2024年山东省济南市莱芜区数学中考模拟预测题（原卷版+解析版）

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选择题部分 共40分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 7
2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）

A. 长方体B. 三棱柱C. 圆锥D. 圆柱
3. 年月日，搭载神舟十五号载人飞船的长征二号遥十五运载火箭在酒泉卫星发射中心发射，月日名航天员进驻中国空间站，会师神舟十四乘组，两个航天员乘组首次实现“太空会师”，神舟十五号飞船远地点高度约，近地点高度约，将数字用科学记数法并保留三位有效数字表示为（ ）
A B. C. D.
4. 如图，，点在上，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
6. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（ ）

A. B. C. D.
7. 某学校成立了、、三个志愿者小组，在“学雷锋活动月”，利用周末时间到“残障儿童服务站”举行献爱心活动，如果小明和小刚每人随机选择参加其中一个小组，则他们恰好选到同一个小组的概率是（ ）
A B. C. D.
8. 如果，那么代数式的值是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中，，，，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于D，E两点，作直线交于M，交于N，连接．G为上一动点，过G作，垂足为F，连接，则的最小值为（ ）

A. 3B. C. 6D.
10. 已知、在抛物线的对称轴的同侧，当时，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
非选择题部分 共110分
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请直接填写答案．）
11. 因式分解：______．
12. 如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，则它最终停留在阴影区域的概率是______ ．
13. 一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的对角线共有______条．
14. 代数式的值比代数式的值大，则 ______ ．
15. 已知正方形，点是边上一动点，将正方形沿折叠，点的对应点为点，若是以为底的等腰三角形，则的度数为______ ．
16. 对数的定义：一般地，若，那么叫做以为底的对数，记作：比如指数式可以转化为，对数式，可以转化为我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：理由如下：设，，则，，，由对数的定义得，又，，类似还可以证明对数的另一个性质：．请利用以上内容计算 ______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17. 计算：．
18. 解不等式组：，并写出它所有的整数解．
19. 中，点在对角线上，且．求证：．
20. 读书是文化建设的基础，为了充分发挥读书启智润心的正能量，十四届政协委员林丽颍建议设立了“国家读书日”，让读书成为一种有品质的生活方式，成为新时代的新风尚．某社区设立了家庭成年人阅读问卷调查，社区管理人员随机抽查了户家庭进行问卷调查，将调查结果分为个等级：、、、，整理如下：
下面是家庭成年人阅读时间在小时内的数据：，，，，，，，，，，，，，，．
家庭成年人阅读时间统计表：
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的______，______；
（2）组数据的众数是______，中位数是______；
（3）扇形统计图中组对应扇形圆心角为______度，______；
（4）该社区宣传管理人员有男女，要从中随机选两名人员参加读书日宣传活动，请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率．
21. 某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为．
（1）求坡顶到地面的距离；
（2）求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，）
22. 如图，在中，以为直径的与相交于点，是的切线，于．
（1）求证：；
（2）若的半径为，，求的长．
23. 为了抓住“五一”小长假旅游商机，某旅游景点决定购进A，B两种纪念品，购进A种纪念品10件，B种纪念品4件，共需1200元；购进A种纪念品5件，B种纪念品8件，共需900元．
（1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若购买两种纪念品共200件，并且购买B种纪念品的数量不大于A种纪念品数量的3倍．A种纪念品每件获利30元，B种纪念品每件获利是进价的八折，请设计一个方案：怎样购进A，B两种纪念品获利润最大？最大利润是多少？
24. 如图，在平面直角坐标系中，双曲线经过B、C两点，直角三角形，轴，轴，，．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）点M是y轴正半轴上的动点，连接、；
①求的最小值；
②点N是反比例函数的图像上的一个点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求所有满足条件的点N的坐标．
25. 如图1，是等腰直角三角形，，点在的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接、、
（1）判断线段与的数量关系并给出证明；
（2）如图2，当B、D、E三点在同一条直线上时，写出线段、、的数量关系为 ．
（3）如图3，若，，点为线段中点，当、、三点在同一条直线上时，连接，求的长度．
26. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第一象限内的一个动点，且在对称轴右侧．
（1）求a，b，c的值；
（2）如图，连接、，交点为，连接，若，求点的坐标；
（3）如图，在（2）的条件下，过点作轴的垂线交轴于点，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接，，求的最小值．等级
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