湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 双曲线的虚轴长为（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由双曲线的方程求出的值，即可得答案．
【详解】因为，所以，所以双曲线的虚轴长为.
故选：D.
2. 已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值.
【详解】两点，B0,3，则，直线方程为，
圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
因此点到直线距离的最小值为，
所以面积的最小值是.
故选：D
3. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接法求解抛物线的准线方程.
【详解】抛物线即，它的的准线方程为.
故选：A.
4. 已知实数x，y满足，且，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可看成是两点连线的斜率，数形结合求解.
【详解】可以看成是线段上的点与点连线的斜率，
如图，易求得，，
所以得取值范围为.
故选：C.
5. 已知抛物线的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设出直线，并与抛物线联立，得到，再根据抛物线的定义建立等式即可求解.
【详解】因为直线l的方程为，即，
由消去y，得，
设，则，
又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为3，所以，
而，所以，
故，解得，所以抛物线的方程为
故选：B.
6. 如图，空间四边形中，，点在上，且满足，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量线性运算进行求解.
【详解】由题意
，
又，
.
故选：B
7. 已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与轴交于点，与的右支交于点，且满足，若点四点共圆（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出，根据已知条件求得，然后利用勾股定理列方程，化简求得双曲线的离心率.
【详解】因为点四点共圆，，是圆的直径，
所以，即，
所以，即，
又因为，所以，即，
所以，又，所以，
又因为，所以，即，
所以，所以，所以.
故选：D
【点睛】方法点睛：求解双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得和，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得或的等量关系式，由此来求得离心率.
8. 事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，则下列命题中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据独立事件的乘法公式与对立事件的定义，依次判断选项即可.
【详解】A：由题意知，，故A错误；
B：由题意知，，故B错误；
C：事件A与B独立，、分别是A、B的对立事件，
所以A与独立，则，故C正确；
D：
，故D错误．
故选：C
二、多选题（每题5分，共20分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 若点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B：由题意可得，进而可得倾斜角的范围；对于C：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D：根据图形结合斜率公式分析求解.
【详解】对于选项A：当时，直线与直线斜率分别为1，，
斜率之积为，故两直线相互垂直，即充分性成立；
若“直线与直线互相垂直”，
则，故或，
所以得不到，即必要性不成立，故A错误；
对于选项B：由直线平行得，解得，
所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确；
对于选项C：直线的倾斜角为，则，
因，所以，故C正确；
对于选项D：如图所示：

可得，，结合图象知，故D正确；
故选：BCD.
10. 如图是一个边长为1的正方体的平面展开图，M为棱AE的中点，点N为平面EFGH内一动点，若平面BDG，下列结论正确的为（ ）
A. 点N的轨迹为正方形EFGH的内切圆的一段圆弧
B. 存在唯一的点N，使得M，N，G，D四点共面
C. 无论点N在何位置．总有
D. MN长度的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】把展开图折叠成正方体，利用正方体中的线面位置关系对选项进行逐一判断.
【详解】将展开图折叠成正方体，如图所示：
连接，，，则，.
取的中点，的中点，连接，，，则，，
所以，不在面内，面，则面，
同理有，不在面内，面，则面，
而相交且都在面内，故平面平面.
要使平面，则点在线段上，故点的轨迹为线段，故A错误；
当点与点重合时，，又，所以四点共面，
由图可知，点与点不重合时，与异面，所以B正确；
在正方体的结构特征，易证平面，又平面平面，
所以平面，又平面，所以，所以C正确；
当点为中点时，的长度最小，连接，
则，，
当点与点（或）重合时，的长度最大，此时，
所以长度的取值范围为：，故D正确.
故选：BCD
11. 著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 的图象是轴对称图形B. 的值域是
C. 先减小后增大D. 方程有三个解
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题得，设，，，则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选项．
【详解】由已知，
设，，，则，如图，
由图形可得点关于对称时，的值相等，因此的图象是轴对称图形，它关于直线对称，A正确；
显然轴，当时，，即，
又，而不可能共线，即，
所以，B错；
设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则，，
∴，
∴，在轴上点的右侧，，
∴，即
这说明点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减小，C正确；
，，
设，则的解是和，
有一个解，而有两个解，因此有三个解，D对．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：解题关键是数与形的结合，题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动确定函数的性质，使得较为复杂的函数问题得到解决.
12. 已知圆C：及点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 圆心C的坐标为
B. 点Q在圆C外
C. 若点在圆C上，则直线PQ的斜率为
D. 若M是圆C上任一点，则的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】A.将圆的一般方程转化为标准方程求解；B.利用点与圆的位置关系判断；C.根据点在圆C上，求得m，从而得到点P的坐标，再利用斜率公式求解；D．由的取值范围为求解；
【详解】圆C：的标准方程为
所以圆心坐标为，故A错误；
因为，所以点Q在圆C外，故B正确；
若点在圆C上，则，
解得，则，所以直线PQ的斜率为，故C错误；
，，因为M是圆C上任一点，
所以的取值范围为，即，故D正确；
故选：BD
三、填空题（每题5分，共20分）
13. 曲线与直线仅有一个交点时，实数k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】化简曲线，即，画出图象分析直线与曲线只有一个交点的情况分类讨论求解即可.
【详解】曲线，即
直线过定点，
如图：B−2,1，，
当直线与曲线有一个交点时，
则直线夹在了直线与直线之间，而，
所以此时k的取值范围是1,+∞，
当直线与曲线相切时也只有一个交点，
则圆心0,1到直线的距离为：
，解得，
所以实数k的取值范围是：.
14. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再由椭圆的定义求解，
【详解】圆的圆心为，，
圆的圆心为，，
设动圆的圆心为，半径为，
由题意得，，则，，
由椭圆定义得的轨迹方程为，
故答案为：
15. 已知向量，则的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】求得的坐标，进而利用向量的模的公式与配方法可求最小值.
【详解】因为，
所以，
则.
当时，的最小值为.
故答案为：.
16. 已知椭圆的左､右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案.
【详解】由为椭圆上任意一点，则MF1+MF2=4
又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴，
当且仅当M、N、E、共线时等号成立.
∵，，则，
∴的最小值为．
故答案为：．
四、解答题（共70分）
17. 全国执业医师证考试分实践技能考试与医学综合笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则执业医师考试“合格”，并颁发执业医师证书.甲、乙、丙三人在医学综合笔试中“合格”的概率依次为，，，在实践技能考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格互不影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行实践技能考试与医学综合笔试两项考试，谁获得执业医师证书的可能性最大？
（2）这三人进行实践技能考试与医学综合理论考试两项考试后，求恰有两人获得执业医师证书的概率.
【答案】（1）乙的可能性最大
（2）
【解析】
【分析】（1）根据独立事件的乘法公式，计算甲乙丙获得执业医师证书的概率，比较大小，即得结论；
（2）分三种情况，结合互斥事件的概率加法公式以及独立事件的乘法公式，即可求得答案.
【小问1详解】
记甲乙丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，
在实践考试中合格依次为，，，
则甲乙丙获得执业医师证书依次为，，，
并且与，与，与相互独立，
则，，
由于，故乙获得执业医师证书的可能性最大.
【小问2详解】
由于事件，，彼此相互独立，
“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：，
概率为.
18. 如图，四棱锥中，底面，，，.
（1）若，证明：∥平面；
（2）若，且二面角的余弦值为，求.
【答案】（1）证明见详解
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直关系可得，由勾股定理可得，则∥，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）做辅助线，根据三垂线法分析可知可知二面角的平面角为，设，根据题意结合三角知识运算求解即可.
【小问1详解】
因为底面，且底面，则，
又因为，，平面，
可得平面，由平面，所以，
因为，，，即，
可得，则∥，
且平面，平面，所以∥平面.
【小问2详解】
若，设，则，
过作，垂足为，过作，垂足为，连接，
可得，，
因为底面，且底面，则，
且，则，可得，
因为底面，且底面，则，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，
可知二面角的平面角为，则，
可得，，
则，即，
可得，
整理可得，解得或（舍去），
且，则，所以.
19. 如图，在三棱柱中，，，，在底面ABC的射影为BC的中点，D是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求面面夹角的余弦值.
【小问1详解】
取BC的中点，连接，，
，D是的中点.，
，，
因为在底面ABC的射影为BC的中点，所以平面ABC，
又平面平面，所以平面，
又面，所以，
因为，平面，所以平面；
【小问2详解】
如图，以O坐标原点，以OA、OB、所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则，，
则，，，，
，，，.
设平面的法向量为，
则，得，取，得，
因为平面，所以即为平面的一个法向量，
则，所以平面与平面的所成角的余弦值为.
20. （1）已知直线过定点，且其倾斜角是直线的倾斜角的二倍，求直线的方程；
（2）已知入射光线经过点，且被直线反射，反射光线经过点，求反射光线所在直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用倾斜角求出直线斜率，然后再利用点斜式即可求解直线方程，
（2）利用点关于直线对称可得，即可根据两点坐标求解直线斜率，由点斜式求解直线方程.
【详解】（1）因为直线的斜率为，则直线的倾斜角为，
故所求直线的倾斜角为，直线斜率为，
所求直线的方程为，即.
（2）设关于直线对称的点为，
则解得
因为反射光线经过点，
所以所在直线的斜率为，
故反射光线所在直线方程为，即.
21. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）；（3）最大值为.
【解析】
【分析】
（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；
（2）先根据题意得到，解得：，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；
（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.
【详解】（1）对于函数的定义域内存在，则无解，
故不是“依赖函数”.
（2）因为在上递增，故，即，，
由，故，得，
从而在上单调递增，故.
（3）①若，故在上最小值0，此时不存在，舍去；
②若，故在上单调递减，
从而，解得(舍)或，
从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，得.
由，可得，
又在单调递减，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
② 数形结合( 图象在 上方即可)；
③ 讨论最值或恒成立.
22. 已知圆心为C的圆经过点，，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的方程：
（2）已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程．
（3）已知点，，且P为圆C上一动点，求的最小值．
【答案】（1）
（2）x=1或
（3）24
【解析】
【分析】（1）先求AB的垂直平分线方程为,，联立直线方程求得，利用两点距求出半径，即可求解圆的标准方程；
（2）设圆心到直线的距离为d，由几何法求弦长公式可得，易知直线的斜率不存在时符合题意，若斜率存在，设直线方程，利用点线距建立方程，解之即可求解.
（3）根据两点间距离公式再结合三角换元把原式化简为，应用三角恒等变换化简结合正弦函数的值域得出最小值即可.
【小问1详解】
,AB的中点为
AB的垂直平分线方程为，即,
将联立可得,即圆的圆心坐标为.
圆的半径为，
所以圆标准方程为.
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得，故.
若直线的斜率不存在，则x=1，此时圆心到直线的距离为3，符合题意.
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
所以，解得，则直线的方程为.
故直线的方程为x=1或.
【小问3详解】
在圆的标准方程上，
设
又因为点，，
所以
，
当时，取最小值为.