河北省秦皇岛经济技术开发区第四中学 2024-2025学年上学期数学九年级期末质量检测试卷

这是一份河北省秦皇岛经济技术开发区第四中学 2024-2025学年上学期数学九年级期末质量检测试卷，共26页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知是方程的两根，则的值为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(每题3分，共36分）
1．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（ ）
A．25°B．35°
C．45°D．65°
2．如图所示为某几何体的示意图，则该几何体的左视图应为（ ）
A．（A）B．（B）C．（C）D．（D）
3．某篮球队12名队员的年龄如下表所示：
则这12名队员年龄的众数和平均数分别是（ ）
A．19，20B．20，20C．19，19D．20，19
4．如图是某幼儿园的滑梯的简易图，已知滑坡的坡度是，滑坡的水平宽度是12m，则高是（ ）
A．2mB．3mC．4mD．5m
5．将抛物线向上平移2个单位后，所得新抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是方程的两根，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．某数学跨学科学习小组在研究中学习到：当压力一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）存在反比例函数关系．下表是他们实验的几组数据：
则压强与受力面积之间的函数关系式是（ ）
A．B．C．D．
8．小明在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（ ）
掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率
B．抛一枚硬币，出现反面的概率
C．任意写一个正整数，它能被3整除的概率
D．从一副扑克牌中任抽一张牌，取到“大王”的概率
9．已知某抛物线上有三点，分别为，，，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则，，由小到大的顺序排列的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，经过原点O的⊙C分别与x轴、y轴交于点A、B，P为上一点．若∠OPA＝60°，OA，则点B的坐标为（ ）
（0，2）B．（0，）
C．（0，4）D．（0，）
11．如图，在正六边形中，，则它的边长是（ ）
A．1B．
C．D．2
12．如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，与y轴的交点B在之间（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
B．
C．D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题3分，共12分）
13．如图，点在反比例函数的图象上，
且垂直于x轴，垂足为点B，则 ．
14．若抛物线（c是常数）与x轴有两个公共点，则c的取值范围是 ．
15．如图所示，正方形边长是4，，，线段的端点M、N分别在、上滑动，当 时，．

16．已知的半径为4，是上两定点，点A是上一动点，且，的平分线交于点D，过点D作的平行线交的延长线于点F．下列说法中正确的是 ．
①的最大值是8；②点D为上一定点；③的最大值是；④与相交；⑤若∆ABC为锐角三角形，则．
三、解答题(共72分）
17．（8分）计算
(1)解方程：；
．
18．（8分）如图所示，三条笔直的公路，，两两相交，交点分别为点、点和点，要在三角形的区域内建一个到三条公路距离相等的仓库，请用直尺和圆规在图中画出点的位置（保留作图痕迹）并说明理由．
19．（8分）如图：，以为直径作，交于点，过点作于点F，交的延长线于点．
(1)求证：是的切线； eg \(\s\up5(⌒),\s\d2(AB))
(2)若，，求图中由弧 与弦围成的阴影部分面积．
20．老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将5种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有两张卡片，乙口袋中装有三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）．
(1)若从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到化学变化的概率是______；
(2)从两个口袋中分别随机取出1张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率．
21．某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，点D距地面为米．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点A，D转动，且边始终与边平行．

(1)如图2，当道闸打开至时，边上一点P到地面的距离为米，求点P到的距离的长．
(2)一辆轿车过道闸，已知轿车宽米，高米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，）
22．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商销售某名牌头盔，进价为30元/个．测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上每上涨1元/个，则月销售量将减少10个．
(1)设售价在40元/个的基础上涨价x元，则月销售量为______个，每个头盔的利润是______元．（用x的代数式表示）
(2)为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠．则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
(3)要想使月销售利润达到13000元，问这个要求能否实现？请说说你的理由．
23．“不倒翁”是我国一种古老的儿童玩具，一经触动就会左右摇摆．某款“不倒翁”的纵截面（沿顶端以垂直于水平面方向截取所得的截面）如图1，它由半圆O和等边三角形组成，直径，半圆O的中点为点C，为桌面，半圆O与相切于点Q，拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动．
(1)如图1，若，则的长为________（结果保留根号）；
(2)如图2，连接，向右拨动“不倒翁”使，
①猜想与的位置关系并证明；
②点C到的距离为________（结果保留根号）；
当或垂直于时“不倒翁”开始折返．求在一次摆动（由图2到图3）的过程中圆心O移动的距离．
24．如图，一小球从斜坡上的O点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达的最高点的坐标为．（单位：米）
(1)求抛物线的解析式．
(2)在斜坡上的B点处有一棵树，与O点的水平距离为3米，树高为7米，小球能否越过这棵树？请说明理由．
(3)求小球抛出到落在斜坡上所经历的水平距离．
年龄（岁）
18
19
20
21
人数
1
4
5
2
（单位：）
（单位：）
参考答案：
1．A
【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．
【详解】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=65°，
∴∠ABC=90°-∠CAB=25°，
∴∠ADC=∠ABC=25°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．
2．C
【详解】从左边看是一个矩形，中间有一条水平平的虚线，
故选C.
点睛：本题考查了简单组合体的三视图，注意看不到的线用虚线表示.
3．B
【分析】依据众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个找到众数即可；平均数分为算数平均数和加权平均数，本题用总岁数除以总人数得到平均数．
【详解】解：数据20出现了五次，出现的次数最多，故20即为这组数据的众数；
平均数：
故选B．
【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的平均数和众数的能力．解题的关键是准确的掌握平均数的求法和众数的求法.
4．C
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，解题的关键是根据题意得，代入即可求解．
【详解】解：∵滑坡的坡度是，
∴在中，，
∵，
∴，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据上加下减的原则得出解析式即可．
【详解】解：将抛物线向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为，
故选：A．
6．C
【分析】直接利用根与系数的关系作答．
此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：
【详解】解：是方程的两根，
，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查反比例函数的应用，先设出与的函数解析式，再把表中一组数据代入解析式即可．解题的关键是用待定系数法求函数解析式．
【详解】解：设压强（单位：）与受力面积（单位：）的函数解析式为，把，代入解析式得：，
解得：，
∴压强与受力面积之间的函数关系式是．
故选：A．
8．C
【分析】本题主要考查频率估算概率，理解图示中频率的值，掌握概率的计算方法是解题的关键．
根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现4点的概率；
B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为；
C、任意写出一个正整数，能被3整除的概率为；
D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率．
故选：C．
9．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据题意求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数对称性和增减性即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴关于直线的对称点为，
∵抛物线上有三点，分别为，，，且，
∴，
故选：A．
10．C
【分析】首先连接AB，由圆周角定理可得∠ABO＝60°，然后由正切三角函数求得OB的长，则可得点B的坐标．
【详解】解：如图，连接AB，
∵∠ABO＝∠OPA＝60°，∠AOB＝90°，
∴4．
∴点B的坐标为：（0，4）．
故选： C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，掌握正切的定义是解题关键．
11．D
【分析】过点B作BG⊥AC于点G．，正六边形ABCDEF中，每个内角为（6-2）×180°÷6=120°，即∠ABC=120°，∠BAC=∠BCA=30°，于是AG=，AB=2.
【详解】如图，过点作于点．
正六边形中，每个内角为，
∴，
∴，
∴，
即边长为2．
故选D．
【点睛】本题考查了正多边形，熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键．
12．D
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得，，，即可判断A，B；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为，即可判断C；将c和b用a表示，即可得到，即可判断D．
【详解】解：由图可知，
∵抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，，
则，，故选项B错误；
∵抛物线与轴的交点在，之间，
∴，
则，故选项A错误；
设抛物线与轴另一个交点，
∵对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，
∴，解得，
则，故选项C错误；
∵，，，
∴，解得，故选项D正确；
故选：D．
13．4
【分析】根据反比例函数系数的几何意义即可求解．
【详解】
解：点在反比例函数的图象上，且垂直于x轴，垂足为，
．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．
14．/
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，掌握抛物线与x轴两个公共点是解题的关键．由抛物线与x轴有两个公共点，得到方程有两个不相等的实数根，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴有两个公共点，
∴有两个不相等的实数根，
∴，
∴．
故答案为：．
15．/
【分析】根据相似三角形的性质，列出比例式，构造方程即可．
【详解】解：∵正方形边长是4，
∴，，
∴在中，AE==，
当时，，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质定理，解答过程中需要注意边的对应关系．
16．①②⑤
【分析】①由圆周角定理可知，当在优弧的中点时，为最大值，即可得出结论，
②由的平分线交于点D，，可得，再由是上两定点即可得出结论，
③当时，最大，再由勾股定理求出高，即可求出面积得出结论，
④连接，根据平行线的性质和切线的定义，得出DF与相切，即可得出结论，
⑤分别求出时，，时，，即可得出为锐角三角形的范围．
【详解】解：①当在优弧的中点时，
为直径，值最大，最大值为，故①正确．
②的平分线交于点D，，
，
，
是上两定点，
点D为上一定点，故②正确．
③是上两定点，
的长度不变，
则当时，的高最大，
设与交于点，连接，
，
，
，
，
，，
,
，
，故③不正确．
④连接，
，
，
，
，
为的半径，
为圆的切线，故④不正确．
⑤如图，与交于点，当时，为直径，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形为矩形，
，
如图，连接，，为直径，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
同理可得，，
，
，
，
，
若为锐角三角形，则，故⑤正确．
正确的有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，做出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键．
17．(1)，；
(2)．
【分析】（）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（）根据特殊角的三角函数值，再进行化简求值即可；
本题考查了特殊角的锐角三角函数值，因式分解法解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数和掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：
或
∴，；
（2）解：原式
．
18．见解析
【分析】作△ABC的任意两个内角平分线，交于点P即可．
【详解】解：如图，点P即为所求；
【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确掌握角平分线的性质是解题关键．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质以及，可得，从而得到，进而得到，即可；
（2）根据勾股定理求出的长，再由，即可求解．
【详解】（1）如图，连接，
，
，
，
，
，
．
，
，
∵为半径，
是的切线．
（2）解：，
，
∵，，
∴．
连接，
∵，
∴是等腰三角形，
∵是直径，
∴，
∴，
∵是等腰三角形，
∴是的中线，
∴点E是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的半径为4．
∴
．
【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，中位线的判定与性质，扇形的面积等知识，熟练掌握切线的判定定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．
（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有2种，利用概率公式可得答案；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽出的两张卡片均是物理变化的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有2种，
∴从乙口袋中随机抽取1张卡片，抽到化学变化的概率是，
故答案为：；
（2）解：根据题意，列表如下：
由表可以看出，所有等可能出现的结果共有6种，其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有1种，所以P（两次抽出的卡片均为物理变化），
∴抽出的两张卡片均是物理变化的概率为．
21．(1)2米
(2)能，理由见解析
【分析】（1）在中，由，，进而求出即可；
（2）当，米时，求出，与米比较即可得出答案．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，

由题意可知，，米，米，
在 中，，（米），
（米），
（米），
即点到的距离的长为2米；
（2）解：依题意，
当，米时，且，
则，
∵点D距地面为米
∴（米），
（米），
（米），
，
能通过．
22．(1)；
(2)50
(3)不能实现，理由见详解
【分析】（1）根据题意用含用x的代数式直接表示，并整理即可解题；
（2）设在40元/个的基础上涨价x元，列出一元二次方程求解即可；
（3）设在40元/个的基础上涨价y元，列出一元二次方程侯整理成一般式，再用根的判别式判断方程根的情况解题即可．
【详解】（1）解：月销售量为个，每个头盔的利润是元，
故答案为：；
（2）解：设在40元/个的基础上涨价x元，
，
解得：，
又∵尽可能让顾客得到实惠，
∴，这时售价定价元，
答：实际售价应定为50元/个．
（3）解：设在40元/个的基础上涨价y元，
，
整理得：
，
∴方程无解，
故这个要求不能实现．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
23．(1)
(2)①；②
(3)
【分析】（1）根据题意得当时，三点在一条直线上，则，得出，最后根据即可解答；
（2）①根据半圆与相切于点，得出，再根据半圆的中点为点，得出，从而得出，根据为等边三角形，得出，证明，即可证出．
②过点作于点于点，则，根据勾股定理求出，则，通过证明四边形为矩形，即可解答；
（3）从滚动到滚动过程中始终与桌面相切，得出圆心到桌面的距离总等于圆的半径，则从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍，结合，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：当时，三点在一条直线上，
∵直径，
，
∵为等边三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：①．
∵半圆与相切于点，
，
∵半圆的中点为点，
，
∵，
，
∵为等边三角形，
，
，
，
．
②过点作于点于点，如图，
，
，
，
，
∵，
∴四边形为矩形，
∴．
∴点到桌面的距离为，
故答案为：．
（3）解：从滚动到（图2-图3）过程中，圆心移动的距离为．
∵拨动“不倒翁”后它在桌面上做无滑动的滚动，
∴滚动过程中始终与桌面相切，
∴圆心到桌面的距离总等于圆的半径，
∴从滚动到过程中，圆心移动的距离为的长度的2倍，
由（2）①知：，
∴圆心移动的距离．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、勾股定理、弧长公式、切线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
24．(1)；
(2)小球能飞过这棵树，理由见解析；
(3)米．
【分析】本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，二次函数顶点坐标的求解方法，待定系数法求一次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关
（1）根据最高点的坐标为，设抛物线解析式为，再将代入求解；
（2）把分别代入和即可得到答案；
（3）小球抛出到落在斜坡上所经历的水平距离即是当水平距离相等时，斜坡与小球的高度相等，故联立一次函数和二次函数，求得是小球抛出到落在斜坡上所经历的水平距离．
【详解】（1）解：小球到达的最高的点坐标为，
∴设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：；
∴抛物线的表达式为；
（2）小球M能飞过这棵树；
理由：当时，，
∵，
∴小球能飞过这棵树；
（3）联立函数解析式得：
解得：（不合题意，舍去），，
∴小球抛出到落在斜坡上所经历的水平距离为米．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
B
C
A
C
A
C
A
C
题号
11
12








答案
D
D








A
B
C
D
E