陕西省西安市铁一中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省西安市铁一中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了 的相反数是， 下列各组数中，是勾股数的是， 在平面直角坐标系中，点位于， 若点在轴上，则的值为， 一次函数与正比例函数， 一次函数等内容，欢迎下载使用。
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的意义求解即可．
【详解】解：的相反数是．
故选：B．
【点睛】此题考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A. B. C. D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股数，根据三个正整数，满足两个较小数的平方和等于较大数的平方，则这三个数是勾股数，进行判断即可．
【详解】解：A、三个数不是整数，不符合题意；
B、，不是勾股数，不符合题意；
C、，三个数是勾股数，符合题意；
D、三个数不是整数，不符合题意；
故选C．
3. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据坐标的符号特征，确定其位于第二象限，解答即可．
本题考查了点与象限关系，熟练掌握坐标符号特征与象限的关系是解题的关键．
【详解】根据题意，得的符号特征是，
故位于第二象限，
故选：B．
4. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了函数的定义，正确理解定义是解题的关键．根据函数的定义即在一个变化过程中，由两个变量x，y，对于每一个自变量x值，y都有唯一一个确定的值与之对应，称变量y是x的函数，根据定义解答即可．
【详解】解：根据题意，得A，B，C都是函数，D不是函数，
故选：D．
5. 若点在轴上，则的值为（ ）
A. 3B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据在轴上点的纵坐标为0，得到，解答即可．
本题考查了点的位置，熟练掌握轴上点的纵坐标为0，是解题的关键．
【详解】解：根据在轴上点的纵坐标为0，得到，
解得．
故选：B．
6. 一个正比例函数的图象经过点，它的表达式为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设该正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0），再把点（−2，4）代入求出k的值即可．
【详解】解：设正比例函数解析式为,因为函数的图象经过点，
所以，
所以解析式为
故选A．
【点睛】本题考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
7. 一次函数与正比例函数（，为常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，与正比例函数，得到一次函数与正比例函数是平行线，解答即可．
本题考查了函数图象的分布，位置关系，熟练掌握位置关系的判定是解题的关键．
【详解】解：∵与正比例函数，
∴两直线是平行的，
故A，B，C都不符合，D符合，
故选：D．
8. 一次函数（，为常数且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象，得当即时，，根据方程解的定义，判定是方程的解．
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握其关系是解题的关键．
【详解】解：根据图象，得当即时，，根据方程解的定义，得是方程的解．
故选：A．
9. 已知长方形中，，，是边上一点，将长方形沿直线折叠，使点恰好落在对角线上，则的长为（ ）
A. 5B. 13C. D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理，得到，，，继而得到，设，则，利用勾股定理解答即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理，矩形的性质是解题的关键．
【详解】解：矩形中，，，
∴，，，
∴，
根据折叠的性质，得，，，
∴，
设，则，
∴
解得．
∴，
故选：C．
10. 如图，，，，…，都是斜边在轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若的顶点坐标分别为，，，则依图中所示规律，的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标规律．当为奇数时，点的坐标在轴上，再根据从原点开始，每隔4个的点在轴负半轴上，即可求解．
【详解】解：∵，，，，，，
∴当时，其位于轴的正半轴上，且横坐标为，
当时，其位于轴的负半轴上，且横坐标为，
又中是奇数，且，
故横坐标为，
∴的坐标为，
故选：C．
二．填空题
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___．
【答案】
【解析】
【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．
12. 将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图象，所得一次函数的表达式是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据上加原则，确定一次函数的表达式．
本题考查了一次函数的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得直线向上平移1个单位，所得一次函数的表达式为：．
故答案为：．
13. 若点和点是一次函数的图象上的两点，与的大小关系是：_____（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，再结合，即可得出．
【详解】解：∵中，
随的增大而减小，
又∵，
∴，
故答案为：．
14. 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为_______尺．

【答案】12
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设出尺，表示出水深，在中，根据勾股定理建立方程，是解题的关键．
【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则尺，

尺，
尺
在中，，
解得，
即芦苇长13尺，
水深为（尺），
故答案为：12．
15. 在平面直角坐标系中，已知点和，且轴，则的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据轴，得到点和纵坐标相同，得到，解答即可．
本题考查了平行x轴的直线上点的坐标特点，熟练掌握特点是解题的关键．
【详解】解：∵轴，
∴点和纵坐标相同，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点、，点是的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，以为边在右侧作等腰直角三角形，其中，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】过点E作于点F，证明，设，确定，利用两点间距离公式，得，利用实数非负性，配方法确定最小值，再计算算术平方根即可．
【详解】解：过点E作于点F，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵直线与轴，轴分别交于点、，点是的中点，
∴，
∴，
∴，，
设，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，取得最小值，且最小值为18，
∴取得最小值，且最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，两点间距离公式，配方法的应用，算术平方根，熟练掌握三角形全等的判定和性质，配方法的应用是解题的关键．
三．解答题
17. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式再计算除法即可得到答案；
（2）利用平方差公式进行计算即可；
（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（4）计算零指数幂和负整数指数幂、化简绝对值，再合并同类二次根式即可；
（5）利用二次根式的除法和完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
；
【小问3详解】
；
【小问4详解】
；
【小问5详解】
．
18. 已知一个正数的两个平方根分别是和，且的立方根为．
（1）求a，b的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】（1）1，
（2）3
【解析】
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根是和，得到，求得，结合，得．
（2）先计算，再求其算术平方根即可．
本题考查了平方根的应用，解方程，求立方根，算术平方根，熟练掌握定义和解方程是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵一个正数的两个平方根是和，
∴，
解得，
∵，
解得．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴．
19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，三点都在格点上．
（1）关于轴对称的图形为（其中：与，与，与相对应），在图中画出；
（2）点是轴上一点，则的最小值是_____．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了对称作图，两点间距离公式，线段和的最小值，熟练掌握对称作图，线段和最小值是解题的关键．
（1）根据横坐标不变，纵坐标变为相反数，确定变换后的坐标，画图即可．
（2）作点A关于轴的对称点，连接，交轴于点P，点P即为所求．
【小问1详解】
解：根据题意，得，，，
故，，，画图如下：
则即为所求．
【小问2详解】
解：作点A关于轴的对称点，连接，交轴于点P，

则点P即为所求最小值点．
根据题意，得，，
故，
故，
故答案为：．
20. 近日，陕西通信技术在西北地区率先迈入“双万兆”时代，双万兆，指的是“无线有线”光网技术能力均超万兆．是基于第五代移动通信技术的演进和增强版，具备通感一体、无源物联、内生智能等“超能力”，能够满足更为复杂和多样化的应用场景需求．过去的10年里，通信行业经历了从到的飞速发展，某电信公司也适时推出流量卡；包含了甲、乙两种方案供用户选择：甲种方案每月收取月租费25元，流量费为0.5元/；乙种方案不收取月租费，流量费为1.8元/．假设每月使用流量为，甲种方案的每月．费用为元，乙种方案的每月费用为元．（注：是一种流量的计算单位）
（1）分别写出、与的关系式；
（2）若小王平均每月使用的流量，通过计算说明他选择哪种方案更划算？
【答案】（1），；
（2）小王选择甲种方案更划算．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
（1）根据题意和题目中的数据，可以写出，与的关系式；
（2）将分别代入（1）中的函数解析式，求出相应的，，再比较大小即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，
，；
【小问2详解】
解：当时，
， ，
∵，
∴小王选择甲种方案更划算．
21. 如图，在中，，，D为边上的一点，，．
（1）求证：；
（2）求的面积．
【答案】（1）见解析 （2）84
【解析】
【分析】（1）根据，，，得，证明；
（2）根据勾股定理，得，求得，计算的面积即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：根据勾股定理，得，
∴，
∴的面积为：．
22. 国庆节假期间，小亮和妈妈到某度假村度假．返回时，他们先搭乘顺路车到服务区，爸爸再驾车到服务区接小亮和妈妈回家．一家人在服务区见面后，休息了一会儿，然后乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小亮与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示．
（1）小亮从度假村到服务区的过程中，求与之间的函数关系式；
（2）小亮从度假村回到自己家共用了多长时间？
【答案】（1）
（2）4小时
【解析】
【分析】本题考查一次函数的解析式，及函数值问题，掌握函数的待定系数法求解析式，会用解析式求函数值，掌握路程速度与时间的关系，会用路程与速度求时间解决问题是关键．
（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法解答即可；
（2）根据“时间路程速度”，求出从A服务区到家的时间即可解答．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+bk≠0，根据题意得：
，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：把代入，得，
从A服务区到家的时间为：（小时），
（小时），
答：小亮从度假村回到自己家共用了4小时．
23. 如图，直线与轴、轴分别交于，两点，直线与轴交于点，两直线交于点，且点的坐标为．
（1）_____；
（2）求四边形的面积；
（3）点为直线上一点，且的面积等于四边形的面积，求的坐标．
【答案】（1）8 （2）10
（3）或
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，待定系数法，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程和应用分类讨论思想解决问题
（1）利用待定系数法求解即可．
（2）结合一次函数与坐标轴的交点求得对应线段长度，再利用三角形的面积公式计算即可．
（3）设，分点M位于点P上方和下方分别列出或，结合三角形面积公式构建方程即可解决问题．
【小问1详解】
解：根据题意得直线过点的坐标为，则，解得，
故答案为：8；
【小问2详解】
解：∵直线与轴、轴分别交于，两点，
∴点A−2,0，，
∵直线
∴点B4,0，
∴，
则，；
【小问3详解】
解：设，则有或，
∴或，
解得或，
当时，；
当时，，
∴或．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点与点关于轴对称，连接．
（1）的坐标是_____；
（2）在轴上是否存在一点，使得是等腰三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，说明理由；
（3）直线交直线于点、交直线于点，点为轴上的一个动点，为等腰直角三角形，请直接写出的值．
【答案】（1）
（2）或或或
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）根据直线求出点B的坐标，然后根据轴对称的性质求出点C的坐标即可；
（2）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可；
（3）分情况讨论：当，，时，当，，时，当，，时，当，，时，当，时，分别根据等腰直角的性质求出结果即可．
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴，
∵点与点关于轴对称，
∴点C的坐标为0,3；
【小问2详解】
解：把代入得：，解得：，
∴点A的坐标为，
∴，
当时，如图所示：
此时或，
∴此时点D的坐标为或1,0；
当时，如图所示：
设，则，
根据勾股定理得：，
，
解得：，
则，
∴此时点D的坐标为；
当时，如图所示：
∵，
∴，
∴此时点D坐标为；
综上分析可知：点D的坐标为或1,0或或；
【小问3详解】
解：设直线的解析式为：，把A−4,0代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵直线交直线于点、交直线于点，
∴，，
∴，
当，，时，如图所示：
，
解得：；
当，，时，如图所示：
则，
解得：；
当，，时，如图所示：
∵点E与点F关于x轴对称，
∴x轴垂直平分，
∵，
∴点Q在的垂直平分线上，
∴点Q在x轴上，
∴此时点Q与原点O重合，
∵，，，
∴，
∴此时，
解得：；
当，，时，如图所示：
同理可得：此时点Q与原点O重合，
∵，，，
∴，
∴，
解得：；
当，时，，
则，
解得：不符合题意；
综上分析可知：a的值为：或或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
选做题（此题分数不计入总分）：
25. 在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“关联点”．已知点，若直线上的点是点的“关联点”，则点的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据点A是直线上的点，设，根据点，直线上的点是点的“关联点”，得到，解答即可．
本题考查了新定义，一次函数的解析式，熟练掌握定义，一次函数解析式与点的关系是解题的关键．
【详解】解：∵点A是直线上的点，
故设，
∵点，直线上的点是点的“关联点”，
∴，
解得，
故．
故答案为：．
26. 在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，若点是轴上一动点，且与面积相等，则点坐标是_____．
【答案】或
【解析】
【分析】过点B作，过点A作于点G，过点C作于点E，交于点F，分割法求得，设点，根据题意，得，解答即可．
详解】解：过点B作，过点A作于点G，过点C作于点E，交于点F，
则四边形是矩形，
∵A0,3，，，
∴，
设点，
根据题意，得，
∵与面积相等，
∴．
解得或，
故或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，分割法求面积，绝对值的应用，分类思想求面积，熟练掌握坐标与线段的转化方式是解题的关键．
27. 直线与直线交点在第一象限，则的取值范围是_____．
【答案】或
【解析】
【分析】构造方程组，求得交点坐标，根据第一象限符号特征，建立不等式组，求得解集即可，注意相交的直线一定不平行，得到，要注意扣除.
本题着重考查了求两条直线的交点的坐标的方法，以及第一象限内的点的坐标的符号特征．注意两条直线相交的前提是这两条直线不平行，即它们的一次项系数不相等，这是解题的易错点，同时考查了计算能力、逻辑推理能力与空间想象能力，考查了函数方程、转化化归、分类讨论与数形结合的数学思想.
【详解】解：根据题意，得，
解得，
∵交点在第一象限，
∴，且
当时，，
解得时，，根据大大取大，得；
当，，
∴，，根据小小取小，得，
故k的取值范围是或.
故答案为：或.
28. 如图，在等腰直角三角形中，于点，点是内部一点，连接、、，若，，，则的长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，过点D作于点F，过点D作，交于点G，根据等腰直角三角形性质得出，根据勾股定理求出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，证明，得出，作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质，是解题的关键．
详解】解：过点D作于点F，过点D作，交于点G，如图所示：
则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．