福建省龙岩市侨育中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省龙岩市侨育中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据并集的概念求解.
【详解】集合，，则.
故选：C.
2. 已知集合，则“”是“”（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由集合间的包含关系即可判断.
【详解】
所以,
所以“”是“” 的充分不必要条件.
故选：C
3. 函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先列出关于x的不等式组，解之即可求得函数的定义域.
【详解】由，可得，故且
则函数的定义域是
故选：D
4. 设，，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数的单调性可得A错误；由的单调性可得B错误；作差可得C正确，取可得D错误；
【详解】对于A，由在上是增函数可得，故A错误；
对于B，由在上是减函数可得，故B错误；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，当时，，故D错误；
故选：C.
5. 已知实数，则的最小值是（ ）
A. 8B. 7C. 6D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】将变形为，再利用基本不等式即可计算求解.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值是7.
故选：B.
6. 函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用换元法求出，代入求值即可.
【详解】函数，令，
则，
所以，则.
故选：B.
7. 奇函数在上单调递增，若，则不等式的解集是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由奇偶性，单调性结合题意可得答案.
【详解】因奇函数在上单调递增，
则在上单调递增，f1=0.
得；.
则或.
故选：C
8. 已知，，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用幂函数的单调性比较大小.
【详解】，，，
∵函数在上单调递增，且，
∴，即.
故选：A.
二、多选题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，是奇函数的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据常见函数的奇偶性及奇函数的定义判断.
【详解】是奇函数，是奇函数，是偶函数，不是奇函数，故AB正确，C错误；
令，其定义域为R，∵，
∴是奇函数，即是奇函数，故D正确.
故选：ABD.
10. 函数 (x≠1)定义域为[2，5)，下列说法正确的是 （ ）
A. 最小值为B. 最大值为4
C. 无最大值D. 无最小值
【答案】BD
【解析】
【分析】先对函数分离常数，再判断单调性即可求最值．
【详解】函数在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，
由于x=5取不到，则最小值取不到．
故选：BD
三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
11. 已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的解析式，先求得的值，进而求得的值，得到答案.
【详解】由函数，可得，所以.
故答案为：.
12. 命题“，”的否定是_________．
【答案】，
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定直接写出结论即可.
【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是：，.
故答案为：，
13. 已知幂函数的图象经过点，则_________.
【答案】4
【解析】
【分析】先由幂函数经过点求出即可得函数解析式，进而即可求函数值.
【详解】由题可得，所以，所以，
所以.
故答案为：4.
14. 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到满足的条件，从而得到结果.
【详解】由题意可得，，解得.
所以取值范围是.
故答案为：.
15. 函数，则函数的值域为____________.
【答案】
【解析】
【分析】分段求解，结合二次函数的性质求出取值的范围即可.
【详解】当时，，对称轴为，
当时，取最小值0；当时，取最大值1，
所以；
当或时，，
综上，，则函数的值域为.
故答案为：.
16. 已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________.（结果用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】令，把问题转化为：当时，恒成立，利用二次函数的性质求出的最大值即可得解．
【详解】令，
∵当时，恒成立，
∴当时，恒成立，
∴当时，恒成立，
∵，，
∴当时，取最大值5，
∴，解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸.
17. 设全集为，，
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），或x>5
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集，并集和补集的定义求解即可；
（2）分和两种情况讨论即可.
【小问1详解】
当时，，
则，
且，
所以或；
【小问2详解】
当时，，
则，所以，
当时，因为其区间端点，
此时不可能，
综上所述，.
18. 已知函数，满足.
（1）求值；
（2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由可得关于的方程组，解方程组即可得解.
（2）由题意可得即在上恒成立，从而得，由一元二次函数性质求出即可得解.
【小问1详解】
由题可得，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，
因为在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，
所以时，即恒成立，
所以，
因为，
所以在上单调递减，所以，
所以即满足题意的实数m的取值范围为.
19. 已知函数是奇函数．
（1）求实数m值；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根据函数是奇函数，求得的解析式，比照系数，即可求得参数的值；
（2）根据分段函数的单调性，即可列出不等式，即可求得参数的范围.
【小问1详解】
设，则，所以．
又为奇函数，所以f−x=−fx，
于是时，，所以．
【小问2详解】
由（1）可画出的图象，知在上是增函数，
要使在上单调递增．
结的图象知，所以，故实数的取值范围是．
20. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；
（2）分别求出分段函数每一段最大值后比较可得结论.
【小问1详解】
因为，
所以；
【小问2详解】
当时，，
由函数性质可知当时单调递增，所以当时，，
当时，，
由不等式性质可知，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
综上当时，.
21. 给定函数，，．
（1）在同一直角坐标系中画出函数，的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式的解：
（3），用表示，中的较大者，记为．例如，当时，．请分别用图象法和解析法表示函数．
【答案】（1）图象见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数，的解析式即可作出图象；
（2）（3）结合图象即可求得答案；
【小问1详解】
画出函数，的图象如图：
【小问2详解】
观察图象，可得不等式的解为；
【小问3详解】
结合（1）可用图象法表示如图：
由可得或，
故.
22. 已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）求的值；
（2）用定义法证明函数在上单调递增；
（3）若存在，对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）证明过程见解析 （3）或或.
【解析】
【分析】（1）根据函数的奇偶性得到f−x=−fx，得到方程，求出，根据得到方程，求出；
（2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形，判号，下结论；
（3）只需在上的最小值，小于等于在上的最小值，求出，并分，，三种情况，得到，得到不等式，求出的取值范围.
【小问1详解】
因为为奇函数，故f−x=−fx，
即，故，解得，
又，解得，
故，；
【小问2详解】
由（1）知，，
任取，且，
故，
因为且，所以，，
又，
故，故，
函数在上单调递增；
【小问3详解】
存在，对任意的恒成立，
故只需在上的最小值，小于等于在上的最小值，
由（2）知，在上单调递增，故，
若，此时满足要求，
若，此时在上单调递减，
故，
令，解得或，
若，此时在上单调递增，
故，
令，解得或，
故或，
故的取值范围为或或.