福建省泉州市永春第三中学片区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（原卷版）-A4

这是一份福建省泉州市永春第三中学片区2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（原卷版）-A4，共5页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（试卷共5页，满分：150分考试时间：120分钟）
一、单选题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1. 根式中，与是同类二次根式的有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
2. 若一元二次方程的根为，则该一元二次方程可以为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，点D、E分别在边、上，下列条件中，能判定的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ）
A. B. C. D.
5. 对于实数a、b，定义新运算，规则如下：，则等式中值为（ ）
A 1或-7B. 或7C. D. -7
6. 如图1是古希腊时期的巴台农神庙（Parthenm Temple），把图1中用虚线表示的矩形画成图2矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，惊奇地发现矩形与矩形相似，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
8. 如图，在中，已知，以点为圆心，长为半径画圆弧，交于点；以点A为圆心，长为半径画圆弧，交于点，连接．则图中下列线段的长一定是关于的一元二次方程的一个根的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（ ）
A. B. C. D.
10. 题目：“如图，在矩形中，，，P，Q分别是BC，CD上的点．”张老师要求添加条件后，编制一道题目，并解决，甲、乙两人的做法如下．下列判断正确的是（ ）
甲：若，则在上存在2个点P，使与相似；
乙：若，则的最大值为
A. 甲对乙错B. 甲错乙对C. 甲、乙都对D. 甲、乙都错
二、填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11. 已知实数a、b、c在数轴上位置如图所示，化简：______．
12. 已知点P是线段的黄金分割点，且，若，则__________（结果保留根号）．
13. 方程的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，则直角三角形的第三条边长是_____．
14. 如图，AB//GH//CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB=2，CD=3，则GH的长为___．
15. 若方程两根为，则方程的两根为 ____________________．
16. 如图，在矩形中，，分别是，边上的点，平分，，以，为边作矩形，与相交于点．则有下列结论：①；②当是的中点时，；③连结，则；④．其中正确的结论是______（填写正确结论的序号）
三、解答题（共9小题，满分86分）
17. 解方程：
18. 计算：．
19. 如图，在中，CD是斜边AB上的高．
求证：．
20. 如图，在中，是边上的一点，，，，，在AB上找一点，连结DE，使与相似．
（1）请画出一种符合题意的图形；
（2）根据你画出的图形，计算的长度．
21. 若方程没有实数根，试判定方程的根的情况．
22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
23. 阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________；
（2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值；
（3）提升：已知实数s，t满足且，求的值．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点、点与相交于点，线段的长是一元二次方程的两根．
（1）求点、点的坐标；
（2）在轴上是否存在点，使点、点、点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；如不存在，请说明理由．
25. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于点D，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ ；
（2）数学思考：
①如图2，若点E在线段AC上，则＝ （用含m，n的代数式表示）；
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．