2024年山东省济南市历城区中考数学质检试卷（3月份）

这是一份2024年山东省济南市历城区中考数学质检试卷（3月份），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）下列实数：﹣1，0，，﹣其中最小的是（ ）
A．﹣1B．0C．D．﹣
2．（4分）2023年济南（泉城）马拉松于10月29日成功举办．图①是此次泉城马拉松男子组颁奖现场示意图．图②是领奖台的示意图，则此领奖台的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（4分）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十七号的飞行速度约为450000米/分．把“4500000“用科学记数法表示应为（ ）
A．4.5×105B．4.5×106C．45×104D．0.45×106
4．（4分）如图，已知a∥b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1＝20°，则∠2等于（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
5．（4分）二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反应季节的变化，指导农事活动．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则b﹣a的结果可能是（ ）
A．﹣1B．1C．2D．3
7．（4分）春节期间，琪琪和乐乐分别从如图所示的三部春节档影片中随机选择一部观看，则琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．（4分）小明在化简分式的过程中，因为其中一个步骤的错误，导致化简结果是错误的，小明开始出现错误的那一步是（ ）
原式＝…①
＝…②
＝…③
＝2…④
A．①B．②C．③D．④
9．（4分）如图，∠MON＝60°，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B；分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，画射线OP；连接AB，AP，BP，过点P作PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，则以下结论错误的是（ ）
A．△AOB是等边三角形B．PE＝PF
C．△PAE≌△PBFD．S△AOB＝S△APB
10．（4分）定义：在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若点P（a，b）满足，我们把点P称作“半分点”，例如点（﹣3，﹣6）与都是“半分点”．有下列结论：
①一次函数y＝3x﹣2的图象上的“半分点”是（2，4）；
②若双曲线上存在“半分点”（t，4），且经过另一点（m+2，m），则m的值为2；
③若关于x的二次函数y＝x2﹣2x+n的图象上恰好有唯一的“半分点”P，则n的值为4；
④若点P（2，4）是二次函数y＝mx2﹣2x+n的半分点，若点Q的坐标为（m，n），则OQ的最小值为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分）分解因式：a2﹣4b2＝ ．
12．（4分）如图，假设可以随意在两个完全相同的正方形拼成的图案中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是 ．
13．（4分）已知一元二次方程x2﹣3x+m＝0的一个根为x1＝1，则另一个根x2＝ ．
14．（4分）大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能以小数形式全部写出来，因为的整数部分是1，于是可以用表示的小数部分．类似的，的小数部分可以表示为 ．
15．（4分）如图是某市出租车的所付车费与乘车里程之间的关系图象，分别由线段AB，BC和射线CD组成．如果小明同学乘坐出租车5km付车费14元，那么张老师乘坐出租车里程是11km．他应该付的车费是 元．
16．（4分）如图，矩形ABCD中AB＝4，BC＝6，点E为AD上一动点，连接CE，将△DCE沿CE翻折得到△FCE，连接BF，点G为BF的中点，连接AG，则线段AG的最小值为 ．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：|﹣3|．
18．（6分）解一元一次不等式组：，并写出它的所有正整数解．
19．（6分）如图，菱形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，AF＝CE，求证：AE＝CF．
20．（8分）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理和分析．下面给出了部分信息：
收集数据：甲校成绩在70≤x＜80这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78
整理数据：甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下：
分析数据：甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）m＝ ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在70≤x＜80这一组的扇形的圆心角是 度：本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）；
（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）；
（3）甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩达到75分（≥75分）可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数．
21．（8分）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．
（1）求登山缆车上升的高度DE；
（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．
（参考数据：sin53°≈0.80，cs53°≈0.60，tan53°≈1.33）
22．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，过点E作⊙O的切线与AB的延长线交于点F，且∠AFE＝∠ABC．
（1）求证：∠CAB＝2∠EAB；
（2）若BF＝1，，求BC的长．
23．（10分）某学校举行“书香校园”读书活动，九年级计划购买A，B两种图书共300本，其中A种图书每本20元，B种图书每本30元．
（1）若购进A，B两种图书刚好花费8000元，求A，B两种图书分别购买了多少本．
（2）若购买B种图书的数量不少于A种图书的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最少，并求出该购买方案所需总费用．
24．（10分）直线l1：y＝kx+b分别与x轴，y轴交于点D、C，与反比例函数的图象交于点A（1，3）、B（3，m）．
（1）求a的值及直线l1的解析式；
（2）连接AO，若在射线DO上存在点E，使，求点E的坐标；
（3）如图2，将反比例函数的图象沿直线l1翻折得到一个封闭图形（图中阴影部分），若直线l2：y＝﹣x+t与此封闭图形有交点，请直接写出满足条件的t的取值范围．
25．（12分）（1）【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E．在同一直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为 ；②∠BEC＝ °．
（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一直线上．请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．
（3）【解决问题】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，，将△ADE绕点A旋转，当点B，D，E三点在同一直线上时，求点C到直线DE的距离．
26．（12分）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（1，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第四象限内抛物线上的点，直线BP与DE交于点Q，当时，求点P的坐标；
（3）坐标轴上是否存在点F，使得∠DEF＝75°，若存在，请求出点F的坐标；若不存在．请说明理由．
2024年山东省济南市历城区中考数学质检试卷（3月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，
∴1＞，
∴﹣1＜﹣，
在﹣1，0，，﹣这四个数中，
∵﹣1＜﹣＜0＜，
∴最小的数是﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的大小比较，算术平方根，熟练掌握两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
2．【分析】根据主视图是从几何体的正面观察得到的视图进行判断即可．
【解答】解：领奖台从正面看，是由三个矩形组成的，右边的矩形是最低的，中间的矩形是最高的，
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握三视图的特征是解题的关键，熟知主视图是从几何体的正面观察得到的视图．
3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：450000＝4.5×105，
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．【分析】根据角的和差求出∠BAD＝110°，根据平行线的性质求解即可．
【解答】解：如图，
∵∠CAD＝90°，∠1＝20°，
∴∠BAD＝20°+90°＝110°，
∵a∥b，
∴∠BAD+∠2＝180°，
∴∠2＝70°，
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
5．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项D中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
6．【分析】先算出b﹣a的取值范围，再用排除法，即可得出结果．
【解答】解：∵0＜b＜1，﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜﹣a＜2，
∴1＜b﹣a＜3，
而﹣1，1，2，3四个数中只有2在b﹣a的取值范围内，
故选：C．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟练算出b﹣a的取值范围是解题的关键．
7．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中琪琪和乐乐选择的影片相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把三部影片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中琪琪和乐乐选择的影片相同的结果有3种，
∴琪琪和乐乐选择的影片相同的概率为＝，
故选：B．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．【分析】根据分式的加法法则计算，判断即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝﹣2，
∴小明开始出现错误的那一步是第④步，
故选：D．
【点评】本题考查的是分式的化简，掌握分式的加减混合运算法则是解题的关键．
9．【分析】利用等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，和菱形的判定定理对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：∵以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OM于点A，交ON于点B，
∴OA＝OB，
∵∠MON＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴A的结论正确，不符合题意；
∵分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧在∠MON的内部相交于点P，
∴PA＝PB，
在△OPA和△OPB中，
，
∴△OPA≌△OPB（SSS），
∴∠POA＝∠POB．
∵PE⊥OM，PF⊥ON，
∴PE＝PF．
∴B的结论正确，不符合题意；
∵PE⊥OM，PF⊥ON，
∴∠PEA＝∠PFB＝90°．
在Rt△PAE和Rt△PBF中，
，
∴Rt△PAE≌Rt△PBF（HL）．
∴C的结论正确，不符合题意；
由作图过程可知：OB与PB不一定相等，
∴四边形OAPB不一定是菱形，
∴S△AOB不一定等于S△APB．
∴D的结论错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，基本作图和菱形的判定定理，利用基本作图的过程得出线段相等的条件是解题的关键．
10．【分析】①依据题意，设一次函数y＝3x﹣2的图象上的“半分点”为（a，3a﹣2），根据定义可得3a﹣2＝2a，求出a的值即可求解判断；
②先求t的值，再把（2，4）代入y＝求k的值，确定反比例函数的解析式后，由m（m+2）＝8可求m的值；
③联立，整理得：x2﹣4x+n＝0，又抛物线y＝x2﹣2x+n（m，n均为常数）上恰好有唯一的“半分点”，从而方程x2﹣4x+n＝0有两个相等的实数根，进而计算可以得解；
④依据题意，由点P（2，4）是二次函数y＝mx2﹣2x+n的半分点，从而可得n＝8﹣4m，再结合Q的坐标为（m，n），可得OQ＝＝＝，又对于函数y＝17m2﹣64m+64，当m＝﹣＝时，y有最大值为＝，进而可以判断OQ有最小值为，故可判断得解．
【解答】解：①由题意，设一次函数y＝3x﹣2的图象上的“半分点”为（a，3a﹣2），
∴3a﹣2＝2a．
∴a＝2．
∴“半分点”为（2，4）．
故①正确．
②∵点（t，4）为反比例函数y＝图象上的“半分点”，
∴t＝2．
把（2，4）代入y＝得：k＝8．
∴y＝．
∵双曲线经过（m+2，m）
∴m（m+2）＝8，
解得：m1＝2，m2＝﹣4，
∴m的值为2或﹣4．
故②错误．
③联立，
整理得：x2﹣4x+n＝0，
∵抛物线y＝x2﹣2x+n（m，n均为常数）上恰好有唯一的“半分点”，
∴方程x2﹣4x+n＝0有两个相等的实数根．
∴Δ＝（﹣4）2﹣4n＝0，
∴n＝4．
故③正确．
④由题意，∵点P（2，4）是二次函数y＝mx2﹣2x+n的半分点，
∴4m﹣4+n＝4．
∴n＝8﹣4m．
又Q的坐标为（m，n），
∴OQ＝＝＝．
∵对于函数y＝17m2﹣64m+64，当m＝﹣＝时，y有最大值为＝，
∴OQ有最小值为．
故④错误．
综上，正确的有①③，共2个．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11．【分析】直接用平方差公式进行分解．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【解答】解：a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：（a+2b）（a﹣2b）．
【点评】本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
12．【分析】先设小正方形边长为a，求出阴影部分面积，再根据几何概率的求法即可得出答案．
【解答】解：设小正方形边长为a，则阴影部分面积为2a2，
图案总面积8a2﹣a2＝7a2，
因此这个点取在阴影部分的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
13．【分析】根据根与系数的关系得：x2+1＝3，求出即可．
【解答】解：则根据根与系数的关系得：
x1+x2
＝1+x2
＝
＝3，
解得：x2＝2，
即方程的另一个根为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根时，那么，．
14．【分析】先估算的大小，再求出它的整数部分和小数部分即可．
【解答】解：∵，即，
∴的整数部分是2，小数部分是，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小．
15．【分析】利用待定系数法求出CD段的函数解析式，再把x＝11代入求解即可．
【解答】解：设CD段的函数解析式为y＝kx+b，
把C（10，24），D（12，30）代入得：，
解得，
∴CD段的函数解析式为y＝3x﹣6，
当x＝11时，y＝11×3﹣6＝27．
∴张老师应该付的车费是27元．
故答案为：27．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确求出对应的一次函数解析式是解题的关键．
16．【分析】延长BA到H，使AH＝AB＝4，连接CH，求出CH＝＝10，根据将△DCE沿CE翻折得到△FCE，可得CF＝CD＝AB＝4，故当H，F，C共线时，FH最小，FH的最小值为CH﹣CF＝6；由AG是△BHF的中位线，即可得AG的最小值为3．
【解答】解：延长BA到H，使AH＝AB＝4，连接CH，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴CH＝＝＝10，
∵将△DCE沿CE翻折得到△FCE，
∴CF＝CD＝AB＝4，
当H，F，C共线时，FH最小，FH的最小值为CH﹣CF＝10﹣4＝6；
∵点G为BF的中点，AH＝AB，
∴AG是△BHF的中位线，
∴AG＝HF，
∴AG的最小值为×6＝3；
故答案为：3．
【点评】本题考查矩形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质和矩形的性质，构造三角形中位线解决问题．
三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：|﹣3|
＝3﹣2×﹣2+2
＝3﹣1﹣2+2
＝2．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+3（x﹣2）≤6，得：x≤3，
解不等式x﹣1＜，得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤3．
所有正整数解有：1、2、3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．【分析】解法一：由菱形的性质和已知可得AD＝CD，DF＝DE，再证明△ADE≌△CDF（SAS）即可；
解法二：连接AC，由菱形的性质可得DA＝DC，根据等边对等角得出∠DAC＝∠DCA，再证明△ACE≌△CAF（SAS）即可．
【解答】证明：解法一：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
又∵AF＝CE，
∴AD﹣AF＝CD﹣CE，
∴DF＝DE，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴AE＝CF．
解法二：
连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
在△ACE和△CAF中，
，
∴△ACE≌△CAF（SAS），
∴AE＝CF．
【点评】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，运用了一题多解的思路．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
20．【分析】（1）根据频数分布表以及中位数的定义即可得到m的值；根据乙校成绩在70≤x＜80这一组的频数所占比例即可求解；根据方差的意义即可求解．
（2）根据这名学生的成绩74分，小于甲校样本数据的中位数76分，大于乙校样本数据的中位数72.5分可得．
（3）利用样本估计总体思想求解即可．
【解答】解：（1）把甲校40名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是72，73，故中位数m＝．
乙校成绩在70≤x＜80这一组的扇形的圆心角是．
由于甲校的成绩的方差47.5＞乙校的成绩的方差23.6，
所以本次测试成绩更整齐的是乙校．
故答案为：72.5；135°；乙．
（2）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是甲校的学生．
理由：甲校的中位数是72.5，乙校的中位数是76＞72.5．
故答案为：甲．
（3）估计甲校能参加第二轮比赛的人有：＝240（人）．
【点评】本题考查频数分布表，扇形统计图，中位数，方差，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．【分析】（1）根据直角三角形的边角关系求出BM，进而求出DE即可；
（2）利用直角三角形的边角关系，求出BD的长，再根据速度、路程、时间的关系进行计算即可．
【解答】解：（1）如图，过点B作BM⊥AF于点M，由题意可知，∠A＝30°，∠DBE＝53°，DF＝600m，AB＝300m，
在Rt△ABM中，∠A＝30°，AB＝300m，
∴BM＝AB＝150m＝EF，
∴DE＝DF﹣EF＝600﹣150＝450（m），
答：登山缆车上升的高度DE为450m；
（2）在Rt△BDE中，∠DBE＝53°，DE＝450m，
∴BD＝
≈
＝562.5（m），
∴需要的时间t＝t步行+t缆车
＝+
≈19.4（min），
答：从山底A处到达山顶D处大约需要19.4分钟．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
22．【分析】（1）连接OE，则∠EOF＝2∠EAB，可证明△OFE∽△ABC，得∠EOF＝∠CAB，所以∠CAB＝2∠EAB；
（2）由＝sin∠ABC＝sin∠AFE＝＝，得OE＝OF，AC＝AB，而BF＝1，OE＝OB，所以OB＝（OB+1），求得OB＝4，则AB＝8，所以BC＝＝AB＝．
【解答】（1）证明：连接OE，则∠EOF＝2∠EAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵EF与⊙O相切于点E，
∴EF⊥OE，
∴∠OEF＝∠C＝90°，
∵∠AFE＝∠ABC，
∴△OFE∽△ABC，
∴∠EOF＝∠CAB，
∴∠CAB＝2∠EAB．
（2）解：∵∠OEF＝∠C＝90°，∠AFE＝∠ABC，
∴＝sin∠ABC＝sin∠AFE＝＝，
∴OE＝OF，AC＝AB，
∵BF＝1，OE＝OB，
∴OB＝（OB+1），
解得OB＝4，
∴AB＝2×4＝8，
∴BC＝＝＝AB＝×8＝，
∴BC的长是．
【点评】此题重点考查圆周角定理、切线的性质定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．【分析】（1）设购买了A种图书x本，B种图书y本，根据题意列方程组解答即可；
（2）设购买A种图书a本，则购买B种图书（300﹣a）本，根据题意列不等式求出a的取值范围；设购买两种图书的总费用为w元，根据题意求出w与a 的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设购买了A种图书x本，B种图书y本，根据题意，得：
，
解得，
答：购买了A种图书100本，B种图书200本；
（2）设购买A种图书a本，则购买B种图书（300﹣a）本，
根据题意，得300﹣a≥a，
解得a≤150，
∴0＜a≤150，且a为整数，
设购买两种图书的总费用为w元，
则w＝20a+30×（300﹣a）＝﹣10a+9000，
∵﹣10＜0，
∴w随a的增大而减小，
∴当a＝150时，w取最小值，最小值为7500元，
此时300﹣a＝150，
答：当购买A、B两种图书各150本时，所需总费用最小，为7500元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组或不等式组是解此题的关键．
24．【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数，可得a，进一步利用反比例函数的解析式求得点B，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
（2）依据题意，画出图形，根据面积可以得解；
（3）根据题意分析出l2是平行于l2的动直线，求出与y＝切于点G，再借助于G、H关于点E对称，得到CE＝CF，求出过点G、点H时的t的值，即可得解．
【解答】解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数，
∴将点A的坐标代入，得，
∴a＝3，
∴反比例函数为y＝（x＞0），
又∵B（3，m）在反比例函数y＝，
∴m＝1，即B（3，1），
∵点A（1，3），B（3，1）在直线y＝kx+b上
∴，
∴直线l1的解析式为y＝﹣x+4；
（2）∵直线l1为 y＝﹣x+4，
∴C（0，4）．
∵，
∴，
设E（d，0），
如图，E在射线DO上，此时可得E必在x轴负半轴，d＜0，
∴S△AOE+S△ACE＝S△COE+S△AOC．
∴，
∴d＝﹣2．
∴E（﹣2，0）；
（3）依据题意，直线l2：y＝﹣x+t平行于直线l1，
l2与封闭图形有交点，l2下端与y＝相切于点G，上端相切于翻折后的曲线于点H，
G、H关于点E对称，即有E为HG的中点．
由题意，，
∴x2﹣tx+3＝0．
∵相切，
∴Δ＝t2﹣12＝0．
∴t＝2（负数舍去）．
∴此时y＝﹣x+2．与y轴的交点E为（0，2），
∵C（0，4），
∴CE＝4﹣2，
∴CF＝4﹣2，OF＝4+4﹣2＝8﹣2，
∴此时y＝﹣x+8﹣．与y轴的交点F为（0，8﹣），
∴．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质的应用，解题时需要熟练掌握并能灵活运用．
25．【分析】（1）首先根据△ACB和△DAE均为等边三角形，可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，据此判断出∠BAD＝∠CAE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；
（2）首先根据△ACB和△ADE均为等腰直角三角形，可得AC＝BC，DE＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；
（3）分两种情形：B，D，E共线，B，E，D共线，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，
∵点B，D，E在同一直线上，
∴∠ADB＝180﹣60＝120°，
∴∠AEC＝120°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°，
综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE．
②∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°；
故答案为：BD＝CE；60；
（2），∠BEC＝45°．证明如下：
∵△ACB和△AED均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，∠DAE＝∠BAC＝45°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
∵
∴△BAD∽△CAE，
∴∠AEC＝∠ADB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠BEC＝135°﹣90°＝45°，
∴
∴BD＝CE；
（3）分两种情况：
情况一：如图1，由题意可知在直角△ABC和直角△ADE 中，∠BAC＝∠DAE＝60°，
，
，
∴DE＝3，
∵B，D，E共线，
∴△ABE为直角三角形，
由勾股定理得：，
∴BD＝BE﹣DE＝5﹣3＝2，
由（1）（2）得：△ABD∽△ACE，
，∠ABD＝∠ACE，
∴CE＝1；A，B，C，E 四点共圆，
作CM⊥BE垂足为M，
∴∠MEC＝∠BAC＝60°，
在直角三角形MEC中，CE＝1，∠MEC＝60°，
∴，即点C到直线DE的距离为 ；
情况二：如图2，B，E，D共线时，
同理可得，即点C到直线DE的距离为；
综上可得：C到直线DE的距离为或．
【点评】本题考查几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
26．【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）用解直角三角形的方法求出，得到直线DE函数表达式为 ，得到，利用△HPQ∽△EBQ即可求解；
（3）当F在x轴上时，通过画图得到∠DEF＝∠DFE，则，即可求解；当F在y轴上时，同理可解．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴交x轴于点D（1，0），
∴抛物线 的对称轴为直线x＝1＝﹣①，
∵点A（﹣1，0）在抛物线，则，
由①②联立方程组，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）设DE交y轴于G，过P作 PH∥BE交DE于H，如图：
在 中，令x＝0得 ，
∴，
∴，
∵OD＝1，
则，
∴，
∴∠OCD＝30°，
∵DE⊥CD，
∴，即 ，
∴，
∴，
则，
由点D、G的坐标得，直线DG函数表达式为 ；
令；
解得 x＝﹣1或3，
∴B（3，0），
在 中，
令x＝3 得，
∴E（3，﹣），
∴，
设：，则 ，
∴，
∵PH∥BE，
∴△HPQ∽△EBQ，
则，
解得：m＝0或1，
又∵P为第四象限抛物线上的点，
∴P（1，﹣）；
（3）坐标轴上存在点F，使得∠DEF＝75°，理由如下：
当F在x轴上时，如图：
由（2）知，∠OCD＝30°，，D（1，0），
则∠ODC＝60°，，
则∠CDE＝90°，
∴∠EDF＝30°，
∵∠DEF＝75°，
∴∠DFE＝180°﹣∠EDF﹣∠DEF＝75°，
∴∠DEF＝∠DFE，
则，
则，
点；
当F在y轴上时，过E作 ET⊥y轴于T，如图：
∵ET∥OB，
∴∠DET＝∠BDE＝30°
∵∠DEF＝75°
∴∠TEF＝∠DEF﹣∠DET＝45°
∴△ETF 是等腰直角三角形，
∴TF＝TE，
∵E，
则OT＝，TE＝3＝TF，
∴，
∴F，
综上所述，F的坐标为 或 ．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形、等腰直角三角形的性质等，综合性强，难度适中．
组别
50≤x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
甲
4
11
13
10
2
乙
6
3
15
14
2
统计量
平均数
众数
中位数
方差
甲
74.5
86
m
47.5
乙
73.1
84
76
23.6