陕西省榆林市第十二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省榆林市第十二中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线的方程化为标准方程，即可得出该抛物线的准线方程.
【详解】由题意知抛物线C的标准方程为，所以其准线方程为．
故选：C．
2. 已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的性质，即可解题.
【详解】由题意可知，所以，所以双曲线的渐近线方程为.
故选：D.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出向量的坐标，由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】因为，，则，
因为，则，解得.
故选：A.
4. 已知圆：与圆：相交于，两点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】两圆作差即可求得公共弦的方程.
【详解】圆，圆的方程可以化简为，，将两圆方程相减，得，即直线的方程为.
故选:A.
5. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的几何性质即可求解.
【详解】由椭圆的方程，得，，因为，所以，
又在椭圆上，所以，解得，
即，，
所以．
故选：A．
6. 已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”；
若动点的轨迹是双曲线，则为定值，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”.
因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
7. 如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值.
【详解】由，，，得，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
所以，，，，
所以，，
所以，即直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
8. 已知圆和两点，，若圆上至少存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，利用圆心距和两圆半径之间的关系即可求得.
【详解】圆的圆心，半径为，
因为圆上至少存在一点，使得，则，
所以圆与圆的位置关系为相交、内切或内含，
所以可得，又因为，
所以，即.
即实数的取值范围是.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若直线与直线平行，则的值可以是（ ）
A 0B. 2C. D. 4
【答案】AB
【解析】
【分析】利用两直线平行，得出斜率相等，进而求解.
【详解】因为两直线平行，由斜率相等得，所以或，解得或0或，当时两直线重合，舍去.
故选：.
10. 已知分别是双曲线的上、下焦点，以线段为直径的圆M与双曲线C的渐近线的一个交点为P，则（ ）
A. 圆M的方程为B. 双曲线C的离心率为
C. 双曲线C的渐近线方程为D. 的面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】由给定方程求出双曲线的实虚半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解.
【详解】由双曲线方程，得实半轴长，虚半轴长，半焦距，
圆M的圆心为，半径为，方程为，A正确；
双曲线C的离心率，B正确；
双曲线的渐近线方程为，C错误；
由，解得，则点横坐标满足，
而，于是，D正确.

故选：ABD
11. 已知正方体的棱长为1，动点在正方形内（包含边界），则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则直线和所成角为
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若，则点到直线的距离的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】以点为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A0,0,0，B1,0,0，C1,1,0，D0,1,0，，，，
，设，其中，，
对于A选项，由，
得，即，
所以，，故A正确；
对于B选项，由A选项知，所以，又，
设直线和所成角为（），
则，所以，故B错误；
对于C选项，因为，所以，，
即，又点在平面内（包含边界），
所以点的轨迹是平面内以为圆心，为半径的半圆弧，
所以其长度为，故C正确；
对于D选项，由C选项知，BC=0,1,0，设，
则，
所以，
所以点到的距离，令，，
所以，当且仅当，
即时，等号成立，
故点到直线的距离的最小值为，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点睛：
空间坐标系与向量的应用：通过构造空间直角坐标系，结合向量的性质来解决几何问题，是解题的关键步骤.
轨迹分析与距离计算的结合：通过分析动点的运动轨迹，再结合几何性质进行距离的计算，确保了推导过程的严密性.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线的方程为，则坐标原点到直线的距离为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用点到直线距离公式代入计算即可得出结果.
【详解】将直线化为一般方程可得，
由点到直线距离公式可得坐标原点到直线的距离为.
故答案为：
13. 若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据圆、曲线的对称性，只需分析与圆只有一个交点即可，分相切与相交两种情况讨论，分别计算可得.
【详解】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称，
因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称，
所以只需研究与圆只有一个交点即可，
当与圆相切时，则，
当与圆相交时（只有一个交点），则，
综上可得的取值范围为.
故答案为：
14. 设，分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过点且倾斜角为60°的直线与椭圆交于，两点，若，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，将直线和椭圆联立消元得，由可得，再结合化简可得.
【详解】由题意，直线过且斜率为，所以直线为：，
与椭圆：联立消去，得，
设，则，
因为，所以，可得，
代入上式得，消去并化简整理得：，
将代入化简得：，解得，
因此，该双曲线的离心率.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的外接圆为圆.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线与圆交于E，F两点，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法设圆的方程为，结合题意解出即可求解；
（2）由（1）得圆心和半径，求出圆心到直线的距离，从而可得弦长，再用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，继而利用三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
设圆的方程为，
则，解得，
所以圆方程为.
【小问2详解】
由，得，
所以圆的圆心为，半径，
圆心到直线的距离为，
，
又点到直线的距离为，
所以的面积为.

16. 如图，在直三棱柱中，，，，为的中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用中位线性质以及线面平行判定定理证明可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法计算可得结果.
【小问1详解】
证明：设，连接，
在直三棱柱中，四边形是平行四边形，所以是的中点，
又为的中点，所以.
又平面，平面，
所以直线平面.
【小问2详解】
在直三棱柱中，平面，
又，平面，所以分，，
又，
所以可以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
因为，，，所以，
则，，，，，
，，
设平面的法向量为m=x,y,z，
则,令1，得，，
所以平面的一个法向量为，又，
设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知双曲线：（，）的离心率是，焦距为6.
（1）求的方程；
（2）若直线：与相交于，两点，且（为坐标原点），求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程；
（2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，求出的值.
【小问1详解】
因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6，
所以，，其中，解得，，
所以.
所以的方程为.
【小问2详解】
设，，
联立方程消去得，
因为直线：与相交于，两点，
所以，即且，
由韦达定理得，，
又，，
所以，
所以，
将韦达定理代入上式，得，
即，解得，满足且.
18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是等边三角形，平面平面.

（1）求平面与平面所成二面角的正弦值；
（2）已知分别是线段上一点，且，若是线段上的一点，且点到平面的距离为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）如图通过证明平面，可建立以点为原点的空间直角坐标系，后可求出平面与平面的法向量，结合空间向量知识可得答案；
（2）由题可得平面的法向量，后设，可得点到平面的距离关于的表达式，即可得答案.
【小问1详解】
取的中点分别为，连接，
因为底面是正方形，所以，
因为是正三角形，为中点，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，又平面，所以，
以点为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，

由题意：，
，
设平面的法向量为n=x,y,z，所以，
即，令，则，
即平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为，
设平面与平面所成二面角为，
则，
所以，即平面与平面所成二面角的正弦值为.
【小问2详解】
因为分别是线段上一点，
且，
所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，即，
令，则，即平面的一个法向量为，
设，
则，
所以点到平面距离，
解得（舍去），即
19. 给定椭圆 :，我们称椭圆为椭圆的“伴随椭圆”.已知，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，等腰的面积为，且顶角的余弦值为
（1）求椭圆的方程；
（2）是椭圆上一点（非顶点），直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，证明:为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理可得，结合面积可得，联立即可求解；
（2）根据已知解设出Px0,y0，直线和的斜率，表示出直线方程，然后与伴随椭圆联立方程，结合韦达定理表示出和MN，即可得证.
【小问1详解】
由，可得，
因为的面积为，所以，
解得．
所以椭圆的方程为．
【小问2详解】
由（1）知，设Px0,y0，
直线的斜率为，直线的方程为，
直线的斜率为，直线的方程为，
所以．
由，得，
椭圆的“伴随椭圆”的方程为．
联立，可得，
设，则，
，
同理，
所以．
【点睛】方法点睛：本题考查椭圆与直线相交的综合性题目，属于中档题，常用方法有：（1）数形结合思想；（2）韦达定理的使用；（3）待定系数法求方程.