湖南省怀化市通道县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份湖南省怀化市通道县2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（1）本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时量为120分钟，满分为120分．
（2）请你在答题卡作答，并将姓名、学校、班级、座位号等相关信息按要求填在答题卡上．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列各式，是最简分式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简分式，根据最简分式的定义：当一个分式的分子与分母，除去以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式，即可判定求解，掌握最简分式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是整式，不是分式，该选项不合题意；
、，故原式不是最简分式，该选项不合题意；
、，故原式不是最简分式，该选项不合题意；
、中分子、分母不含公因式，原式最简分式，该选项符合题意；
故选：．
2. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（ ）
A. 1B. 5C. 7D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系求解即可．
【详解】解：由题意，得，即，
故的值可选5，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．
3. 下列式子从左到右变形一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质逐项分析即可．
【详解】解：A． ∵a与b不一定相等，
∴不一定正确，故不符合题意；
B．不正确，故不符合题意；
C．不正确，故不符合题意；
D．正确，故符合题意；
故选D．
4. 若分式的值等于零，则x的值为（ ）
A. x≠2B. x＝2C. x＝﹣2D. x＝±2
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【详解】由题意可知：，
解得：x＝﹣2，
故选：C．
【点睛】此题主要考查分式值为零的条件，熟练掌握，即可解题.
5. 下列各式中，计算正确的是（ ）
A. 3﹣1=﹣3 B. 3﹣3=﹣9 C. 3﹣2= D. 30=0
【答案】C
【解析】
【详解】A选项：3-1＝，故是错误的；
B选项：3-3=，故是错误；
C选项：3-2 = ，是正解的；
D选项：30 =1，故是错误的；
故选C.
6. 如图，中，是的垂直平分线，若，的周长为19，则的周长为 （ ）
A. 13B. 14C. 15D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查线段的垂直平分线，解题的关键是掌握垂直平分线的性质，三角形的周长公式．根据垂直平分线的性质，得，；根据的周长为19，则，可得到，即可得到的周长．
【详解】∵是的垂直平分线，
∴，，
∴
∵的周长为19，
∴，
∴，
∴的周长为，
故选：A．
7. 已知一个等腰三角形的周长为10，腰长为4，则它的底边长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形两腰相等，即可求出底边的长度．
【详解】解：腰是4时，则底边长为：，
故选：A．
【点睛】考查等腰三角形的定义以及三角形周长的计算，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．
8. 如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（ ）
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C. 两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例D. 两点之间线段最短
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解．
【详解】解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键．
9. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
B. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 两直线平行，内错角相等
【答案】C
【解析】
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：∵如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，
∴选项A是真命题；
∵在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
∴选项B是真命题；
∵两条直线被第三条直线所截，同旁内角不一定互补，
∴选项C是假命题；
∵两直线平行，内错角相等，
∴选项D是真命题.
故选C.
【点睛】本题主要考查真假命题.理解真假命题的概念是解题的关键之所在.
10. 如图，△ABC，点D，E在BC边上，点F在AC边上．将△ABC沿AD折叠，恰好与△AED重合，将△CEF沿EF折叠，恰好与△AEF重合．下列结论
①∠B=60°；②AB=EC；③AD=AF；④DE=EF；⑤∠B=2∠C，
正确的个数有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】将△ABD沿着AD翻折，，将△CEF沿着EF翻折，则△AEF≌△CEF，即可判断求解
【详解】解：∵将△ABD沿着AD翻折，使点B和点E重合，
∴
∴AB=AE，∠B=∠AEB，
∵将△CEF沿着EF翻折，点C恰与点A重合，
∴△AEF≌△CEF
∴AE=CE，∠C=∠CAE，
∴AB=EC，
∴②正确；
∵∠AEB=∠C+∠CAE=2∠C，
∴∠B=2∠C，故⑤正确；
在与中，
只有：
故不能判定与全等，
所以：①∠B=60°；③AD=AF；④DE=EF都不一定成立，
故选：A．
【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
11. 分式与的最简公分母是_____．
【答案】6a3b4c
【解析】
【分析】取各分式分母中系数的最小公倍数与各字母因式最高次幂的乘积作公分母,叫最简公分母.
【详解】解:先分离出两个分式的分母2a3b2c,6a2b4c，
其中a、b、c的最高次幂分别为3、4、1
故分式,的最简公分母是6a3b4c.
故答案为6a3b4c.
【点睛】本题考查了最简公分母的定义，解题的关键是熟练的掌握最简公分母的定义.
12. 一根头发丝的直径约为0.000075米，用科学记数法表示这个数为__________米．
【答案】7.5×10.
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.000075=7.5×10，
故答案7.5×10.
【点睛】此题考查科学记数法—表示较小的数，解题关键在于掌握一般形式.
13. 如图，是的中线，点E在中线上且，若的面积为6，则的面积为_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了三角形中线、三等分线分三角形的面积，利用三角形的面积公式和三角形中线分三角形成的两个三角形面积相等，三等分线分的三个三角形面积相等．
【详解】解：∵是的中线，的面积为6，
∴的面积为，
∵点E在中线上且，
∴，
∴的面积为的面积的，
∴．
故答案为：1．
14. 用一个a的值说明“若a是实数，则2a一定比a大”是错误的，这个值可以是__________．
【答案】a=0（答案不唯一）
【解析】
【分析】举出一个反例：a＝0，说明命题“若a为实数，则2a一定比a大”是错误的即可．
【详解】当a＝0时，2a=0，
此时a=2a，
∴命题“若a为实数，则2a一定比a大”是错误的，
故答案为：0．（答案不唯一，满足即可）
【点睛】本题考查了命题与定理，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
15. 已知，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据同底数指数幂的除法和幂的乘方可得，将，代入即可求解．
【详解】解：

，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了同底数指数幂的除法和幂的乘方，掌握同底数指数幂的除法法则和幂的乘方法则是解题的关键．
16. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的底角度数为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角的内角和定理．分为“高在三角形内部”和“高在三角形外部”两种情况讨论．
【详解】解：如图1：
∵，
∴；
如图2：
∵，
∴，
∴，
故答案为：或．
17. 如图，，D，E分别为，上的点，与交于点O，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证．请写出添加的其它一个条件，仍能证得：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．注意：、不能判定两个三角形全等．根据全等三角形的判定方法结合题意添加条件判断即可．
【详解】解：添加．
在和中，
，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
18. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM的周长的最小值为_____．
【答案】9．
【解析】
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA=MC，推出MC+DM=MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【详解】连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×6×AD＝18，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝6+×6＝6+3＝9．
故答案为9．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题.能根据轴对称的性质得出AM=MC，并由此得出MC+DM=MA+DM≥AD是解决此题的关键.
三、解答题（共66分）
19.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．先化简乘方，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，然后再加减计算即可．
【详解】解：
．
20. 解方程：
【答案】x＝．
【解析】
【分析】观察可得最简公分母为，两边同乘最简公分母将分式方程转化为整式方程求解，注意检验．
【详解】解：原方程化为：，
方程两边同时乘以x(x+1)，得x﹣1+2x(x+1)=2x2，
化简得3x﹣1+2x2=2x2，
解得x=，
检验：当x=时，x(x+1)≠0，
∴原方程的解是x=．
【点睛】本题考查了解分式方程，解分式方程的关键是去分母，所以化分式方程为整式方程时，要找出各分母的最简公分母，找最简公分母时，要注意把各分母按同一字母作降幂排列，分母是多项式能因式分解的一定要先分解．
21. 化简．下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
（1）甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号）
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②，③ （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据所给的解题过程即可得到答案；
（2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则求解，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；
乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可．
【小问1详解】
解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
【小问2详解】
解：甲同学的解法：
原式
；
乙同学的解法：
原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
22. 尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知．

（1）求作：以点为顶点，为一边，在外作，使得．
（2）判断与AB的位置关系，并说明你判断的依据．
【答案】（1）作图见解析
（2），依据：内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查尺规作角，平行线的判定，解题的关键是掌握尺规作角的方法，平行线的判定，即可．
（1）以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，交AB于点，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，用圆规量一下 的距离，保持圆规不动，以点为圆心，画弧，交点即为点，作射线，即可；
（2）根据平行线的判定，内错角相等，两直线平行，即可．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
，说明如下：
∵（内错角相等，两直线平行），
∴．
23. 已知：如图，为上一点，点、分别在两侧，，，．求证：．

【答案】详见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．由全等三角形的判定定理证得，则该全等三角形的对应边相等，即．
【详解】证明：∵，
，
在和中，
，
，
．
24. 为推动乡村振兴，政府大力扶持小型企业．根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，需要更新生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，设更新设备前每天生产x件产品．解答下列问题：
（1）更新设备后每天生产_______件产品（用含x的式子表示）；
（2）更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天，求更新设备后每天生产多少件产品．
【答案】（1）
（2）125件
【解析】
【分析】（1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了”列代数式即可；
（2）根据题意列分式方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了，
更新设备后每天生产产品数量为：（件），
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意知：，
去分母，得，
解得，
经检验，是所列分式方程解，
（件），
因此更新设备后每天生产125件产品．
【点睛】本题考查分式方程的实际应用，解题的关键是根据所给数量关系正确列出方程．
25. 当a为何值时，关于x的方程无解.
【答案】a=1，-4或6时原方程无解．
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出a的值即可．
【详解】由原方程得：2（x+2）+ax=3（x-2），
整理得：（a-1）x=-10，
（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；
（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=±2，
当x=2时，2（a-1）=-10，即a=-4；
当x=-2时，-2（a-1）=-10，即a=6，
即当a=1，-4或6时原方程无解．
【点睛】此题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程无解的条件是解题的关键．
26. 如图①，点分别是等边边上的动点（端点除外），点P从点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连续交于点M．
（1）求证：；
（2）点分别在边上运动时，变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图②，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为M，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）120°
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用证明即可；
（2）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到；
（3）先判定，根据全等三角形的性质可得，从而得到．
【详解】解：（1）证明：如图1，是等边三角形，
，，
又点、运动速度相同，
，
在与中，
，
；
（2）点、在、边上运动的过程中，不变．
理由：，
，
是的外角，
，
，
；
（3）如图，点、在运动到终点后继续在射线、上运动时，不变．
理由：同理可得，，
，
是的外角，
，
，
即若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，的度数为．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合应用．解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方法：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意运用全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质．

解：原式
……
解：原式
……