湖南省湘西州花垣县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份湖南省湘西州花垣县2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了在草稿纸、试题卷上作答无效；等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息；
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效；
4．在草稿纸、试题卷上作答无效；
5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
【详解】解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.是中心对称图形，
故选：D
【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
2. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、有2个未知数，不是一元二次方程；
B、满足条件，是一元二次方程；
C、含有分式，不是一元二次方程；
D、整理后为，不是一元二次方程．
故选：B．
3. 二次函数 的对称轴是（ ）
A. y轴B. 直线 C. 直线 D. x轴
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据抛物线的对称轴为y轴解答可得．
【详解】解：二次函数的对称轴是直线，即y轴，
故选：A．
4. 已知抛物线有两点，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数值的大小比较，直接求出与的值再比较大小即可．
【详解】解：∵抛物线有两点，，
∴，，
∴，
故选：B．
5. 若方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
故选：B．
6. 一个图形绕着某一点旋转任意角度后能与自身重合，这个图形是（ ）
A. 任意三角形B. 平行四边形C. 圆D. 矩形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转对称图形概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．绕其对称中心点旋转任意角度后，所得到的图形都和原图形重合就是旋转不变图形，根据旋转的性质即可作出判断．
【详解】解：圆，绕圆心旋转任意角度后都能与原图形重合，
故选：C．
7. 若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0,0），把点（0,0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2,3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【详解】∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴平移后，新图象的顶点坐标是．
∴所得抛物线的表达式为．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
8. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意即可列出方程．
【详解】解：由题意得：；
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
9. 如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为（ ）
A. 10B. 20C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，证明是等边三角形，得出，从而得出，证明是等边三角形，得出，根据勾股定理，结合含角的直角三角形性质，求出即可．
【详解】解：如图，连接，
∵将绕点C按逆时针方向旋转得到，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形性质，解题的关键是证明是等边三角形，求出的长．
10. 如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①，②，③，④，⑤．
其中正确的结论个数为（ ）个．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，根据开口方向，与y轴交点的位置以及对称轴的位置得到，，即可判定①②；根据抛物线与x轴有两个不相等的交点即可判断③；根据当时，，即可判断④；根据函数图象经过点得到，再由，即可判定⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向上，于y轴交于负半轴，
∴，
∵抛物线对称轴在y轴和直线之间，
∴，
∴，即，故②错误；
∴，故①错误；
由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不相等的交点，
∴，
∴，故③正确；
∵当时，，
∴，故④正确；
∵抛物线与x轴交于点，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，故⑤正确；
故选B．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 一元二次方程x2﹣4=0的解是_________．
【答案】x=±2
【解析】
【详解】移项得x2=4，
∴x=±2．
故答案是：x=±2．
12. 写出一个一次项系数是2的一元二次方程是__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
根据一元二次方程的定义以及题意作答即可．
【详解】解：由题意知，一次项系数是2的一元二次方程是，
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数解答．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数．
14. 如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为__________．

【答案】##150度
【解析】
【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．
【详解】解：∵将一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，
∴与是对应边，
∴旋转角．
故答案为：．
15. 二次函数的开口方向是__________．
【答案】向下
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质．对于二次函数，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据二次函数的二次项系数即可判断抛物线的开口方向．
【详解】解：∵的二次项系数为，
∴抛物线开口向下，
故答案为：向下
16. 有人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出题中等量关系是解答关键．
设每轮传染中平均一个人传染了人，根据题意列出方程求解．
【详解】解：根据题意得：，
整理得．
故答案为：．
17. 给出一种运算：对于函数，规定例如：若函数则有已知函数则方程的解是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用直接开平方解一元二次方程，同时还以新定义形式考查了学生阅读理解能力；注意：①二次项系数要化为1，②根据平方根的意义开平方时，是两个解，且是互为相反数，不要丢解．首先根据新定义求出，得出：，用直接开平方法解方程即可．
【详解】由，
得：
即，
解得：，
故答案为：
18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则关于的方程的解为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
由题意知，关于直线的对称点为，根据的解为抛物线与轴交点的横坐标，作答即可．
【详解】解：由题意知，关于直线的对称点为，
∵的解为抛物线与轴交点的横坐标，
∴关于的方程的解为，
故答案为：．
三、解答题（共66分）
19. 解下列一元二次方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程；
（1）由方程可得或，分别求解即可；
（2）利用配方法得到，再解方程即可．
【小问1详解】
解：，
∴或，
解得，；
【小问2详解】
解：，
∴，
∴，
∴，
解得，．
20. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°得到的△A2BC2．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C2即可．
【详解】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2BC2为所作．
【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21. 已知关于的方程
（1）求证：不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为，求该方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（）证明即可求证；
（）设方程的另一个根为，利用根和系数的关系可得，据此即可求解；
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握以上知识点是解题的关键．
【小问1详解】
证明：，
又
， 即，
不论取何值，该方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
解：设方程的另一个根为，
根据根与系数关系得，，
解得，
∴方程另一个根为．
22. 某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙的长度不限），另外三边用木栏围成，木栏长．
（1）怎样围成一个面积为的矩形场地？
（2）能围成面积能为的矩形场地吗？若不能，说明理由？
【答案】（1）垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为时，养鸡场的面积为
（2）不能，见解析
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用；
（1）首先设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为，然后根据矩形的面积长宽，用未知数表示出鸡场的面积，根据面积为，可得方程，解方程即可；
（2）要求鸡场的面积能否达到，只需让鸡场的面积先等于，然后看得出的一元二次方程有没有解，如果有就证明可以达到，如果方程无实数根，说明不能达到．
【小问1详解】
解：设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为，
根据题意得：，
解得，
答：垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为时，养鸡场的面积为；
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
根据题意得：，
整理得，，
，
∴方程无实数根，
∴不能使鸡场的面积能达到．
23. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元，平均每天可以售出多少件衬衫？此时每天获利多少元？
（2）在每件衬衫盈利不少于元的前提下，要使商场平均每天销售衬衫要盈利元，每件衬衫应降价多少元？
（3）该商场销售衬衫要获得最大利润，每件应降价多少元？最大利润为多少？
【答案】（1）平均每天可以售出件衬衫，此时每天获利元
（2）每件衬衫应降价元，商场平均每天销售衬衫盈利元
（3）每件应降价元，最大利润为元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，有理数从乘法运算等知识．熟练掌握一元二次方程的应用，二次函数的应用，有理数从乘法运算是解题的关键．
（1）由题意知，（件），则每天获利为，计算求解即可；
（2）设每件衬衫应降价元，依题意得：，计算求出满足要求的解即可；
（3）设每件应降价元，商场销售衬衫要获得利润元，依题意得：，然后求解作答即可．
【小问1详解】
解：由题意知，（件），
∴（元），
∴若每件衬衫降价4元，平均每天可以售出件衬衫，此时每天获利元；
【小问2详解】
解：设每件衬衫应降价元，
依题意得：，
解得，
，
（舍去），
每件衬衫应降价元，
∴每件衬衫应降价元，商场平均每天销售衬衫盈利元；
【小问3详解】
解：设每件应降价元，商场销售衬衫要获得利润元，
依题意得：，
∴当时，的最大值为，
∴该商场销售衬衫要获得最大利润，每件应降价元，最大利润为元．
24. 若一个三位数的百位上的数字减去十位上的数字等于其个位上的数字，则称这个三位数为“差数”，同时，如果百位上的数字为、十位上的数字为，三位数是“差数”，我们就记：，其中，，．例如三位数514．∵，∴514是“差数”，∴．
（1）已知一个三位数的百位上的数字是6，若是“差数”，，求的值；
（2）求出小于300的所有“差数”的和，若这个和为，请判断是不是“差数”，若是，请求出；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；（2）小于300的“差数”有101,110,202,211,220，n是“差数”，
【解析】
【分析】（1）设三位数的十位上的数字是x，根据进行求解；
（2）根据“差数”的定义列出小于300的所有“差数”，进而求解．
【详解】解：（1）设三位数的十位上的数字是x，
∴，
解得，，
∴个位上的数字为：，
∴；
（2）小于300的“差数”有101,110,202,211,220，
∴，
显然n是“差数”，．
【点睛】本题是新定义问题，考查了解一元二次方程，理解新的定义是解题的关键．
25. 如图1，若二次函数的图象与x轴交于点、B，与y轴交于点，连接．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求三角形的面积；
（3）若点P是抛物线在一象限内上方一动点，连接，是否存在点P，使四边形的面积为18，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
（4）如图2，若点Q是抛物线上一动点，在平面内是否存在点K，使以点B、C、Q、K为顶点，为边的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）10； （3）存在，；
（4）存在，或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用矩形和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
（1）将点和代入，解得，即可得解；
（2）令，得，，又可知，再利用三角形的面积公式求；
（3）由已知可得的面积为8，求出直线的解析式为，过P点作轴，交于点M，设，则，则，求出，则；
（4）设，当当时时，过点Q作轴交H点，过K作轴交G点，
，证明，得到，则，所以；当时，与x轴的交点为F，与y轴的交点为H，
证明，则有，求得，则，可求．
【小问1详解】
的图象过点和，
，
解得
抛物线的解析式的解析式为
【小问2详解】
令，则，解得或，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
存在，理由如下：
∵四边形的面积为18，
∴的面积为8，
设直线的解析式为，
将点代入，得，
∴直线的解析式为，
过P点作x轴，交于点M，
设，则，
，
∴，
∴；
【小问4详解】
存在，或．
理由如下：
设，当时，如图1，
∵矩形是以为边，
∴，
过点Q作轴交H点，过K作轴交G点，
∵，
，
，
，
∴或（舍），
∴，
∴；
当时，如图2，
∵矩形是以为边，
∴，
设与x轴的交点为F，与y轴的交点为H，
过点Q作轴交G点，过K作轴交E点，
，
，
∴或（舍），
∴，
∴
综上，或；