重庆市礼嘉中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版）-A4

这是一份重庆市礼嘉中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了 已知曲线等内容，欢迎下载使用。
（全卷满分150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项.
3.作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若向量，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
2. 已知复数，其中是虚数单位，则（ ）
A. 1B. C. D.
3. 某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有16件，则样本容量（ ）
A. 40B. 60C. 80D. 100
4. 用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为，则球的体积（ ）
A B. C. D.
5. 已知双曲线过点，且与椭圆有相同的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
6. 如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线与动圆，下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 当时，若直线与圆相切，则
C. 若存在一条直线与圆相交截得弦长为定值，则
D. 当时，直线截圆的最短弦长为
8. 已知，分别是双曲线的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A. 7B. 8C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，如甲、乙两人各射击一次，则下列求解过程正确的是（ ）
A. 目标恰好被命中一次的概率为
B. 目标恰好被命中两次的概率为
C. 目标被命中的概率为
D. 目标被命中的概率为
10. 已知曲线（ ）
A. 若，则为椭圆
B. 若，则为双曲线
C. 若椭圆，则其长轴长一定大于
D. 若为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于
11. 已知圆，圆，则（ ）
A. 若圆与圆无公共点，则
B. 当时，两圆公共弦长所在直线方程为
C. 当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为
D. 当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设的三个内角的对边分别为，已知，则__________.
13. 如图，椭圆和双曲线的公共焦点分别为，是椭圆与双曲线的一个交点，则_________.
14. 已知圆，为圆外的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，使取得最小值的点称为圆的萌点，则圆的萌点的轨迹方程为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的周长为，且.
（1）求边长；
（2）若的面积为，求角的度数.
16. 已知点，动点满足到两点距离之比为.设动点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）已知直线过点，且与曲线交于两点，若，求的方程.
17. 已知椭圆（）的离心率为，长轴长为，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P为椭圆上一点，且∠F1F2P＝90°，求△F1F2P面积；
（3）过点A作斜率为k1，k2的两条直线，分别交椭圆于D，E两点，若D，E两点关于原点对称，求k1k2的值．
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”
（1）求点P所在曲线的方程.
（2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.
（ⅰ）求直线的方程.