重庆市礼嘉中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份重庆市礼嘉中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了 已知曲线等内容，欢迎下载使用。
（全卷满分150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上.
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项.
3.作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若向量，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】本题考查向量的坐标运算．
解答：选项A、．
选项B、
选项C、，正确．
选项D、因为所以两向量不平行．
2. 已知复数，其中是虚数单位，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据复数的乘法运算求出，再根据复数模的计算公式求出结果.
【详解】因为，所以.
故选：D.
3. 某工厂生产三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有16件，则样本容量（ ）
A. 40B. 60C. 80D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】设种型号的产品有件，利用分层抽样性质列方程可求.
【详解】设种型号的产品有件，
因为三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5，
所以种型号的产品有件，种型号的产品有件，
由已知可得，
所以，
故选：C.
4. 用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为，则球的体积（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目条件求出球半径，再利用球的体积公式即可解答.
【详解】设截面圆半径为，球半径为，球心到截面的距离为.
根据题意可得：，，
则.
所以球的半径为，
所以球的体积为.
故选：C.
5. 已知双曲线过点，且与椭圆有相同的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件先确定出双曲线的顶点坐标，然后根据所过点求解出的值，由此可求的值，则离心率可求.
【详解】因为双曲线的焦点在轴上，所以顶点在轴上，
因为椭圆的左右顶点为，所以，
因为双曲线过点，所以，所以，
所以，所以，
故选：B.
6. 如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案.
【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得，，，，则，，
所以.
又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
7. 已知直线与动圆，下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 当时，若直线与圆相切，则
C. 若存在一条直线与圆相交截得弦长为定值，则
D. 当时，直线截圆的最短弦长为
【答案】C
【解析】
【分析】对A，对于直线方程，可通过变形找到定点；对B，C，D，将圆的方程化为标准方程可得到圆心和半径，然后根据直线与圆的位置关系，如相切时圆心到直线距离等于半径，相交时弦长公式等进行判断.
【详解】对于A，将直线整理为，
令，解得，
所以直线过定点，故A错误；
对于B，当时，直线的方程为，
圆的方程可化为，则圆心，半径，
因为直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，即，解得或，
故B错误；
对于C，设圆心到直线的距离为，
则弦长，若弦长为定值，则为定值，
又圆心在直线上，
所以直线与直线平行或直线过圆心，
当直线与直线平行时，可得，解得，
此时，，则是定值，故C正确；
对于D，当时，圆，圆心，半径为，
直线过定点，圆心O0,0到点的距离为，
当直线垂直于时，弦长最短，
直线截圆的最短弦长为，故D错误.
故选：C.
8. 已知，分别是双曲线的左，右焦点，动点在双曲线的左支上，点为圆上一动点，则的最小值为（ ）
A. 7B. 8C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得双曲线的，，，可得焦点坐标，求得圆的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值.
【详解】双曲线中
，，，，
，，
圆半径为，，
，
(当且仅当，，共线
且在，之间时取等号)，
，
当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号.
的最小值是7.
故选：
【点睛】本题考查双曲线的定义和方程､性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能力，属于中档题.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，如甲、乙两人各射击一次，则下列求解过程正确的是（ ）
A. 目标恰好被命中一次的概率为
B. 目标恰好被命中两次的概率为
C. 目标被命中的概率为
D. 目标被命中的概率为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式对选项逐一分析即可.
【详解】甲、乙命中目标的概率分别为和，
选项A：目标恰好被命中一次的概率为，故A错误；
选项B：目标恰好被命中两次的概率为，故B正确；
选项CD：目标被命中的概率为，故C错误，D正确.
故选：BD.
10. 已知曲线（ ）
A. 若，则为椭圆
B. 若，则为双曲线
C. 若为椭圆，则其长轴长一定大于
D. 若为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据曲线所表示的图形求出对应的参数的取值范围，可判断AB选项的正误；求出椭圆长轴长的表达式，可判断C选项的正误；利用双曲线的离心率公式可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确；
对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确：
对于C选项，当时，椭圆长轴长，
当时，椭圆长轴长，C正确；
对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得，
双曲线的离心率为，D正确.
故选：BCD.
11. 已知圆，圆，则（ ）
A. 若圆与圆无公共点，则
B. 当时，两圆公共弦长所在直线方程为
C. 当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为
D. 当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据两圆无公共点可得，圆内含或外离，从而求出的范围，判断A错；由两圆的方程作差，即可得出公共弦所在直线方程，判断B正确；由，先判断两圆位置关系，进而可得范围，判断C正确；根据两点间的距离公式，分别求出直线上任意一点到两圆心的距离，进而求出切线长，即可判断D正确.
【详解】由题意，圆圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；
则圆心距为；
A选项，若圆与圆无公共点，则只需或，解得或，故A错；
B选项，若，则圆，由与两式作差，可得两圆公共弦所在直线方程为，故B正确；
C选项，若，则，此时，所以圆与圆相离；又P、Q分别是圆与圆上的点，所以，
即，故C选项正确；
D选项，当时，由A选项可知，两圆外离；
记直线上任意一点为，则，
所以，
，
因此切线长分别为，，
即，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于熟记圆与圆位置关系、公共弦所在直线方程的求法，以及圆的切线长的求法等，结合题中条件，即可求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 设的三个内角的对边分别为，已知，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理结合条件建立方程解方程即可.
【详解】由余弦定理知，
所以，所以.
故答案为：
13. 如图，椭圆和双曲线的公共焦点分别为，是椭圆与双曲线的一个交点，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆和双曲线的定义得到的方程组，由此可求，则的结果可知.
【详解】由椭圆定义可知：，由双曲线定义可知：，
解得，所以，
故答案为：.
14. 已知圆，为圆外的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，使取得最小值的点称为圆的萌点，则圆的萌点的轨迹方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆外一点引圆两条切线，切线长相等可得，再利用切线长公式、同角三角函数基本关系、结合基本不等式，即可得到答案；
【详解】
当且仅当时等号成立.
由在圆外知的取值范围是，所以能成立，
故的最小值为.
由知，萌点的轨迹为圆，方程为.
故答案为：
【点睛】本题考查平面向量的数量积、直线与圆的位置关系、基本不等式求最值，考查运算求解能力，求解时注意等号成立的条件.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的周长为，且.
（1）求边的长；
（2）若的面积为，求角的度数.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理将中的角化为边，得，再结合的周长即可得解；
（2）由，得，再根据余弦定理即可求得的值，从而得解．
【小问1详解】
解：由正弦定理知，
，
，
的周长为，
，
．
【小问2详解】
解：的面积，
，
由（1）知，，，
由余弦定理知，
，
．
16. 已知点，动点满足到两点的距离之比为.设动点的轨迹为曲线.
（1）求方程；
（2）已知直线过点，且与曲线交于两点，若，求的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意列出方程，化简方程即可求得的方程；
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，斜率不存在时直接分析即可，斜率存在时根据圆心到直线的距离、半径、半弦长之间的关系求解出的值，由此可求的方程.
【小问1详解】
由条件可知，所以，化简可得，
所以.
【小问2详解】
表示圆心为，半径为的圆；
当直线的斜率不存在时，，因为2+12+y−22>4恒成立，
即与圆没有交点，故不符合题意；
当直线的斜率存在时，设，即，
圆心到直线的距离为，
因为，所以，解得或，
所以的方程为或.
17. 已知椭圆（）的离心率为，长轴长为，左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点P为椭圆上一点，且∠F1F2P＝90°，求△F1F2P面积；
（3）过点A作斜率为k1，k2的两条直线，分别交椭圆于D，E两点，若D，E两点关于原点对称，求k1k2的值．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）由长轴长为2a＝，可得，由椭圆的离心率，可得c＝1，进而可得答案；
（2）求得P点坐标为（1，±），利用三角形面积公式可得△F1F2P的面积；
（3）由点A（0，1），设，结合根据斜率公式化简即可.
【详解】（1）由题意，椭圆（）焦点在x轴，2a＝，
则，椭圆的离心率，
所以c＝1.
由b2＝a2﹣c2＝1，
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为∠F1F2P＝90°，则当x＝c＝1时，解得：y＝±，
所以P点坐标为（1，±），
所以△F1F2P的面积，
所以△F1F2P的面积.
（3）点A（0，1），设，
则
由直线AD的斜率
直线AE的斜率
即k1k2的值为．
18. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据长度关系先证明，再根据条件证明出平面，由此可得，根据线面垂直的判定定理可完成证明；
（2）建立合适空间直角坐标系，分别求解出平面和平面的一个法向量，先计算出法向量夹角的余弦值，则二面角的正弦值可求；
（3）设，然后根据与平面法向量夹角的正弦值求解出的值，则的长度可求.
【小问1详解】
因为，所以，且，
所以四边形为矩形，所以，
又因为，，所以，
所以，所以，所以，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以，
因为平面，所以平面.
【小问2详解】
以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
由条件可知，所以，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，取，则，所以，
设平面的一个法向量为，
所以，取，则，所以，
所以，
设二面角的平面角为，所以，
故二面角的正弦值为.
【小问3详解】
设，因为，所以，
因为，所以，
取平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
所以，解得，
因为，所以.
19. 定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”
（1）求点P所在曲线的方程.
（2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.
（ⅰ）求直线的方程.
（ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）（ⅱ）存在，
【解析】
【分析】（1）根据新定义建立方程，化简即可判断轨迹为圆，得出轨迹方程；
（2）（ⅰ）根据P，Q均为圆“”的“钻石点”，可知为两圆的公共弦，作差即可得解；
（ⅱ）由题意求出圆H的方程为，假设存在，根据及根与系数的关系化简为是否对任意成立，即可得解.
【小问1详解】
因为点P为圆A的“黄金点”，
所以，即，
所以点P的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，
故点P所在曲线的方程为
【小问2详解】
（ⅰ）因为P为圆B的“黄金点”，则
所以，即点P在圆上，
则P是圆和的交点.
因为P，Q均为圆“”的“钻石点”，
所以直线即为圆和的公共弦所在直线，两圆方程相减可得，
故直线的方程为.
( ii )设的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为.
直线的方程为，得的中点坐标为，
点S到直线的距离为，
则，所以圆H的方程为.
假设轴上存在点满足题意，设，.
若轴平分，则，即，
整理得
又，所以代入上式可得，
整理得①，
由可得，
所以，代入①并整理得，
此式对任意的都成立，所以.
故轴上存在点，使得轴平分.