2024年河南省洛阳市宜阳县、安阳市滑县中考数学一模试卷

这是一份2024年河南省洛阳市宜阳县、安阳市滑县中考数学一模试卷，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）春节假期，我国文化和旅游市场安全繁荣有序，出游人次和出游总花费等多项指标均创历史新高．据初步统计，国内游客出游总花费为6326.87亿元亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A．6.32687×1012B．63.2687×1010
C．6.32687×1011D．632687×108
3．（3分）一个正方体的每个面上都写有一个汉字，如图是该正方体的展开图，则与汉字“好”相对的汉字是（ ）
A．中B．国C．故D．事
4．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．53＝15B．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6
C．D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
5．（3分）如图，△APB是⊙O的内接三角形，直径CD⊥AB于点E．如果，∠P＝60°，那么CE的长为（ ）
A．10B．C．15D．5
6．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣2B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝﹣2D．（x+2）2＝4
7．（3分）“龙门石窟”和“白马寺”是洛阳市的两张旅游名片．2024年春节期间，两处景点一站式旅游都有A，B，C三种消费套餐．小明一家准备去两处景点旅游，则小明一家在两处景点选择同一套餐消费的概率是（ ）
A．B．C．D．1
8．（3分）某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路，感悟革命精神”的党员主题实践活动，全程80千米．学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地，因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走20%，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ）
A．360°B．180°C．120°D．60°
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点D在边AC上．连接BD．按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；（2）再分别以M，N两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；（3）连接AP并延长，分别交BD，BC于E，F两点．若AD＝3DC，连接DF，则DF：FC的值为（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．（3分）如图，在同一平面内，已知AB∥CD，直线EF平分∠GEB，过点D作DH⊥EF于点H，若∠GEB＝70°，则∠CDH＝ ．
12．（3分）已知不等式组有四个整数解，则a的取值范围为 ．
13．（3分）根据物理学规律，如果把一物体从地面以9.8m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为9.8x﹣4.9x2．根据上述规律，物体经过 秒落回到地面．
14．（3分）如图，点A，C均在⊙O上，线段BD经过圆心，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，已知⊙O的半径为2，，CD＝1，则图中阴影部分的周长为 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠BCD的平分线交边AD于点E，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．当BN＝ 时，PM+PN的值最小．
三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)
16．（10分）计算：
（1）；
（2）先化简代数式，并求当时代数式的值．
17．（9分）某中学九年级3月15日举办“中考百日誓师”活动暨研学活动，为着力培养学生的核心素养，学校选取了四个研学基地举办此次活动．
A．“庙底沟博物馆”；B．“黄河湿地公园”；C．“函谷关景区”；D．“红色教育基地”．
为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）在本次调查中，一共抽取 名学生，扇形统计图中A所对应圆心角的度数为 ；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）若该校共有4200名学生，请你估计选择C研学基地的学生人数；
（4）根据样本调查结果，请用不超过30字的一段话描述你对研学活动组织者的建议．
18．（9分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（2，n），B（﹣4，﹣6）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）画出相关的图象，并结合已有函数的图象，请直接写出不等式组﹣9≤kx+b≤的解集．
19．（9分）“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望．触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入”就是说，使用多次测量传递的方法，就可以测量出各点之间的距离和高度差．
——刘徽《九章算术注•序》
某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰AB的高度，如图，在同一海平面的D处和F处分别树立标杆CD和EF，标杆的高都是5.5米，DF两处相隔80米，从标杆CD向后退11米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF向后退13米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰AB的高度及它和标杆CD的水平距离．
注：图中各点都在一个平面内．
20．（9分）某苗圃基地新培育A，B两种树苗，其中A种树苗的销售单价比B种树苗的销售单价每捆少6元；售出A种树苗5捆和B种树苗4捆的销售额相同．
（1）求A，B两种树苗销售单价每捆多少钱；
（2）某公司准备购进两种树苗共100捆，用于绿化单位环境．要求购进B种树苗的数量不少于A种树苗数量的三分之一，两种树苗总费用不超过2700元．问如何设定购进方案，公司所需费用最少？最少费用是多少？
21．（9分）花坛水池中央有一喷泉，水管OC＝3m，水从喷头C喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，为增强欣赏效果，喷头C不定时自动升降，上下升降的范围是±1.2m．如图，建立平面直角坐标系，水的落地点B距水池中央的水平距离为nm，水流所成抛物线L：y＝mx2﹣2mx+3的最高点距离水面4m．
（1）求m，n的值以及抛物线顶点坐标；
（2）升降喷头C时，水流所成的抛物线形状不变．某一时刻，身高1.65m的小丽同学，恰好站在距花坛中心水管2m的位置，问喷头C在升降过程中，水流是否会打湿小丽的头发？
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，且DE⊥AC，垂足是点E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接DF，若，CE＝27，求AE的长和cs∠BAF的值．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点D是斜边AB上一点，，连接CD，过点A作CD的垂线分别交CD于点E，交BC于点F，点M是AC的中点，连接EM．
（1）问题提出：
①如图1，若BC＝AC，则EM＝ ，CF＝ ；
②如图2，若，求EM和CF．
（2）推广应用：
如图3，若，请直接写出EM和CF的长．（用已知数或含n的式子表示）
2024年河南省洛阳市宜阳县、安阳市滑县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1．（3分）的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先估算出的值，再根据绝对值的性质进行解答即可．
【解答】解：∵≈1.73＜2，
∴2﹣＞0，
∴|2﹣|＝2﹣．
故选：A．
【点评】本题考查的是绝对值的性质及估算无理数的大小，先估算出的值判断出2﹣的符号是解答此题的关键．
2．（3分）春节假期，我国文化和旅游市场安全繁荣有序，出游人次和出游总花费等多项指标均创历史新高．据初步统计，国内游客出游总花费为6326.87亿元亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A．6.32687×1012B．63.2687×1010
C．6.32687×1011D．632687×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：6326.87亿＝632687000000＝6.32687×1011，
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）一个正方体的每个面上都写有一个汉字，如图是该正方体的展开图，则与汉字“好”相对的汉字是（ ）
A．中B．国C．故D．事
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：与汉字“好”相对的汉字是中，
故选：A．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
4．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．53＝15B．（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6
C．D．（x﹣y）2＝x2﹣y2
【分析】利用有理数的乘方法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断即可．
【解答】解：53＝125，则A不符合题意；
（﹣2xy2）3＝﹣8x3y6，则B符合题意；
＝1﹣，则C不符合题意；
（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，则D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的运算及完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．（3分）如图，△APB是⊙O的内接三角形，直径CD⊥AB于点E．如果，∠P＝60°，那么CE的长为（ ）
A．10B．C．15D．5
【分析】连接AC、BC，根据垂径定理求得AE＝BE＝AB＝5，则CD垂直平分AB，所以AC＝BC，而∠ACB＝∠P＝60°，则△ABC是等边三角形，所以∠BAC＝60°，则＝tan60°＝，求得CE＝AE＝15，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接AC、BC，
∵⊙O的直径CD⊥AB于点E，AB＝10，
∴AE＝BE＝AB＝5，
∴CD垂直平分AB，
∴AC＝BC，
∵∠ACB＝∠P＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴＝tan∠BAC＝tan60°＝，
∴CE＝AE＝×5＝15，
故选：C．
【点评】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
6．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣3＝0时，配方后正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝﹣2B．（x﹣1）2＝4C．（x﹣1）2＝﹣2D．（x+2）2＝4
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣3＝0，
x2﹣2x＝3，
x2﹣2x+1＝4，
（x﹣1）2＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．
7．（3分）“龙门石窟”和“白马寺”是洛阳市的两张旅游名片．2024年春节期间，两处景点一站式旅游都有A，B，C三种消费套餐．小明一家准备去两处景点旅游，则小明一家在两处景点选择同一套餐消费的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小明一家在两处景点选择同一套餐消费的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明一家在两处景点选择同一套餐消费的结果有3种，
∴小明一家在两处景点选择同一套餐消费的概率为．
故选：A．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8．（3分）某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路，感悟革命精神”的党员主题实践活动，全程80千米．学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地，因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走20%，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据大巴车原计划的速度与实际速度间的关系，可得出大巴车实际的平均速度为（1+20%）x千米/时，利用时间＝路程÷速度，结合实际比原计划少用10分钟，即可列出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵途中大巴车平均每小时比原计划多走20%，且大巴车原计划的平均速度为x千米/时，
∴大巴车实际的平均速度为（1+20%）x千米/时．
根据题意得：＝+．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
9．（3分）每一片雪花各顶点连接其外形就是正六边形．若绕这个正六边形的中心O旋转至和原图形重合，至少需要旋转（ ）
A．360°B．180°C．120°D．60°
【分析】正六边形被经过中心的半径平分成6个全等的部分，则旋转的角度由此即可确定．
【解答】解：正六边形可以被经过中心的半径平分成6个全等的部分，
则旋转至少360°÷6＝60°，能够与本身重合．
故选：D．
【点评】本题考查旋转对称图形的知识，注意正六边形是旋转对称图形，确定旋转角的方法是需要准确掌握的内容．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点D在边AC上．连接BD．按以下步骤作图：（1）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC于M，N两点；（2）再分别以M，N两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；（3）连接AP并延长，分别交BD，BC于E，F两点．若AD＝3DC，连接DF，则DF：FC的值为（ ）
A．B．C．D．1
【分析】利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，利用基本作图得到AF平分∠BAF，则根据角平分线的性质和三角形面积公式得到AB：AC＝BF：CF，则CF＝BC＝，过B点作BH∥DF交AC与H点，如图，由于AD＝3DC，所以CD＝2，接着根据平行线分线段成比例定理得到＝＝＝，所以CH＝，DF＝BH，则AH＝，然后利用勾股定理计算出BH＝，则DF＝，最后可计算出的值．
【解答】解：∵AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，
由作法得AF平分∠BAF，
∴点F到AB、AC的距离相等，
∴S△ABF：S△ACF＝AB：AC＝BF：CF，即BF：CF＝6：8＝3：4，
∴CF＝BC＝，
过B点作BH∥DF交AC与H点，如图，
∵AD＝3DC，
∴CD＝AC＝2，
∵DF∥BH，
∴＝＝＝，
∴CH＝CD＝×2＝，DF＝BH，
∴AH＝AC﹣CH＝8﹣＝，
在Rt△ABH中，BH＝＝，
∴DF＝×＝，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了勾股定理和勾股定理的逆定理、角平分线的性质和基本作图．
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．（3分）如图，在同一平面内，已知AB∥CD，直线EF平分∠GEB，过点D作DH⊥EF于点H，若∠GEB＝70°，则∠CDH＝ 55° ．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义得出∠CDH＝90°﹣∠HED，进而解答即可．
【解答】解：∵直线EF平分∠GEB，∠GEB＝70°，
∴∠HED＝∠AEH＝∠GEF＝，
∵过点D作DH⊥EF于点H，
∴∠HDE＝90°﹣35°＝55°，
∵AB∥CD，
∴∠AED+∠CDE＝180°，
∵∠AED＝∠GEB＝70°，
∴∠CDE＝110°，
∴∠CDH＝∠CDE﹣∠HDE＝110°﹣55°＝55°，
故答案为：55°．
【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同旁内角互补解答．
12．（3分）已知不等式组有四个整数解，则a的取值范围为 9＜a≤10 ．
【分析】解不等式2（x﹣1）＞，得x＞5，然后根据题意即可得出a的取值范围．
【解答】解：由不等式2（x﹣1）＞，可得x＞5，
所以不等式组四个整数解为6，7，8，9，
所以9＜a≤10，
故答案为：9＜a≤10．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
13．（3分）根据物理学规律，如果把一物体从地面以9.8m/s的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：m）约为9.8x﹣4.9x2．根据上述规律，物体经过 2 秒落回到地面．
【分析】根据“物体落回到地面”可得9.8x﹣4.9x2＝0，解此方程即可．
【解答】解：由题意可得：9.8x﹣4.9x2＝0，
解得：x1＝0（舍去），x2＝2，
∴物体经过2秒落回到地面．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，根据题目意思正确列出方程并求解是解题关键．
14．（3分）如图，点A，C均在⊙O上，线段BD经过圆心，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，已知⊙O的半径为2，，CD＝1，则图中阴影部分的周长为 +2+2．
【分析】证明△COD≌△OAB，根据全等三角形的性质求出∠OAB＝∠COD，解直角三角形求出∠AOB＝60°，则∠AOD＝120°，∠OAB＝∠COD＝30°，∠AOC＝150°，根据弧长计算公式求出的长度，再求解即可．
【解答】解：∵AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，
∴∠ABD＝∠CDB＝90°，
∵⊙O的半径为2，CD＝1，
∴OD＝＝＝，
∵AB＝，
∴AB＝OD，
在Rt△OAB和Rt△COD中，
，
∴Rt△OAB≌Rt△COD（HL），
∴∠OAB＝∠COD，OB＝CD＝1，
∵sin∠AOB＝＝，
∴∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝120°，∠OAB＝∠COD＝30°，
∴∠AOC＝150°，
∴的长度＝＝，
∴图中阴影部分的周长＝+1++1+＝+2+2，
故答案为：+2+2．
【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解直角三角形求出∠AOC＝150°是解题的关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∠BCD的平分线交边AD于点E，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN．当BN＝ 2 时，PM+PN的值最小．
【分析】过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，则四边形BCGF是矩形，所以FG＝BC＝4，∠PFB＝90°，由CE平分∠BCD，得PH＝PG，由PM≥PF，PN≥PH，得PM+PN≥4，可知当PM与PF重合且PN与PH重合时，PM+PN取得最小值4，此时四边形BHPF是正方形，则BN＝BH＝PF＝PH＝PG＝FG＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BCG＝∠FGC＝90°，
∴四边形BCGF是矩形，
∴FG＝BC＝4，∠PFB＝∠B＝∠PHB＝90°，
∴四边形BHPF是矩形，PF⊥AB，
∵CE平分∠BCD，
∴PH＝PG，
∵PM≥PF，PN≥PH，
∴PM+PN≥PF+PH，
∴PM+PN≥PF+PG，
∵PF+PG＝FG＝4，
∴PM+PN≥4，
∴当PM与PF重合且PN与PH重合时，PM+PN取得最小值4，
∵BM＝BN，
∴当PM与PF重合且PN与PH重合时，则BF＝BH，此时四边形BHPF是正方形，
∴BH＝PF＝PH＝PG＝FG＝×4＝2，
∴BN＝BH＝2，
故答案为：2．
【点评】此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、角平分线的性质、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)
16．（10分）计算：
（1）；
（2）先化简代数式，并求当时代数式的值．
【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先化简，然后将x的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1）
＝﹣3﹣4×+1﹣（﹣2）
＝2﹣3﹣2+1+2
＝0；
（2）
＝
＝
＝，
当时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
17．（9分）某中学九年级3月15日举办“中考百日誓师”活动暨研学活动，为着力培养学生的核心素养，学校选取了四个研学基地举办此次活动．
A．“庙底沟博物馆”；B．“黄河湿地公园”；C．“函谷关景区”；D．“红色教育基地”．
为了解学生对以上研学基地的喜欢情况，随机抽取部分学生进行调查统计（每名学生只能选择一个研学基地），将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图．
请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）在本次调查中，一共抽取 24 名学生，扇形统计图中A所对应圆心角的度数为 30° ；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）若该校共有4200名学生，请你估计选择C研学基地的学生人数；
（4）根据样本调查结果，请用不超过30字的一段话描述你对研学活动组织者的建议．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出一共抽取的学生人数；用360°乘以A所占的百分比即可；
（2）求出C、D的人数，将条形统计图补充完整即可；
（3）由该校共有学生人数乘以选择C研学基地的学生人数所占的比例即可；
（4）根据学生对基地的喜欢情况给出建议．
【解答】解：（1）在本次调查中，一共抽取的学生人数为：12÷50%＝24（名），
在扇形统计图中A所对应圆心角的度数为：360°×＝30°，
故答案为：24，30°；
（2）C的人数为：24×25%＝6（名），
∴D的人数为：24﹣12﹣6﹣2＝4（名），
将条形统计图补充完整如下：
（3）4200×25%＝1050（名），
答：估计选择研学基地C的学生人数约为1050名；
（4）根据样本调查结果，喜欢黄河湿地公园基地的学生较多，
建议学校选取黄河湿地公园基地举办此次活动．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
18．（9分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于A（2，n），B（﹣4，﹣6）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）画出相关的图象，并结合已有函数的图象，请直接写出不等式组﹣9≤kx+b≤的解集．
【分析】（1）依据题意，先将B（6，﹣1）代入反比例函数解析式求得m，再将A（﹣2，n）代入反比例函数解析式求得n，最后将A、B点的坐标代入一次函数解析式，即可得解；
（2）把y＝﹣9代入y1＝3x+6求得x＝﹣5，结合 A、B的坐标，根据图象即可求解．
【解答】解：（1）∵B（﹣4，﹣6）在反比例函数y2＝（m≠0）的图象上，
∴﹣6＝．
∴m＝24．
∴反比例函数的解析式为y2＝．
∵点A（2，n）在反比例函数y2＝的图象上，
∴n＝＝12．
∴点A坐标为（2，12）．
由题意得：，
∴．
∴一次函数的解析式为y1＝3x+6．
（2）把y＝﹣9代入y1＝3x+6求得x＝﹣5，
观察图象，不等式组﹣9≤kx+b≤的解集是﹣5≤x≤﹣4或0＜x≤2．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，函数与不等式组的故选，数形结合是解决本题的关键．
19．（9分）“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望．触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入”就是说，使用多次测量传递的方法，就可以测量出各点之间的距离和高度差．
——刘徽《九章算术注•序》
某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰AB的高度，如图，在同一海平面的D处和F处分别树立标杆CD和EF，标杆的高都是5.5米，DF两处相隔80米，从标杆CD向后退11米的G处，可以看到顶峰A和标杆顶端C在一条直线上；从标杆EF向后退13米的H处，可以看到顶峰A和标杆顶端E在一条直线上．求山峰AB的高度及它和标杆CD的水平距离．
注：图中各点都在一个平面内．
【分析】根据题意可得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，从而可得∠B＝∠CDG＝∠EFH＝90°，然后证明A字模型相似△ABG∽△CDG，△EFH∽△ABH，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AB⊥BH，CD⊥BH，EF⊥BH，
∴∠B＝∠CDG＝∠EFH＝90°，
∵∠AGB＝∠CGD，
∴△ABG∽△CDG，
∴＝，
∴＝，
∵∠H＝∠H，
∴△EFH∽△ABH，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
解得：BD＝440，
∴＝，
解得：AB＝225.5，
∴山峰AB的高度为225.5米，它和标杆CD的水平距离为440米．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
20．（9分）某苗圃基地新培育A，B两种树苗，其中A种树苗的销售单价比B种树苗的销售单价每捆少6元；售出A种树苗5捆和B种树苗4捆的销售额相同．
（1）求A，B两种树苗销售单价每捆多少钱；
（2）某公司准备购进两种树苗共100捆，用于绿化单位环境．要求购进B种树苗的数量不少于A种树苗数量的三分之一，两种树苗总费用不超过2700元．问如何设定购进方案，公司所需费用最少？最少费用是多少？
【分析】（1）根据A种树苗5捆和B种树苗4捆的销售额相同，列出方程求解即可；
（2）两种树苗的总费用＝甲种树苗的总费用+乙种树苗的总费用，把相关数值代入可得总费用关于树苗棵数的函数关系．进而根据B种树苗的数量不少于A种树苗数量的三分之一，两种树苗总费用不超过2700元得到自变量的取值范围，根据一次函数的增减性判断出自变量的取值，进而可得相应方案和最少费用．
【解答】解：（1）设A树苗销售单价为每捆x元，则B树苗销售单价为每捆（x+6）元，根据题意，得：
5x＝4（x+6）．
解得：x＝24．
∴x+6＝30．
答：A树苗销售单价为每捆24元，B树苗销售单价每捆为30元；
（2）设A树苗购进a捆，则B树苗购进（100﹣a）捆，购进树苗所需费用为w元．根据题意得：
w＝24a+30（100﹣a）
＝﹣6a+3000．
∵购进B种树苗的数量不少于A种树苗数量的三分之一，两种树苗总费用不超过2700元．
∴．
解得：50≤a≤75．
∵﹣6＜0，
∴w随a的增大而减小．
∴a＝75时，w最小．最小值＝2550（元）．
∴100﹣a＝25．
答：A树苗购进75捆，B树苗购进25捆，公司所需费用最少，最少费用是2550元．
【点评】本题考查一次函数的应用．找到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．用到的知识点为：一次函数的比例系数小于0，函数值随自变量的增大而减小．
21．（9分）花坛水池中央有一喷泉，水管OC＝3m，水从喷头C喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，为增强欣赏效果，喷头C不定时自动升降，上下升降的范围是±1.2m．如图，建立平面直角坐标系，水的落地点B距水池中央的水平距离为nm，水流所成抛物线L：y＝mx2﹣2mx+3的最高点距离水面4m．
（1）求m，n的值以及抛物线顶点坐标；
（2）升降喷头C时，水流所成的抛物线形状不变．某一时刻，身高1.65m的小丽同学，恰好站在距花坛中心水管2m的位置，问喷头C在升降过程中，水流是否会打湿小丽的头发？
【分析】（1）先将抛物线写成顶点式，根据已知题意可知3﹣m＝4，即可求出m值，顶点坐标即可求出，再将y＝0代入解析式，即可求出n的值；
（2）将x＝2代入解析式中即可得出y＝3中，再算出当喷头C在最低位置时，当x＝2对应的纵坐标为3﹣1.2＝1.8m，然后比较1.8m与1.65m，即可求出答案．
【解答】解：（1）y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m，
∵y＝mx2﹣2mx+3的最高点距离水面4m．
∴3﹣m＝4，
解得：m＝﹣1，
∴y＝﹣（x﹣1）2+4，
∴当顶点坐标（1，4），
当y＝0时，
即0＝﹣（x﹣1）2+4，
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍），
∴n＝3，
综上所述：m＝﹣1，n＝3，顶点坐标为（1，4）．
（2）当x＝2时，y＝﹣（2﹣1）2+4＝3，
3﹣1.2＝1.8（m），
∵1.8m＞1.65m，
∴当喷头C在升降过程中，水流是不会打湿小丽的头发．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，读懂题意是解题的关键．
22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，且DE⊥AC，垂足是点E，延长CA交⊙O于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）连接DF，若，CE＝27，求AE的长和cs∠BAF的值．
【分析】（1）连接OD，则∠ODB＝∠ABC，由AB＝AC，得∠C＝∠ABC，所以∠ODB＝∠C，则OD∥AC，所以∠ODE＝∠DEC＝90°，即可证明DE是⊙O的切线；
（2）连接AD、BF，由AB是⊙O的直径，得∠ADB＝∠AFD＝90°，则∠ADC＝90°，再证明∠C＝∠DFC，得DC＝DF＝9，所以FE＝CE＝27，即可由＝＝csC，求得AB＝AC＝＝30，则AE＝AC﹣CE＝3，AF＝FE﹣AE＝24，求得cs∠BAF＝＝．
【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC于点E，
∴∠ODE＝∠DEC＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：连接AD、BF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AFD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝∠ABC，∠DFC＝∠ABC，
∴∠C＝∠DFC，
∴DC＝DF＝9，
∴FE＝CE＝27，
∵＝＝csC，
∴AB＝AC＝＝＝30，
∴AE＝AC﹣CE＝30﹣27＝3，
∴AF＝FE﹣AE＝27﹣3＝24，
∴cs∠BAF＝＝＝，
∴AE的长是3，cs∠BAF的值是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理、圆周角定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，点D是斜边AB上一点，，连接CD，过点A作CD的垂线分别交CD于点E，交BC于点F，点M是AC的中点，连接EM．
（1）问题提出：
①如图1，若BC＝AC，则EM＝ 2 ，CF＝；
②如图2，若，求EM和CF．
（2）推广应用：
如图3，若，请直接写出EM和CF的长．（用已知数或含n的式子表示）
【分析】（1）证明△BHD∽△BCA，得到，证明tan∠CAF＝tan∠FCE，得到，即可求解；
（2）若，由（1）知，BC＝n，，则HB＝n，DH＝1，则CH＝n﹣n＝n，而＝，即可求解．
【解答】解：（1）∵点M是AC的中点，
则ME＝AC＝2；
过点D作DH⊥BC于点H，
则DH∥AC，
则△BHD∽△BCA，
则，
即，
∵∠CAF+∠CFA＝90°，∠CFA+∠FCE＝90°，
∴∠CAF＝∠FCE，
∴tan∠CAF＝tan∠FCE，
即，即．
①当AC＝BC＝4时，
∵，
则HB＝1＝DH，则CH＝4﹣1＝3，
∵＝，
则CF＝；
故答案为：2，；
②若，则BC＝3，
∵，
则HB＝，DH＝1，
则CH＝3﹣＝，
∵＝，
则CF＝；
由（1）知，EM＝2；
（2）若，
由（1）知，BC＝n，
∵，
则HB＝n，DH＝1，
则CH＝n﹣n＝n，
∵＝，
则CF＝；
由（1）知，EM＝2．
【点评】本题考查的是三角形综合题，涉及到三角形相似、解直角三角形等，证明三角形相似是解题的关键．