2024年安徽省合肥市长丰县中考数学一模试卷

这是一份2024年安徽省合肥市长丰县中考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列各数中，是正数的是（ ）
A．B．C．0D．﹣5
2．（4分）近日，随着国家管网罗集末站至电厂的阀门缓缓开启，来自中国石油的天然气进入到了安徽省首批天然气调峰电厂——合肥长丰皖能天然气调峰电厂．合肥长丰皖能天然气调峰电厂是安徽省“十四五”电力保障供应重点项目之一，包括2台45万千瓦机组，年使用天然气约3.7亿立方米，年发电量预计19亿千瓦时，数据“19亿”用科学记数法可表示为（ ）
A．1.9×108B．1.9×109C．19×108D．0.19×1011
3．（4分）如图，这是将一个底面为等边三角形的三棱柱切去一个角后的几何体，则该几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
4．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a6B．2a+a2＝3a3
C．a÷a﹣1＝a2D．（a﹣1）2＝a2﹣1
5．（4分）如图，已知直线a∥b，将含30°角的直角三角板按如图所示的方式放置．若∠1＝25°，则∠2的度数为（ ）
A．55°B．50°C．30°D．25°
6．（4分）安徽某景区在今年元旦第一天接待游客5万人次，元旦假期结束后，统计元旦三天共接待游客18.2万人次．设该景区从元旦节第一天到第三天接待游客人次的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．5（1+x）＝18.2
B．5（1+x）2＝18.2
C．5+5x+5x2＝18.2
D．5+5（1+x）+5（1+x）2＝18.2
7．（4分）一组数据：7，5，9，6，9，12．下列关于这组数据的说法错误的是（ ）
A．众数是9B．中位数是9C．平均数是8D．方差是
8．（4分）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BC于点E，若，AB＝10，则AC的长为（ ）
A．12B．10C．D．
9．（4分）已知反比例函数的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象如图所示，则函数y＝x2+bx+k的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
10．（4分）如图，E是线段AB上一点，在线段AB的同一侧分别以AE，BE为斜边做等腰直角△ADE和等腰直角△BCE，F，M分别是CD，AB的中点．若AB＝6，则下列结论错误的是（ ）
A．FA+FB的最小值为
B．FE+FM的最小值为3
C．△CDE周长的最小值为
D．△CDE面积的最大值为
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）函数的自变量x的取值范围是 ．
12．（5分）因式分解：x3y﹣16xy＝ ．
13．（5分）七巧板是我们祖先的一项伟大创造，被誉为“东方魔板”．在一次“美术制作”活动课上，小明用边长为4的正方形纸片制作了如图1所示的七巧板，并设计了一幅作品放入矩形ABCD中（如图2），则AB的长为 ．
14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB是边长为4的等边三角形，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过边OA的中点C．
（1）k＝ ．
（2）若反比例函数y＝的图象与边AB交于点D，则tan∠DOB＝ ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）解不等式组：
16．（8分）某超市购进一批A商品，在销售的过程中发现A商品比较畅销，准备第二次购入．第二次购进A商品的单价比第一次购进的单价贵3元，已知该超市第一次用360元购进A商品的件数与第二次用480元购进A商品的件数相同．问该超市第一次购进A商品的单价是多少元？
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，在由边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点（网格线的交点）．
（1）以点C为旋转中心，将线段AB绕点C旋转180°得到线段A'B'，画出线段A'B'．
（2）平移线段AB得到线段CD，使点B与点C重合，画出线段CD．
（3）用无刻度的直尺画出线段AB的中点M．
18．（8分）如图，第1个图案中“〇”的个数为1×2，“●”的个数为；
第2个图案中“〇”的个数为2×3，“●”的个数为；
第3个图案中“〇”的个数为3×4，“●”的个数为；
…
（1）在第n个图案中，“〇”的个数为 ，“●”的个数为 ．（用含n的式子表示）
（2）根据图案中“●”和“〇”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得第n个图案中“●”的个数是“〇”的个数的．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）如图，点A，B是某条河上一座桥的两端，某数学兴趣小组用无人机从点A竖直上升到点C时，测得点C到桥的另一端点B的俯角为28°，无人机由点C继续竖直上升10米到点D，测得桥的另一端点B的俯角为37°，求桥AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53）
20．（10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CD＝CE，交AD的延长线于点E．
（1）求证：AB＝AE．
（2）若AD＝DE＝2，求CD的长．
六、（本题满分12分）
21．（12分）某校举行体能测试，测试后，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
请你根据统计图信息，解答下列问题．
（1）参加体能测试的学生共有 名；在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角的度数为 ；图中m的值为 ．
（2）补全条形统计图．
（3）等级为D的学生中有4名来自九年级（1）班，这4名学生中有两名是女生．李老师准备从这4名学生中随机选出2名学生，请用画树状图或列表的方法求出所选的学生恰好是一男一女的概率．
七、（本题满分12分）
22．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝OC，连接BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）P是抛物线上位于BC下方的一动点，且点P的横坐标为t．
①求△AOP的最大面积．
②是否存在一点P，使若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
八、（本题满分14分）
23．（14分）在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC平分∠BAD，连接BD交AC于点E．
（1）如图1，求证：．
（2）如图2，AC2＝AB．AD，F是AD的中点，且BF⊥AD，BF与AC交于点G，连接DG，CF．
①求证：△BCF∽△GCD．
②若，求sin∠GDC的值．
2024年安徽省合肥市长丰县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．【分析】根据大于0的数是正数，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵＞0，
∴是正数，
故A符合题意；
B、∵﹣＜0，
∴﹣是负数，
故B不符合题意；
C、0既不是正数，也不是负数，故C不符合题意；
D、∵﹣5＜0，
∴﹣5是负数，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了实数，熟练掌握大于0的数是正数是解题的关键．
2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：19亿＝1900000000＝1.9×109．
故选：B．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．【分析】根据几何体三视图的判断方法解答．
【解答】解：这个几何体的俯视图为，
故选：B．
【点评】此题考查了简单几何体的三视图的判断，正确理解俯视图为从上方看物体是解题的关键．
4．【分析】利用同底数幂相乘、相除的运算法则及完全平方公式进行计算即可逐一判断．
【解答】解：A．a3•a2＝a5，故本选项不符合题意；
B.2a+a2不能合并同类项，故本选项不符合题意；
C．a÷a﹣1＝a×a＝a2，故本选项符合题意；
D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘除法、合并同类项、负整数指数幂及完全平方公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
5．【分析】由平行线的性质得到∠2＝∠1+∠3，而∠1＝25°，∠3＝30°，即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠2＝∠1+∠3，
∵∠1＝25°，∠3＝30°，
∴∠2＝25°+30°＝55°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
6．【分析】设游客每月的平均增长率为x，根据元旦第一天及元旦三天接待游客人次数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设接待游客人次每月的平均增长率为x，
根据题意可列方程为5+5（1+x）+5（1+x）2＝18.2，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
7．【分析】将数据重新排列，再依据众数、中位数、算术平均数及方差的定义求解即可．
【解答】解：这组数据重新排列为5，6，7，9，9，12，
所以这组数据的众数为9，中位数为＝8，
平均数为×（5+6+7+9+9+12）＝8，
方差为[（5﹣8）2+（6﹣8）2+（7﹣8）2+2×（9﹣8）2+（12﹣8）2]＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、中位数、算术平均数及方差的定义．
8．【分析】根据菱形的性质得出AB＝BC＝10，根据余弦定义求出BE＝6，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝10，
∴AB＝BC＝10，
∵AE⊥BC于点E，
∴cs∠ABC＝＝，
∴BE＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝4，AE＝＝＝8，
∴AC＝＝＝4，
故选：C．
【点评】此题考查了菱形的性质、解直角三角形，解直角三角形求出BE是解题的关键．
9．【分析】根据图示可知k＞0，b＞0，据此判断函数y＝x2+bx+k的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴相交即可．
【解答】解：由图象可知，k＞0，b＞0，
∴函数y＝x2+bx+k的图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴相交．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关函数的图象与性质是关键．
10．【分析】如图，延长AD，BC交于点P，过点F作直线l∥AB．根据△ADE和△BCE分别是以AE，BE为斜边的等腰直角三角形，得出∠DEA＝∠CEB＝45°，∠ADE＝∠BCE＝90°，则∠DEC＝90°，推出四边形PDEC是矩形．根据F是CD的中点，得出F是PE的中点．因为直线l∥AB，所以直线l是△PAB的中位线，且点F在直线l上运动．作点A关于直线l的对称点A'；连接 A'；B，则FA+FB＝FA'+FB≥A'；B 当 A'；，F，B三点共线时，FA+FB最小．根据勾股定理 A′B＝＝＝3，故A正确；连接PF，PM，当 PE⊥AB时，即点E与点M重合时，FE+FM最小．因为△PAB是等腰直角三角形，推出PF+FM≥PM＝3，故B正确；得出四边形PDEC是矩形，得出PD＝CE，得出△CDE的周长为DE+CE+CD＝PA+PE．所以PE的最小值为3，，得出△CDE的周长的最小值为，故C正确；设AD＝x，则，根据∠DEC＝90°，求出S△DAC＝DE•CE＝x•（3﹣x），当 时，S△DEC有最大值，最大值为，
【解答】解：如图，延长AD，BC交于点P，过点F作直线l∥AB．
∵△ADE和△BCE分别是以AE，BE为斜边的等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠BCE＝90°，∠DEA＝∠CEB＝45°，
∴∠DEC＝90°，
∴四边形PDEC是矩形．
∵F是CD的中点，
∴F是PE的中点．
∵直线l∥AB，
∴直线l是△PAB的中位线，且点F在直线l上运动．
作点A关于直线l的对称点A'；
连接 A'B，则FA+FB＝FA'+FB≥A'B，当 A'，F，B三点共线时，FA+FB最小．
∵AB＝6，∠PAB＝∠PBA＝45°，
∴AA′＝＝3，
在Rt△A′AB中，A′B＝＝＝3，故A正确；
连接PF，PM，当 PE⊥AB时，即点E与点M重合时，FE+FM最小．
∵△PAB是等腰直角三角形，
∴PF+FM≥PM＝3，故B正确；
∵四边形PDEC是矩形，
∴CE＝PD，
∴△CDE的周长为＝DE+CE+CD＝PA+PE．
∵PE的最小值为3，，
∴△CDE的周长的最小值为 ，故C正确；
设AD＝x，则，
∵∠DEC＝90°，
∴S△DAC＝DE•CE＝x•（3﹣x），
当 时，S△DEC 有最大值为，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称—最短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识的运用．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
【解答】解：依题意，得2﹣x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12．【分析】先提取公因式，后用公式法分解即可．
【解答】解：x3y﹣16xy
＝xy（x2﹣16）
＝xy（x﹣4）（x+4）．
故答案为：xy（x﹣4）（x+4）．
【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式，公式法分解因式是解题的关键．
13．【分析】由七巧板的切割方法可推出AE、EF、FH、HB的长，从而得出AB的长．
【解答】如图，由七巧板的切割方法可知，EF＝＝，
∵AE等于以EF为腰的等腰直角三角形底边上的高，
∴，
FH＝4×＝，HB＝2，
∴AB＝AE+EF+FH+HB＝1+＝3+3．
故答案为：3+3．
【点评】本题考查了正方形的性质，七巧板的特征，熟记七巧板的切割方法是解题的关键．
14．【分析】（1）根据反比例函数k值的几何意义，求出三角形OCF面积即可得到k值；
（2）先求出直线AD解析式，联立方程组解出点D的坐标，再根据三角函数求出tan∠DOB即可．
【解答】解：（1）如图，作AE⊥x轴，CF⊥x轴，垂足分别为E、F，
∵△OAB为等边三角形，
∴OE＝2，AE＝2，
∴S△OAE＝＝2，
∵C是OA的中点，
∴，
∴，
∴S△OCF＝，
∵k＝2S△OCF＝×2＝，
故答案为：；
（2）设直线AD的解析式为 y＝mx+n．
根据题意，得点 ，B（4，0），
∴，
解得：，
∴直线AD的解析式为 y＝﹣，
联立，得，
解得 x＝2+ 或 x＝2﹣（舍去），
∴点 ，
∴tan∠DOB＝﹣12．
故答案为：（1）；（2）7﹣12．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解答本题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式2x+7≤3x+10，得x≥﹣3，
解不等式＜﹣1，得x＜﹣1，
故不等式组的解集为﹣3≤x＜﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．【分析】设该超市第一次购进A商品的单价是x元，则第二次购进A商品的单价是（x+3）元，根据该超市第一次用360元购进A商品的件数与第二次用480元购进A商品的件数相同．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设该超市第一次购进A商品的单价是x元，则第二次购进A商品的单价是（x+3）元，
根据题意得：，
解得：x＝9，
经检验，x＝9 是原方程的解，且符合题意，
答：该超市第一次购进A商品的单价是9元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．【分析】（1）利用中心对称变换的性质分别作出A，B的对应点A'，B'即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点D，C即可；
（3）由矩形的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，由中心对称变换的性质分别作出A，B的对应点A'，B'，则线段A'B'即为所求．
（2）如图，由平移的性质得线段CD即为所求；
（3）如图，点M即为所求．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，坐标与图形变化﹣旋转，矩形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．【分析】（1）根据所给图形，发现“●”和“〇”个数变化的规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
第1个图案中“〇”的个数为1×2，“●”的个数为；
第2个图案中“〇”的个数为2×3，“●”的个数为；
第3个图案中“〇”的个数为3×4，“●”的个数为；
…，
所以第n个图案中“〇”的个数为n（n+1），“●”的个数为；
故答案为：n（n+1），．
（2）由题知，
，
解得n＝﹣1或6，
因为n为正整数，
所以n＝6．
故正整数n的值为6．
【点评】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现“●”和“〇”个数变化的规律是解题的关键．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．【分析】根据题意可得：DE∥CF∥AB，从而可得∠ABC＝∠FCB＝28°，∠ABD＝∠EDB＝37°，然后分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AC和AD的长，最后列出关于AB的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：DE∥CF∥AB，
∴∠ABC＝∠FCB＝28°，∠ABD＝∠EDB＝37°，
在Rt△ABC中，AC＝AB•tan28°≈0.53AB（米），
在Rt△ABD中，AD＝AB•tan37°≈0.75AB（米），
∵DC＝10米，
∴AD﹣AC＝10，
∴0.75AB﹣0.53AB＝10，
解得：AB≈45.5，
∴桥AB的长约为45.5米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
20．【分析】（1）根据圆的性质求出∠BAC＝∠EAC，根据等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质及邻补角定义求出∠B＝∠E，利用AAS证明△ABC≌△AEC，根据全等三角形的性质即可得解；
（2）根据圆周角定理求出BD是⊙O的直径，则∠BCD＝90°，再根据勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AC．
∵BC＝CD，
∴，
∴∠BAC＝∠EAC，
∵CD＝CE，
∴∠E＝∠CDE，BC＝CE，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDE+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠CDE，
∴∠B＝∠E，
在△ABC与△AEC中，
，
∴△ABC≌△AEC（AAS），
∴AB＝AE；
（2）解：如图，连接BD．
∵∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
由（1）可得AB＝AE．
∵AD＝DE＝2，
∴AE＝AB＝4．
在 Rt△ABD 中，，
在Rt△BCD中，．
【点评】此题考查了圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21．【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得参加体能测试的学生人数；用360°乘以D等级的学生人数所占的百分比，即可得出答案；求出扇形统计图中C的百分比，即可得m的值．
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及所选的学生恰好是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）参加体能测试的学生共有30÷15%＝200（名）．
在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角的度数为360°×＝72°．
∵m%＝×100%＝40%，
∴m＝40．
故答案为：200；72°；40．
（2）等级B的人数为200﹣（30+80+40）＝50（人）．
补全条形统计图如图所示．
（3）将2名男生分别记为A，B，两名女生分别记为C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的学生恰好是一男一女的结果有：AC，AD，BC，BD，CA，CB，DA，DB，共8种，
∴所选的学生恰好是一男一女的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
七、（本题满分12分）
22．【分析】（1）可求得C（0，﹣3），利用待定系数法即可得抛物线的解析式．
（2）①由题意得P（t，t2﹣2t﹣3），根据S△AOP＝AO•|t2﹣2t﹣3|＝（﹣t2+2t+3）＝﹣（t﹣1）2+2，根据二次函数的性质即可得△AOP的最大面积．
②由S四边形ACPB＝S△ABC，可得S△BCP＝S△ABC＝××4×3＝3，过点P作 PQ⊥x轴，交BC于Q，则Q（t，t﹣3），根据三角形的面积公式求出t的值，即可求解．
【解答】解：（1）∵点B（3，0），OB＝OC，且点C在y轴负半轴，
∴点C（0，﹣3）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx﹣3．
将点A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）①∵P是抛物线上位于BC下方的一动点，且点P的横坐标为t．
∴P（t，t2﹣2t﹣3），
∵S△AOP＝AO•|t2﹣2t﹣3|＝（﹣t2+2t+3）＝﹣（t﹣1）2+2，
∴当t＝1时△AOP的最大面积为2．
②∵S四边形ACPB＝S△ABC＝S△ABC+S△BCP，
∴S△BCP＝S△ABC＝××4×3＝3，
过点P作 PQ⊥x轴，交BC于Q，
∵P（t，t2﹣2t﹣3），
∴Q（t，t﹣3），
∴PQ＝t﹣3﹣t2+2t+3＝﹣t2+3t，
∴S△BCP＝×3（﹣t2+3t）＝3，
解得t＝1或2，
∴存在，t的值为1或2．
【点评】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，二次函数图象的性质，掌握待定系数法是解题的关键．
八、（本题满分14分）
23．【分析】（1）过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AD于点N．证出EM＝EN．由三角形面积可得出结论；
（2）①证明△DAC∽△CAB，得出∠ACD＝∠ABC＝90°．证出∠BCF＝∠GCD，由相似三角形的判定可得出结论；
②设AB＝5x，AD＝6x，由勾股定理求出BC和BF，由相似三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：如图，过点E作EM⊥AB于点M，EN⊥AD于点N．
∵AC平分∠BAD，
∴EM＝EN．
∴，
∴．
（2）①证明：∵AC2＝AB•AD，
∴．
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴△DAC∽△CAB，
∴∠ACD＝∠ABC＝90°．
∵BF⊥AD，
∴∠GFD＝90°，
∴G，F，D，C四点共圆，
∴∠GFC＝∠GDC，
∵F是AD的中点，∠ACD＝90°，
∴FA＝FC，
∴∠FAC＝∠FCA＝∠BAC．
∵∠BAC+∠BCA＝90°
∴∠FCA+∠BCA＝90°，即∠BCF＝90°，
∴∠BCF＝∠GCD，
∵∠BFC＝∠GDC，
∴△BCF∽△GCD；
②解：∵，
∴设AB＝5x，AD＝6x，
则．
在Rt△ABC中，，
∵F是AD的中点，
∴．
在Rt△ABF中，．
由①可得△BCF∽△GCD，
∴∠BFC＝∠GDC，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，四点共圆，锐角三角函数的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．