精品解析：江苏省苏州市苏州中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷（原卷版+解析版）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列方程一定是关于 的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列各条件中，能判断的是（ ）
A. ，
B. ，
C ，
D. ，，，
3. 如图，四边形内接于，它的一个外角，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 定义运算，例如，则方程的根的情况为（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 只有一个实数根
5. 如图，、是的弦，且，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，与是位似三角形，位似比为，已知，则DE的长等于（ ）
A. B. C. D.
7. “读万卷书，行万里路”我校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均课外阅读量从七年级的每年50万字增加到九年级的每年80万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，，若，则下面结论错误的是（ ）．
A. B. C. D.
9. 如图，的内切圆与相切于点D、E、F，已知，则的长是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（ ）
A. 4B. 8C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 方程 的解是____．
12. 若，则值为____．
13. 已知点P是线段的一个黄金分割点，且，那么的比值为________．
14. 如图，在宽为，长为矩形地面上修建两条宽均为的小路（阴影），余下部分作为草地，草地面积为，根据图中数据，求得小路宽的值为__________．
15. 已知四边形是矩形，，，以点B为圆心为半径圆交于点E，则图中阴影部分的面积为__________．
16. 如图，是的直径，将弧沿弦折叠后，弧刚好经过圆心．若，则的半径长是___．
17. 已知是方程的一个根，试求的值______．
18. 如图，为的直径，C为上一点，其中，P为上的动点，连接，取中点Q，连，则线段的最大值为______．
三、解答题：本题共10小题，共96分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
19. 用指定方法解下列一元二次方程
（1）（直接开平方法）
（2）（配方法）
（3）（公式法）
（4）（因式分解法）
20. 如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上的一点，且，于点E，交⊙O于点D．若⊙O的半径为6，求弦AB的长．
21. 如图，在正方形中，E为边的中点，点F在边上，且，求证：．
22. 已知三边满足，且．
（1）求的值；
（2）判断的形状．
23. 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个实数根，求的取值范围；
（2）设的两个实数根为，，若，求的值．
24. 图Ⅰ是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图Ⅱ是求大拇指高度的示意图．如图Ⅱ，在C处放置一根高度为2m且与地平线垂直的竹竿，点A，I，D在同一直线上，测得为．将竹竿3m平移至E处，点A，G，F在同一直线上，测得为．求大拇指的高度．
25. 如图，已知是的外接圆，是的直径，是的延长线上的点，弦交于点．，．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求的半径．
26. 某超市销售一种饮料，进价为每箱48元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售60箱．现为了尽量减少库存，决定对该饮料降价销售，市场调查发现：若这种饮料的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱．
（1）若11月份每箱饮料降价2元，则该超市11月份可获得的利润是多少？
（2）若该超市预计12月份要获得770元的利润，则每箱饮料售价应定为多少元？
（3）该超市能否每月获得880元的利润？若能，求出售价为多少元？若不能，请说明理由．
27. 按要求利用无刻度直尺作图（保留作图痕迹）．
（1）如图1，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，且每个小正方形的边长为1，经过A，B，C 三个格点，用无刻度的直尺作出圆心O；
（2）如图2，在平行四边形中，，以为直径的圆与相切于点D．请仅用无刻度直尺在图中作出的重心M．
28. 新定义：如果一个四边形的对角线相等，我们称这个四边形为美好四边形．
【问题提出】
（1）如图1，若四边形是美好四边形，且，，，，求四边形的面积；
【问题解决】
（2）如图2，某公园内需要将4个信号塔分别建在，，，四处，现要求信号塔建在公园内一个湖泊边上，该湖泊可近似看成一个半径为的圆，记为．已知点到该湖泊的最近距离为，是否存在这样的点，满足，使得四边形的面积最大？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．