湖南省长沙市开福区长沙市一中广雅中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

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参考答案：
1．B
【难度】0.85
【知识点】比较对数式的大小、由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小
【分析】根据对数函数的性质可知，根据幂函数的性质可知，由此即可得到结果.
【详解】因为，所以，
又函数在上单调递增，所以，所以.
故选：B.
2．C
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的应用
【分析】由解析式可得对任意的恒成立，进而求方程在上的解，利用奇函数的性质可得出的值.
【详解】当时，，
，.
当时，由，得或，得或（舍去），
函数y=fx是奇函数，.
故选：C.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性解方程，考查计算能力，属于中等题.
3．C
【难度】0.94
【知识点】交并补混合运算
【分析】根据全集、交集、并集、补集的概念分析可得答案.
【详解】选项A，∵集合A为滑冰三个小项构成的集合，其中包含了短道速滑，∴短道速滑属于集合A，不属于集合A相对于全集U的补集，故A正确；
选项B，∵“雪车”与“滑雪”是不同的大项，∴交集为空集，故B正确；
选项C，∵冰壶、滑冰是为不同大项，交集为空集，速度滑冰又是滑冰的小项，∴速度滑冰与冰壶交集为空集，故C错误；
选项D，∵全集U包含冬奥会的所有项目，∴全集U包含滑冰，故D正确．
故选：C．
4．A
【难度】0.94
【分析】可以先求出集合，然后进行交集的运算即可．
【详解】，，，0，，
，．
故选：．
【点睛】本题主要考查集合的描述法、列举法的定义以及交集的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
5．A
【难度】0.65
【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性、根据解析式直接判断函数的单调性
【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
6．B
【难度】0.85
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、判断命题的必要不充分条件
【解析】根据不等式的性质和必要不充分条件的定义判断．
【详解】是假命题，不是必要而不充分条件；
是正确的，但不能得出，是必要而不充分条件；
与之间不能相互推出，不是必要而不充分条件，也不充分；
，是充要条件．
故选：B．
7．A
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、由奇偶性求参数
【分析】根据为偶函数求出，再利用基本不等式求解.
【详解】由为偶函数可得，即，
所以．
因为，且，，所以，
所以，
则，当且仅当，即时，取最小值4．
故选：A
8．D
【难度】0.65
【知识点】利用不等式求值或取值范围
【分析】由题意设，再根据赋分原理，列出和的范围，并表示，根据不等式，即可求解.
【详解】设，，，
，
∴，.
∴赋分是或.
故选：D.
9．AC
【难度】0.65
【知识点】基本不等式求和的最小值、对数的运算、指数幂的化简、求值
【分析】根据分段函数每段定义及解析式，并结合指数幂运算法则可对A项进行判断，取特殊值可对B、D项判断，分情况讨论可对C项判断.
【详解】对于A：，故A项正确；
对于B、D：令，，则，，故B项错误；
则，，故D项错误；
对于C：当时，，成立，
当时，，
因为，，所以，
当且仅当，即x=0时取等号，所以，成立，故C项正确.
故选：AC.
10．BC
【难度】0.85
【分析】利用特殊值可判断选项A；由对勾函数的单调性，即可判断选项B；由不等式的性质及指数函数的性质，即可判断选项 C；利用特殊值法，可判断选项D．
【详解】因为时，，故A错误；
由对勾函数在上为增函数可知，当时，，即，故B正确；
由，可知，，而，则， 故C正确；
令，，则，则，故D错误．
故选：BC．
11．AC
【难度】0.85
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
【分析】对于A，根据题意得，化简后可判断；对于B，利用作差法即可判断；对于C，利用基本不等式可求最值；对于D，由题意得，代入得关于的二次函数，进而可求最值.
【详解】对于A选项，，故，故A正确；
对于B选项，因为，
所以，故B错误；
对于C选项，因为，当且仅当，即，时，等号成立，故C正确；
对于D选项，因为，
所以，
故当，时，有最小值，故D错误.
故选：AC.
12．CD
【难度】0.85
【知识点】判断指数函数的单调性、基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】将已知等式转化并化同构，设，利用函数的单调性得到之间的关系，由函数单调递增，得到，AB选项可举出反例，CD选项，由基本不等式求出最值，得结果.
【详解】因为且，所以，
令，则，
因为函数在定义域R上为增函数，函数在定义域R上为减函数，
所以在定义域R上为增函数，
故，即，
选项A，B：当时，故A，B错误；
选项C：因为，当且仅当，即时取等号，
所以，故C正确；
选项D：因为，
当且仅当，即时取等号，故D正确．
故选：CD
13．(其它正确答案同样给分)
【难度】0.85
【知识点】求指数型复合函数的值域、函数奇偶性的定义与判断
【分析】结合基本初等函数的值域即可求解
【详解】，是定义域为上的奇函数
因为，所以，所以，所以，
故答案为：．
14．
【难度】0.85
【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、研究对数函数的单调性
【分析】依次分析各段上的函数的单调区间，进而求解即可.
【详解】解：当时，，
所以当时，，在上递减；
当时，；在上递增；
当时，，为二次函数，对称轴为，开口向上，
所以，在 上递减，在递增；
所以，若函数在区间上单调递减，则的最大值为
故答案为：.
15．(0,+∞)
【难度】0.94
【知识点】求对数型复合函数的定义域
【分析】对数函数的定义域需满足真数大于0，再由指数型不等式求解出解集即可.
【详解】对函数有意义，
即.
故答案为：(0,+∞)
【点睛】本题考查求对数函数的定义域，还考查了指数型不等式求解，属于基础题.
16．(1)；
(2)答案见解析；
(3)或
【难度】0.65
【知识点】求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断
【分析】（1）根据解析式有意义列不等式组求解可得定义域；
（2）利用奇偶性定义进行判断即可；
（3）对分类讨论，结合对数函数的单调性即可解得的取值范围.
【详解】（1）
由题意得：，
∴，
∴所求定义域为．
（2）函数为奇函数，
令，由（1）易知，的定义域为
则，
∵
．
∴函数为奇函数．
（3）∵，
∴不等式，
由（1）知
∴当时，原不等式等价于，
解得或．
当时，，不等式无解，
综上：当时，使成立的的集合为或．
17．（Ⅰ），，
（Ⅱ）存在，的最大值为.
【难度】0.4
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、定义法判断或证明函数的单调性
【分析】（Ⅰ）当时，多边形是三角形，三边长分别为，，，
当时，多边形是四边形，各边长为，，，，
由此分别求出和的解析式即可.
（Ⅱ）由的解析式可知，函数的单调递减区间是，再通过定义法说明在区间上单调递减，故存在，由此可求的最大值.
【详解】（Ⅰ）当时，多边形是三角形（如图①），三边长分别为，，，
此时，，
当时，多边形是四边形（如图②），各边长为，，，，
此时，
，
，
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的解析式可知，函数的单调递减区间是，
另一方面，任取，且，
则，
，
，，，
，
即，
，
在区间上单调递减，
当时，函数和在上均单调递减
，
存在区间，使得函数和在该区间上均单调递减，且的最大值为.
【点睛】本题考查了分段函数解析式的求解以及定义法证明函数单调性，考查了函数思想和运算能力，属于中档题.
18．（1）；（2）.
【难度】0.65
【知识点】求解析式中的参数值、根据函数的最值求参数、利用函数单调性求最值或值域
【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得的值.
（2）将原不等式分离常数，利用函数的单调性，求出的取值范围.
【详解】（1）由于函数图像经过，，所以，解得，所以.
（2）原不等式为，即在时恒成立，而在时单调递减，故在时有最小值为，故.所以实数的取值范围是.
【点睛】本小题主要考查待定系数法求函数的解析式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查函数的单调性以及最值，属于中档题.
19．(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】由指数函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性、由奇偶性求参数
【分析】（1）由求出参数值，再检验即可；
（2）先判断函数的单调性，然后根据单调性列出不等式求解即可．
【详解】（1）函数的定义域为，又因为是奇函数，
则，解得；
经检验，故成立；
（2）因为
对任意，有
所以在上单调递增
又，所以
解得
20．（1）（2）
【难度】0.85
【知识点】由奇偶性求函数解析式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】（1）利用即可求解.
（2）利用函数的奇偶性、单调性即可求解.
【详解】（1）因为是R上奇函数，所以，
即此时，
因为成立，所以
（2）因是奇函数，从而不等式：
等价于
因为减函数，由上式推得：.
即对一切有：
从而判别式
【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求参数值，考查了函数的奇偶性、单调性解不等式，属于基础题.
21．（1）（2）见证明
【难度】0.65
【知识点】由基本不等式证明不等关系、绝对值三角不等式
【分析】（1）利用绝对值三角不等式可将转化为：，结合可求得；（2）由（1）知，根据可整理得，从而可得：，利用基本不等式求得，从而证得结论.
【详解】（1）
，
当且仅当且时，取等号
恒成立可转化为：恒成立，解得：

（2）由（1）知：
当，时，有，
由得：
当且仅当时，取等号
，即：
【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用、利用基本不等式证明的问题，关键是能够将恒成立问题转变为函数最值求解的问题，易错点是忽略基本不等式成立的前提条件，属于常考题型.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
C
A
A
B
A
D
AC
BC
题号
11
12








答案
AC
CD