2024年广东省梅州市梅县区部分学校中考数学一模试卷

这是一份2024年广东省梅州市梅县区部分学校中考数学一模试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cs∠A＝，则BC的长为（ ）
A．8B．12C．13D．18
2．（3分）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
3．（3分）将抛物线y＝8x2向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y＝8（x﹣3）2+5B．y＝8（x+3）2﹣5
C．y＝8（x﹣3）2﹣5D．y＝8（x+3）2+5
4．（3分）△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，csB＝，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
5．（3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b（a，b都不为0）的图象的相对位置可以是（ ）
A．B．
C．D．
6．（3分）对于抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，下列说法中错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1
B．顶点坐标是（1，2）
C．当x＞1时，y随x的增大而减小
D．当x＝1时，函数y的最小值为2
7．（3分）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与运动时间t（秒）之间的解析式是h＝﹣5t2+30t（0≤t≤6），则小球到达最高高度时，运动的时间是（ ）
A．1秒B．2秒C．3秒D．4秒
8．（3分）若一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），则抛物线y＝ax2+bx的对称轴为（ ）
A．直线x＝1B．直线x＝﹣2C．直线x＝﹣1D．直线x＝﹣4
9．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，有下列结论：①4a+2b+c＜0；②a+c＞0；③2a+b+c＞0；④当﹣1＜x＜3时，y随x的增大而增大．其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
10．（3分）如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（ ）
A．ab＝﹣2B．ab＝﹣3C．ab＝﹣4D．ab＝﹣5
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则csB＝ ．
12．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是 ．
13．（3分）已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同，且它的顶点坐标为（﹣1，6），则这条抛物线的解析式为 ．
14．（3分）若二次函数y＝x2+2x+2k﹣4的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为 ．
15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0），经过A（﹣4，1），B（2，1），C（﹣5，y1），D（1，y2）四点，则y1与y2的大小关系是y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，csB＝，则＝ ．
三、解答题（共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC的长．
19．（7分）如图，抛物线y＝﹣x2+4交x轴于A，B两点，顶点是C．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若点P在抛物线上，且S△PAB＝4，求点P的坐标．
20．（7分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sinB＝，AD＝1．
（1）求BC的长；
（2）求tan∠DAE的值．
21．（7分）数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°，再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上，则该建筑物AB的高度约为多少？（精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）
22．（7分）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上．
（1）求改善后滑板AD的长为多少米？
（2）若滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．
（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449，以上结果均保留到小数点后两位）．
23．（10分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元．
（1）求每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个抛物线的函数解析式；
（2）求直线AC的函数解析式；
（3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
25．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx经过坐标原点O与点A（3，0），正比例函数y＝kx与抛物线交于点B（，）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点N，交OB于点M，是否存在点P，使得△OMN与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年广东省梅州市梅县区部分学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．【分析】先根据∠C＝90°，AC＝5，cs∠A＝，即可得到AB的长，再根据勾股定理，即可得到BC的长．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，cs∠A＝，
∴＝，
∴AB＝13，
∴BC＝＝12，
故选：B．
【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
2．【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝，BC＝，
∴sinA＝＝＝，
∴∠A＝45°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3．【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝8x2向左平移3个单位，再向下平移5个单位，得到的抛物线为y＝8（x+3）2﹣5，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记二次函数图象的平移规律是解题的关键．
4．【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A，∠B的度数，进而得出答案．
【解答】解：∵sinA＝，csB＝，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故选：C．
【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
5．【分析】根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，b＜0．由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
B、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，相矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，相矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，相矛盾，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图象与系数的关系．
6．【分析】首先判断出二次函数的图象开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，2），据此选择正确答案．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴a＝﹣1，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，2），
当x＞1时，y随x的增大而减小，
当x＝1时，抛物线有最大值为2，D选项错误．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键掌握二次函数的开口方向，对称轴以及函数的顶点坐标等，此题难度不大．
7．【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h＝30t﹣5t2的顶点坐标即可．
【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，0≤t≤6，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动3秒时，小球达到最高高度，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质，把实际问题转化成数学问题是解此题的关键．
8．【分析】先将（﹣2，0）代入一次函数解析式y＝ax+b，得到﹣2a+b＝0，即b＝2a，再根据抛物线y＝ax2+bx的对称轴为直线x＝﹣即可求解．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
∴﹣2a+b＝0，即b＝2a，
∴抛物线y＝ax2+bx的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：
点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式；
二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣．
9．【分析】根据图象上点的坐标特征以及二次函数的性质即可判断．
【解答】解：①由x＝2时，y＝4a+2b+c，由图象知：y＝4a+2b+c＞0，故错误；
②抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵﹣＝1，a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∴a+c＝b＞0，故正确；
③∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∵b＝﹣2a，
∴2a+b+c＝c＞0，故正确；
④抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，故错误；
故正确的共有2个，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，属于基础题，关键是正确获取图象信息进行解题．
10．【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC，即可求出．
【解答】解：令x＝0，得：y＝b．
∴C（0，b）．
令y＝0，得：ax2+b＝0，
∴x＝±，
∴A（﹣，0），B（，0），
∴AB＝2，BC＝＝．
要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC，
∴2＝．
∴4×（﹣）＝b2﹣，
∴ab＝﹣3．
∴a，b应满足关系式ab＝﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活应用平行四边形的性质是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
【解答】解：由∠C＝90°，若sinA＝，
得csB＝sinA＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．
12．【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h，此题还考查了配方法求顶点式．
13．【分析】先设顶点式y＝a（x+1）2+6，然后根据二次函数的性质确定a的值即可．
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，6），
∴抛物线解析式可设为y＝a（x+1）2+6，
∵抛物线y＝a（x+1）2+6的形状、开口方向均与抛物线y＝﹣2x2+9x相同，
∴a＝﹣2，
∴所求抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1）2+6．
故答案为：y＝﹣2（x+1）2+6．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
14．【分析】根据抛物线与x轴有两个交点，求出△的取值范围，即可求出k的取值范围．
【解答】解：根据题意知，△＝22﹣4×1×（2k﹣4）＞0，
解得：k＜；
故答案为：k＜．
【点评】此题主要考查了抛物线与x轴交点问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
15．【分析】根据A（﹣4，1），B（2，1）两点可确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，C、D两点与对称轴的远近，判断y1与y2的大小关系．
【解答】解：由抛物线经过A（﹣4，1），B（2，1）知抛物线对称轴为直线x＝﹣1，且a＜0，
∴离对称轴水平距离越小，对应函数值越大，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
16．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，设BD＝5x，AB＝13x，根据勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根据相似三角形的性质得到BE＝x，CE＝x，于是得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵csB＝＝，
设BD＝5x，AB＝13x，
∴AD＝＝12x，
∴BC＝2BD＝10x，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴，
∴＝，
∴BE＝x，CE＝x，
∴＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．【分析】先利用特殊角的三角函数值代入计算，再计算加减即可解答．
【解答】解：
＝
＝
＝1．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质和特殊角的三角函数值，关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．
18．【分析】如图所示，过点C作CD⊥AB于D，先解Rt△DBC得到CD＝6，再解Rt△ADC得到AD＝8，则由勾股定理得到．
【解答】1解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D，
在Rt△DBC中，∠BDC＝90°，∠B＝30°，BC＝12，
∴，
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，，
∴，
∴AD＝8，
∴．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19．【分析】（1）设y＝0，则y＝﹣x2+4＝0，则x＝±2，设x＝0，则y＝4，即可求解；
（2）由S△PAB＝4＝AB×|yP|，得到点P的纵坐标为±2，即可求解．
【解答】解：（1）设y＝0，则y＝﹣x2+4＝0，
∴x＝±2，
设x＝0，则y＝4，
∴A（﹣2，0），C（0，4）；
（2）∵S△PAB＝4＝AB×|yP|，
即4＝4×|yP|，
∴点P的纵坐标为±2，
当y＝2时，代入抛物线有：2＝﹣x2+4，得：x＝±．
当y＝﹣2时，代入抛物线有：﹣2＝﹣x2+4，得：x＝±．
所以点P的坐标为：（，2），（﹣，2），（，﹣2），（﹣，﹣2）．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
20．【分析】（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB＝∠ADC＝90°，再解Rt△ADC，得出DC＝1；解Rt△ADB，得出AB＝3，根据勾股定理求出BD＝2，然后根据BC＝BD+DC即可求解；
（2）先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE＝CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
在△ADC中，∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，AD＝1，
∴DC＝AD＝1．
在△ADB中，∵∠ADB＝90°，sinB＝，AD＝1，
∴AB＝＝3，
∴BD＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝2+1；
（2）∵AE是BC边上的中线，
∴CE＝BC＝+，
∴DE＝CE﹣CD＝+﹣1＝﹣，
∴tan∠DAE＝＝＝﹣．
【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的高、中线的定义，勾股定理，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC＝1，AB＝3是解题的关键．
21．【分析】根据题意得到AB⊥BC，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：由题意可知：AB⊥BC，
在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，
∵tan∠ADB＝tan58°＝，
∴BD＝≈（m），
在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，
∵CD＝70m，
∴BC＝CD+BD＝（70+）m，
∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m），
解得：AB≈37.3m，
答：该建筑物AB的高度约为37.3m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是借助仰角关系结合图形利用三角函数解直角三角形．
22．【分析】（1）滑滑板增加的长度实际是（AD﹣AB）的长．在Rt△ABC中，通过解直角三角形求出AC的长，进而在Rt△ACD中求出AD的长得解；
（2）分别在Rt△ABC、Rt△ACD中求出BC、CD的长，即可求出BD的长，进而可求出改造后滑滑板前方的空地长．若此距离大于等于3米则这样改造安全，反之则不安全．
【解答】解：
（1）在Rt△ABC中，
AC＝AB•sin45°＝4×＝2（米）．
∵∠ABC＝45°，
∴AC＝BC＝2（米）．
在Rt△ADC中，
AD＝＝＝4（米），
AD﹣AB＝4﹣4≈1.66（米）．
∴改善后滑板会加长1.66米；
（2）这样改造能行，理由如下：
∵CD＝＝＝2≈4.898（米），
（或CD＝＝＝＝2（米））
BD＝CD﹣BC＝2﹣2≈4.898﹣2.828≈2.07（米）．
∵6﹣2.07≈3.93＞3，
∴这样改造能行．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．当两个直角三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题的一般思路．
23．【分析】（1）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
＝（x﹣50）（﹣5x+550）
＝﹣5x2+800x﹣27500
所以y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500
＝﹣5（x﹣80）2+4500
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x＝80，
∴当x＝80时，y最大值＝4500；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．
【点评】此题题考查二次函数的实际应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
24．【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2中，即可求解；
（2）求出点C坐标，利用待定系数法即可求出直线AC的解析式；
（3）过点P作PG∥y轴交AC于点G，设P（t，﹣t2﹣t+2），则G（t，t+2），可得S＝﹣（t+）2+，再求解即可．
【解答】解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2中，
∴，
解得．
∴y＝﹣x2﹣x+2；
（2）令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+c，
∴，
解得，
∴直线AC的函数解析式为y＝x+2；
（3）存在点P，使△ACP的面积最大，
如图，过点P作PG∥y轴交AC于点G，
设P（t，﹣t2﹣t+2），则G（t，t+2），
∴PG＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t，
∴S△ACP＝×3×（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∵点P是直线AC上方，
∴﹣3＜t＜0，
∴当t＝﹣时，S有最大值，
此时P（﹣，）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象及性质，待定系数法，熟练掌握二次函数的图象及性质，作出辅助线是解题的关键．
25．【分析】（1）将点A（3，0），B（，）代入y＝ax2+bx，即可求解；
（2）设P（t，t2﹣3t），则N（t，0），M（t，t），可求tan∠MON＝，分两种情况讨论：①当∠NPA＝∠MON时，＝，P（2，﹣2）；②当∠NAP＝∠MON时，＝，P（，﹣）．
【解答】解：（1）将点A（3，0），B（，）代入y＝ax2+bx，
∴，
∴，
∴y＝x2﹣3x；
（2）存在点P，使得△OMN与以点N、A、P为顶点的三角形相似，理由如下；
将点B（，）代入y＝kx，
∴＝k，
∴k＝，
∴y＝x，
设P（t，t2﹣3t），则N（t，0），M（t，t），
∴ON＝t，NM＝t，
∴tan∠MON＝，
∵A（3，0），
∴AN＝3﹣t，
①当∠NPA＝∠MON时，＝，
解得t＝2或t＝3（舍），
∴P（2，﹣2）；
②当∠NAP＝∠MON时，＝，
解得t＝3（舍）或t＝，
∴P（，﹣）；
综上所述：P点坐标为（2，﹣2）或（，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键．