．答案：(1)，，，
(2)（i）的个数为偶数个，说明过程见解析；（ii）答案见解析
解析：（1）由，
可得，则
（2）（i）依题意，设为的双覆盖数组，
构造数组：；
记，
所以当时，，，
且.
因为，
所以也是的双覆盖数组，
一方面，因为，，
所以.
另一方面，假设，因为，所以，
所以，与矛盾，所以，
故满足条件的的个数为偶数个.
（ii）假设是的双覆盖数组.
由题意得，，
相加得，即，
当时，，与矛盾，
故不能成为的单覆盖数组.
当时，能成为的单覆盖数组.
当时，，又因为，，
所以有两种可能：.
故有四种情况：，，，.
X
0
6
10
12
16
20
P