湖南省衡阳市蒸湘区联合考试2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4

这是一份湖南省衡阳市蒸湘区联合考试2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题（解析版）-A4，共22页。
1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6．本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案）
1. 若有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的定义中关于被开方数非负的要求，求的取值范围.
【详解】二次根式必须满足：被开方数是非负数，所以，解得，故选A．
【点睛】本题考查二次根式的定义.
2. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A．与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；
B． ，与被开方数相同，故是同类二次根式；
C． 与被开方数不同，故不是同类二次根式；
D． 与不同类二次根式．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式，熟练掌握根式化简的基本方法，灵活运用同类二次根式的定义判断解题是求解的关键．
3. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果从而可以解答本题．
【详解】，故选项A正确，
，故选项B错误,
，故选项C错误，
，故选项D错误.
故选A.
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.
4. 用配方法解方程时，原方程变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：B．
5. 一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【详解】解：根据题意得：△=，
则方程有两个不相等的实数根．
故选：B
6. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A. ∠ABD=∠ACBB. ∠ADB=∠ABC
C. AB2=AD•ACD.
【答案】D
【解析】
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD•AC，
∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键.
7. “周末不忙，来趟衡阳”．2024年9月22日，衡阳市旅发大会隆重召开，喜迎全国游客．据了解，10月1日，东洲岛景区接待游客约10万人次，10月3日接待游客人数达到万人次．设这两天的平均增长率为x，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这两天的平均增长率为x，则10月2日接待游客人数为万人，则10月3日接待游客人数为万人，据此列出方程即可．
【详解】解：设这两天的平均增长率为x，
由题意得，，
故选：B．
8. 如图是某数学兴趣小组设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，CD⊥BD，且测得AB＝4m，BP=6m，PD＝12m，那么该古城墙CD的高度是（ ）
A. 8mB. 9mC. 16mD. 18m
【答案】A
【解析】
【分析】根据反射的性质可得∠APE=∠CPE，则有∠APB=∠CPD，从而可得△ABP∽△CDP，由相似三角形的性质即可求得CD的长．
【详解】如图，根据反射的性质可得∠APE=∠CPE
∵EP⊥BD
∴∠APB=∠CPD
∵AB⊥BD，CD⊥BD
∴∠ABP=∠CDP=90°
∴△ABP∽△CDP
∴
∴
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形在测高中的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质、轴对称中光的反射问题是关键．
9. 如图，将沿边上中线平移到的位置，已知的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若，则等于（ ）

A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据三角形中线的性质求出，，根据平移的性质得出，进而证明，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【详解】解：如图，

∵，，且为边的中线，
∴，，
∵将沿边上的中线平移到的位置，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍），
故选A．
【点睛】本题考查三角形中线的性质，相似三角形的判定与性质，平移的性质等，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
10. 如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止．点运动的速度为秒，点运动的速度为秒．如果两点同时运动，那么当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（ ）
A. 3秒或4.8秒B. 3秒C. 4.5秒D. 4.5秒或4.8秒
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，和，可求运动的时间是3秒或4.8秒．
【详解】解：根据题意得：设当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是秒，
①若，则，
即，
解得：；
②若，则，
即，
解得：；
综上所述：当以点、、为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，
故选：A
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若，化简 __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：∵
∴
故答案为：．
12. 若方程是关于的一元二次方程，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元一次不等式，绝对值方程等知识点，深刻理解一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义可得，，解该一元一次不等式和绝对值方程即可得出答案．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，，
解得：，
故答案为：．
13. 已知，是关于的一元二次方程两个实数根，则__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数关系求出，，代入求值即可．
【详解】解：，是关于的一元二次方程两个实数根，
，，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系是解题的关键．
14. 已知，则值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质、代数式求值等知识点．由，设，，然后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴设，，
∴．
故答案为：．
15. 一个等腰三角形的两边长是方程的两根，则该三角形的周长为________．
【答案】14
【解析】
【分析】求出方程的两个根，分类讨论哪个是腰长即可．
【详解】解：，
，
当2为腰长时，，不符合两边之和大于第三边，故舍去，
当腰长为6时，，符合要求，周长为，
故答案为：14．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，等腰三角形的性质，以及三角形三条边之间的关系，解题时不要忘了考虑三边必须满足两边之和大于第三边．
16. 如图，在一块长8m、宽6m的矩形空地上，修建一横一纵共两条等宽的道路，剩余部分栽种花草，要使栽种花草的面积为，则修建的道路的宽应为_________m.

【答案】1
【解析】
【分析】设修建的道路的宽应为，通过平移可得栽种花草的部分可拼成一个长为宽为的长方形，由此列一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设修建的道路的宽应为，
由题意得，
整理，得，
解得，，
当时，，不合题意，舍去；
故修建的道路的宽应为．
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，平移的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程．
17. 如图，在菱形中，点、在上，，若，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】设，根据菱形的性质得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：设，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，证明是解题的关键．
18. 如图，直线与y轴交于点A，依次作正方形、正方形…正方形，使得点、…，在直线上，点在x轴上，则点的坐标是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了与一次函数有关系的规律探索，正方形的性质，先求出直线与y轴的交点坐标即可得出的坐标，故可得出的长，根据四边形是正方形即可得出的坐标，再把的横坐标代入直线即可得出的坐标，同理可得出的坐标，可以得到规律：，据此即可求解点的坐标．
【详解】解：在中，当，则，
∴，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∴．
在中，当时，，
∴；
同理可得，；
∴的纵坐标是：，的横坐标是：，
∴的纵坐标是：，的横坐标是：，
∴的纵坐标是：，的横坐标是：，
……，
以此类推，可知的纵坐标是：，横坐标是：，
∴，
∴点的坐标是，即．
故答案为：．
三、解答题（共8题，共66分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，二次根式乘法计算，先计算二次根式乘法，零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
20. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
21. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）14 （2）
【解析】
【分析】（1）先计算出和，再将变形为，即可求解；
（2）先计算出和，再将变形为，即可求解．
【小问1详解】
解：，，
，，
；
【小问2详解】
解：，，
，，
．
【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方差公式的应用、分式的化简求值、二次根式的运算等，掌握相关知识并正确计算是解题的关键．
22. 如图．已知是的角平分线，E是延长线上的一点且．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）是角平分线可得，可得，从而，再利用对顶角相等可得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得结论；
（2）由（1）中的结论，利用相似三角形对应边成比例得出比例式，将已知线段代入可求．
【小问1详解】
证明：∵是的角平分线，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确合理的使用相似三角形的判定定理是解题的关键．
23. 关于一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
【答案】（1）；（2）的值为．
【解析】
【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，把x=1和x=2分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足．
【详解】解：（1）根据题意得，
解得；
（2）的最大整数为2，
方程变形为，解得，
∵一元二次方程与方程有一个相同的根，
∴当x=1时，，解得；
当x=2时，，解得，
而，
∴的值为32．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
24. 7至9月份“衡阳南湖公园”有荷花的盛放期，来此观赏荷花的游客络绎不绝，由此带动了周边的餐饮服务业的发展；“听荷坊”宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数（间）与其价格（元）（）满足一次函数关系，部分对应值如表：
（1）请求出与的函数关系式；
（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元，每日空置的客房需支出各种费用60元；当房价为多少元时，宾馆当日可获利8450元？
【答案】（1）
（2）当房价为210元时，宾馆当日可获利8450元
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出该一次函数表达式；
（2）设房价为元，依据“宾馆当日利润=当日房费收入当日支出”列出方程，解方程即可解决问题．
【小问1详解】
解：设与的函数关系式为，
把，分别代入解析式，
得，
解得，
所以与的函数关系式为：；
【小问2详解】
解：由题意可知：，
整理得：，
解得．
答：当房价为210元时，宾馆当日可获利8450元，
25. 将矩形纸片放在平面直角坐标系中,为坐标原点,点在轴上，点在轴上，点的坐标是，点是边上的-一个动点，将沿折叠，使点落在点处．
如图①．当点恰好落在上时，求点的坐标；
(2)如图②，当点是中点时，直线交于点，
求证：；
求点的坐标．
【答案】(1)P(3，6)；(2) (a)见解析； (b)
【解析】
【分析】（1）根据点B的坐标，可求得OB的长，再利用得出PB的长，从而得出点P的坐标；
（2）（a）证即可得MB=MQ；
（b）如下图，设在中，利用勾股定理可求得m的值，再利用可求得QN和QO的值，从而得到点Q的坐标．
【详解】（1）点的坐标是
在中，
根据题意，，
又
（2）（a）连接
根据题意， ．
点是中点，
，
（b）如图，过点作轴于点
设则由知
根据题意，知
．
在中，
即,解得
四边形是矩形，
轴于点
得
【点睛】本题考查矩形的性质、求点的坐标和利用相似求线段长，解题关键是找出相似图形，得出线段长度，进而得到点的坐标．
26. 如图1，在中，，当点从点出发，沿着方向匀速运动到点时，点恰好从点出发，沿着方向匀速运动到点，连结，记，已知．
（1）求和的长．
（2）当是以为腰的等腰三角形时，求的值．
（3）如图2，直线是线段的垂直平分线．
①若直线过点，交于点，请判断四边形的形状，并说明理由；
②是点关于直线的对称点，若点落在的内部，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）AB=4，BC=5；（2）或；（3）①菱形，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）当时，即，则，当时，即，则；
（2）分两种情况：①，过点作于；②，过点作于；由等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质分别求解即可；
（3）①证出与相互垂直平分即可；
②当落在上时，直线过点，则即可，由①得，当落在上时，，则，解得，即可得出结论．
【详解】解：（1）当时，即，
此时，，
当时，即，
此时，，
，；
（2）当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①，过点作于，如图1所示：
则，，，
，
，
，，
，
解得：；
②，过点作于，如图3所示：
则，，
，
，
，
，，
，
解得：；
综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，的值为或；
（3）①四边形形状是菱形，理由如下：
，，
直线过点，直线是线段的垂直平分线，
，
即：，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：，
设直线交于，过点作于，如图2所示：
则，
，
，
即：，
解得：，，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
，
即：，
解得：，
，，
，
，
即：，
，
，
与相互垂直平分，
四边形是菱形；
②当落在上时，直线过点，
则，
由①得：，
当落在上时，，
，
，
即：，
解得：，
当时，点落在ΔABC的内部．
（元）
180
260
280
300
（间）
100
60
50
40