青海省西宁市大通县2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份青海省西宁市大通县2025届高三上学期期中考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．下列双曲线中,焦点在y轴上的是( )
A.B.
C.D.
2．已知集合,,则中元素的个数为( )
A.5B.4C.3D.2
3．若复数z满足,则z的虚部与实部之差为( )
A.2B.-2C.-4D.
4．将7张不同的邮票分给甲、乙、丙三位同学,每人至少2张,且邮票都要分完,则甲、乙分得的邮票数相等的分法共有( )
A.210种B.420种C.240种D.480种
5．下列函数中,在上为减函数的是( )
A.B.
C.D.
6．若是等差数列,且,,则数列的前10项和为( )
A.B.C.D.
7．已知过抛物线的焦点F作斜率为的直线l,l与C的一个交点A位于第四象限,且l与C的准线交于点B,若,则( )
A.B.2C.D.3
8．已知,,则使成立的一个充分条件是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．已知的终边经过点,则( )
A.B.可能等于
C.D.可能等于
10．已知表示不超过x的最大整数.设函数的两个零点为,,则( )
A.B.C.D.
11．在体积为的正四棱锥中,异面直线PC与AB所成角的余弦值为,则( )
A.
B.二面角的余弦值为
C.正四棱锥的外接球的表面积为
D.直线BC与平面PCD所成角的正切值为2
三、填空题
12．已知离散型随机变量X的分布列为
则___________.
13．已知,,且是奇函数,则___________.
14．已知向量,,满足,,,.若恒成立,则的最大值为______________.
四、解答题
15．某红茶批发地只经营甲､乙､丙三种品牌的红茶,且甲､乙､丙三种品牌的红茶优质率分别为,,.
(1)若该红茶批发地甲､乙､丙三种品牌的红茶市场占有量的比例为,小张到该批发地任意购买一盒红茶,求他买到的红茶是优质品的概率;
(2)若小张到该批发地甲､乙､丙三种品牌店各任意买一盒红茶,求他恰好买到两盒优质红茶的概率.
16．在中,A、B、C的对边分别为a、b、c,且.
(1)若的面积,,求a;
(2)若,求C.
17．如图,四边形ABCD是正方形,AE,DF,BG都垂直于平面ABCD,且,,,M,N分别是EG,BC的中点.
(1)证明：平面ABCD.
(2)若,求点N到平面AMF的距离.
18．已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,,求m的取值范围;
(3)若有3个零点,求a的取值范围.
19．椭圆有一个光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光照射到椭圆上,其反射光线会经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆的左、右焦点分别为,,光线从发出,经过C上一点（不在x轴上）反射后,到达椭圆上的点,再反射到达C上的点,不断反射,得到反射点列,设.
(1)若C的焦距为2,,,求C的离心率;
(2)证明：;
(3)证明：是等比数列.
参考答案
1．答案：C
解析：根据双曲线的标准方程可知,双曲线的焦点在y轴上.
故选：C.
2．答案：A
解析：由可知集合B中的元素是非负偶数,
所以可得,则中元素的个数为5.
故选：A.
3．答案：B
解析：因为,
所以,复数z的虚部为-3,实部为-1,
所以,z的虚部与实部之差为.
故选：B.
4．答案：A
解析：依题意可得,甲、乙分得的邮票数相等且丙至少2张,意味着甲、乙两人都分得2张邮票,
所以甲、乙分得的邮票数相等的分法共有种.
故选：A.
5．答案：D
解析：,,在上均不是单调函数,
时,,
所以在上为增函数,在上为减函数.
故选：D.
6．答案：C
解析：设等差数列的公差为d,则,
所以,则,
故数列的前10项和为.
故选：C.
7．答案：B
解析：如图,过点A作准线的垂线,垂足为D,则,,
由,得,则,
因此,所以.
故选：B.
8．答案：B
解析：对于A,取,,显然有成立,但不成立,不符合题意.
对于B,由,得,所以,可推出,符合题意.
对于C,,可得,不符合题意.
对于D,由,得,因为,,所以,
所以,不能推出,不符合题意.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：因为的终边经过点,且,
所以,,故A,C正确.
因为点在第四象限,所以不可能等于,可能等于,B错误,D正确.
故选：ACD.
10．答案：AC
解析：.当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
因为,,,,
所以,,所以,.
故选：AC.
11．答案：BCD
解析：取的中点E,设O为正方形的中心,连接,,则.
因为,所以异面直线与所成的角即,则.
设,则,,,则,
所以正四棱锥的体积为,
解得,所以,故A错误.
在正方形中,由于,E为的中点,
所以,则为二面角的平面角,
所以,故B正确.
设正四棱锥的外接球的球心为M,且,又,
由,得,解得,
所以正四棱锥的外接球的表面积为,故C正确.
因为,所以直线与平面所成的角即直线与平面所成的角.
过点O作,垂足为H,
因为平面,且平面,
所以,又,且,平面,
所以平面,又平面,
所以,又,且,平面,
所以平面,
则为直线与平面所成的角,
则,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由分布列,有.
故答案为：.
13．答案：-5
解析：由是奇函数,得,
令,得,则.
故答案为：-5.
14．答案：
解析：因为,结合,所以.
建立如图所示的平面直角坐标系,
使得,.
令,则,,
代入,整理得,
所以点在以为圆心,为半径的圆上.
因为,点A在圆M内,所以,
当且仅当点C在的延长线上时,等号成立.
若恒成立,则,所以的最大值为.
故答案为：
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)设事件A,B,C分别表示小张买到的红茶品牌为甲品牌、乙品牌、丙品牌,事件D表示他买到的红茶是优质品,
则依据已知可得,,,,
由全概率公式得,
所以他买到的红茶是优质品的概率为.
(2)设事件E表示他恰好买到两盒优质红茶,组成事件E的情况有：
甲乙优质红茶丙非优质红茶、甲丙优质红茶乙非优质红茶,乙丙优质红茶甲非优质红茶,且优质与否互相独立,
则,
所以他恰好买到两盒优质红茶的概率为.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,得.
因为,所以,得,.
由余弦定理可得,所以.
(2)解：由及正弦定理得.
因为,,
所以,即,
即.
因为,所以,所以,即.
17．答案：(1)证明见详解
(2)
解析：(1)因为,,都垂直于平面,则.
取的中点H,连接,,
则,且,
所以且,所以四边形为平行四边形,
可得,
且平面,平面,所以平面.
(2)连接.
以D为坐标原点,,,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,
可得,,.
设平面的法向量为,则,
取,得,,可得.
故点N到平面的距离.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)当时,,则,
所以,,
所以曲线在点处的切线方程为,
即.
(2)当时,在上单调递增,
因为,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,解得,
故m的取值范围为.
(3)因为,则0为的1个零点,
因为有3个零点,所以在上有2个零点,
即方程有2个不同的实根,
即直线与函数的图象在上有2个不同的交点,
设,则,
令,得,在上单调递增;
令,得,在上单调递减,
,,
因为直线与函数的图象在上有2个不同的交点,
所以,即a的取值范围是.
19．答案：(1);
(2)证明见解析;
(3)证明见解析.
解析：(1)由题意,得,则,.
因为,,三点共线,所以,解得.
又,所以C的离心率为.
(2)由题意,得,,三点共线,其中.
当时,直线的方程为,
代入,得.
由韦达定理得,,
所以①.
假设,则.
由①,得,即,解得,
此时,则,这与不在x轴上矛盾,
所以假设不成立,即.
(3),,三点共线,其中,
当时,直线的方程为,
与(2)同理,得②.
由①②,得.
当时,同理得.
所以对任意,都有,即,
可化为,即,
所以是首项为,公比为的等比数列.
X
1
2
3
4
P