安徽省合肥市第三十八中学2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份安徽省合肥市第三十八中学2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是( )
A. B. C. D.
2.下列函数中y的值随x值的增大而减小的是( )
A. B. C. D.
3.下列抛物线中，对称轴为直线的是( )
A. B. C. D.
4.已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.若抛物线与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为
A. B. C. 且D. 且
6.如图，在平面直角坐标系中，正方形PQMN的顶点P在直线上，顶点Q在函数的图象上，M、N两点在x轴上.若点Q的横坐标为，则k的值为( )
A. 6B. C. 12D.
7.在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
8.如图所示，学校举行数学文化竞赛，图中的四个点分别描述了八年级的四个班级竞赛成绩的优秀率班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述1班和4班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是( )
A. 八班B. 八班C. 八班D. 八班
9.已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如图，直线与抛物线交于A，B两点，且点A的横坐标是，点B的横坐标是3，则当时，自变量x的取值范围是( )
A.
B.
C. 或
D. 或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.抛物线的顶点在x轴上，则m的值是______.
12.掷实心球是中考体育考试选考项目之一，小明发现实心球从出手到落地的过程中，其竖直高度与水平距离之间满足二次函数关系，小明利用先进的鹰眼系统记录了某次投球过程，实心球在空中运动时的水平距离单位：与竖直高度单位：的数据如表：
在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离为______.
13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线与x轴交于C、D两点，其中若，则n的值为______.
14.如图，抛物线m：是由抛物线向上平移b个单位得到的，与x轴于点A、点A在点B的左侧，与y轴交于点
则______；
若将抛物线m绕点B旋转，得到新的抛物线n，它的顶点为，与x轴的另一个交点为若四边形为矩形，则______.
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题8分
已知与成反比例函数关系，且当时，求：
与x的函数关系式；
当时，y的值.
16.本小题8分
已知二次函数
求该二次函数图象与x轴的交点坐标，并直接写出：函数的对称轴为直线______.
若，当时，y的最大值是4，求当时，y的最小值；
17.本小题8分
如图，点P是反比例函数图象上的一个动点，作轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为
是m的______函数，并加以说明填“一次”或“反比例”
当时，求m的取值范围.
18.本小题8分
已知抛物线与x轴交于A，B两点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图保留画图痕迹
如图1，M为抛物线与y轴的交点，直线l为抛物线的对称轴，请画出点M关于直线l的对称点
如图2，四边形ABCD为平行四边形，请画出抛物线的对称轴.
19.本小题10分
如图，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点求抛物线的解析式和顶点坐标；
如果点P在x轴上，且是等腰三角形，求点P的坐标.
20.本小题10分
如图，直线与双曲线相交于、两点，与x轴相交于点
分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
连接OA、OB，求的面积；
直接写出当时，关于x的不等式的解集.
21.本小题12分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C，直线l：经过A、C两点.
求二次函数的表达式；
求点C的坐标及直线l的表达式；
在直线AC上方的抛物线上存在一动点P，过P点作轴，交AC于D点，请求出线段PD的最大值.
22.本小题12分
某商店出售一款商品，经市场调查反映，该商品的日销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，关于该商品的销售单价，日销售量，日销售利润的部分对应数据如表：[注：日销售利润=日销售量销售单价-成本单价
根据以上信息，求日销售量件关于销售单价元的函数关系式；
①填空：该产品的成本单价是______元，表中 a的值是______.
②求该商品日销售利润的最大值.
由于某种原因，该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，商店规定该商品的销售单价不低于68元，日销售量与销售单价仍然满足中的函数关系，若日销售最大利润是6600元，求m的值.
23.本小题14分
中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分九班同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，通过收集到的素材进行了方案探究和任务性学习：
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是二次函数，故此选项符合题意；
B、不是二次函数，故此选项不符合题意；
C、，当时，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：
根据二次函数的定义分别判断即可．
本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如、b、c是常数，的函数，叫做二次函数．
2.【答案】C
【解析】解：A、，则在每一象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
B、，对称轴为y轴，在y轴左侧，y的值随x值的增大而减小，在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，故本选项不符合题意；
C、，，的值随x值的增大而减小，故本选项符合题意；
D、，，的值随x值的增大而增大，故本选项不符合题意．
故选：
根据一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性进行判断即可．
本题考查了一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性，熟练掌握这些函数的增减性与系数的关系是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：抛物线的对称轴为直线；
选项A符合题意；
抛物线的对称轴为y轴；、
选项B不符合题意；
抛物线的对称轴为y轴；
选项C不符合题意；
抛物线，
该抛物线的对称轴为直线，
选项D不符合题意．
故选：
分别求出题目中四个选项中所给出的抛物线的对称轴即可．
此题主要考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法与技巧是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由可知：反比例函数图象分布在一、三象限，在每一个象限y随x的增大而减小，
，，
故选：
根据反比例函数性质，反比例函数图象分布在一、三象限，在每一个象限y随x的增大而减小，进行判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
5.【答案】C
【解析】解：抛物线为二次函数，
，
二次函数的图象与x轴有两个交点，
，
，
则k的取值范围为且
故选
根据抛物线与x轴有两个不同的交点，得出，进而求出k的取值范围．
考查二次函数的图象与x轴交点的个数的判断．
6.【答案】C
【解析】解：点Q的横坐标为，
，
直线，
，
四边形MNPQ是正方形，
，，
，
，
，
点Q在反比例函数图象上，
故选：
根据题意可知Q点横坐标，利用直线解析式得到，依据正方形性质推出，根据点Q的坐标求出k值即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用直线解析式求出正方形边长是关键．
7.【答案】B
【解析】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意．
故选：
本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致．
本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．
8.【答案】A
【解析】解：设，
过八点，八点作y轴的平行线交反比例函数于A，B，
设八点为，八点，八点为，八点，点A为，点B为，
由图象可知：，，
依题意得：，，，分别为八，八，八，八的优秀人数．
由题意可得：
，
，，
，，
，
即：八班优秀人数>八班优秀人数=八班优秀人数>八班优秀人数，
故选：
设反比例函数表达式为，过八点，八点作y轴的平行线交反比例函数于A，B，设八点为，八点为，八点为，八点为，点A为，点B为，，然后比较，，，与k的大小即可得出答案．
本题主要考查反比例函数图象与性质的实际应用，读懂题意，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：将转化为顶点式：，
抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，
关于对称轴对称的点坐标为，
，
故选：
由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得
本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：把，代入直线，得，；
把，代入直线，得，；
，
解得，
把解代入得：，
由函数图象知：抛物线开口向上，
，
，
或，
解得，
故选：
根据二次函数与一次函数在A、B处的函数值相等，得出，求出，然后把代入，可得出，然后根据乘法法则得出或，最后解不等式组即可．
本题考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数性质是关键．
11.【答案】
【解析】解：抛物线的顶点在x轴上，
，即，
解得：
故答案为：
抛物线的顶点在x轴上时，抛物线与x轴的交点只有一个，因此根的判别式，可据此求出m的值．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数与x轴的交点个数与的关系是解题的关键，当时，二次函数与x轴有两个交点，当时，二次函数与x轴有一个交点，当时，二次函数与x轴没有交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
12.【答案】10m
【解析】解：实心球在空中运动时的水平距离单位：与竖直高度单位：满足二次函数关系，由表格可知：
当时，；当时，，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，把代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为，
令，则，
解得或舍去，
实心球从起点到落地点的水平距离为10m，
故答案为：
通过图表求出抛物线的顶点为，设抛物线的解析式为，再代入即可求出解析式；把代入，即可求出x的值即可得到结果．
本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
13.【答案】3
【解析】解：把代入得：，
，，
当时，，
，，
，
，
，
即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，
解得：，
，
舍去；
当时，，
，
，
符合题意；
故答案为：
先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可．
本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：抛物线m：是由抛物线向上平移b个单位得到的，
，
故答案为：；
令，得：
，
，
，
令，得：，
，
，，
，
，，
由题意可得：
时满足条件，
，
解得，舍去，
，
故答案为：
根据二次函数平移的性质求解即可；
利用矩形性质得出要使四边形是矩形，必须满足，继而可求出b的值．
本题考查二抛物线与x轴的交点，二次函数、平行四边形的性质，灵活利用平行四边形的性质是解题的关键．
15.【答案】解：设，
把，代入得，
解得，
所以，
所以y与x的函数关系式为；
当时，
【解析】根据反比例函数关系得定义，设设，然后把已知的一组对应值代入求出k，从而得到y与x的函数关系式；
利用中的解析式，计算自变量为5所对应的函数值即可．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，，再把已知条件自变量与函数的对应值代入解析式，得到待定系数的方程，接着解方程，求出待定系数；最后写出解析式．也考查了反比例函数的性质和反比例函数图象上点的坐标特征．
16.【答案】2
【解析】解：令，则，
，
，
，，
该二次函数图象与x轴的交点坐标为：，；
函数的对称轴为直线，
故答案为：2；
若，则抛物线开口向上，
对称轴为直线，，
当时，y有最大值，
即：，
；
当时，y有最小值，
且最小值为：
对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与x轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解，据此即可求解．
根据对称轴直线和开口方向即可求解．
本题考查了二次函数的最值、与x轴的交点坐标以及对称轴，掌握相关函数结论是解题关键．
17.【答案】反比例
【解析】解：作轴于点H，点Q是PH的中点，设点Q的坐标为，
，
点P是反比例函数图象上的一个动点，
，
，
是m的反比例函数，
故答案为：反比例；
当时，求得，
当时，求m的取值范围是
由题意可知，代入即可得到，即可得到n是m的反比例函数；
求得时的m的值，然后结合图象即可求得当时m的取值范围．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，求得是解题的关键．
18.【答案】解：如图1，点即为所求．
如图2，直线l即为所求．

【解析】连接BM交l于点C，连接AC并延长交抛物线于点；
延长CD交抛物线于点M，延长DC交抛物线于点N，分别连接AN，BM，相交于点E，分别延长MA，NB相交于点F，作直线EF即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的对称性，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．
19.【答案】解：把、代入解析式得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
，
顶点坐标为；
当时，，
，
设，
①当时，
则，
解得，
的坐标为；
②当时，
则，
解得或舍去，
的坐标为；
③当时，
则，
解得：，
的坐标为或，
综上，P的坐标为或或或
【解析】把点、代入求解即可；
分；；三种情况讨论即可．
本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是求出函数解析式．
20.【答案】解：将代入，得，
反比例的解析式为；
把代入，
，
，
将，代入，得：
，
解得：，
一次函数的解析式为，
对于，
当时，
点D的坐标为，
点B的坐标为，，
的面积；
观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或
【解析】将已知点坐标代入反函数表达式，再求解B的坐标，再求解一次函数的解析式即可；
先求解D的坐标，结合点A，点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题；
根据图象即可解决问题．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
21.【答案】解：将代入中，得：
，
解得：，
；
在中，令，则，
，
将，代入中，得：
，
解得：，
直线l的表达式为：；
设，其中，
则，
，
当时，线段PD的最大值为
【解析】将A代入二次函数表达式，求出c值即可得解；
根据二次函数表达式可得点C坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式；
设，，求出，再利用二次函数的最值求解．
本题考查了二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值问题，解题的关键是正确求出函数解析式，表示出PD的长．
22.【答案】40 5440
【解析】解：设日销售量件与销售单价元之间满足的一次函数解析式为，把，代入得：
，
解得：，
日销售量件关于销售单价元的函数关系式为；
①设该产品的成本单价是n元，根据题意得：
，
解得，
故答案为：40，5440；
②设利润为w元，
根据题意，得
，
，
当时，w最大，最大值为6250，
答：该商品日销售利润的最大值为6250元；
该商品进价降低了m元/件，该商店在今后的销售中，日销售量与销售单价仍然满足中的函数关系，设利润为元，根据题意得：
，
销售单价不低于68元，即，
，
函数关系式的对称轴为直线，
，
，且开口向下，
随x的增大而减小，
当时，有最大值为6600，
，
答：m的值为
由题意商品的日销售量件与销售单价元之间满足一次函数关系，利用待定系数法求解即可；
①根据日销售利润=日销售量销售单价-成本单价即可求解；
②根据二次函数的顶点式即可求解；
根据日销售利润=日销售量销售单价-成本单价，把销售的最大利润代入即可求解．
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练销售问题的数量关系．
23.【答案】解：问题1：以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，如图2：
瓷碗高度，碗口宽，碗体DEC呈抛物线状碗体厚度不计，碗中盛满水时的最大深度，
由题意得：，，
，
，
设抛物线的解析式为，将点C的坐标代入得：
，
解得，
抛物线解析式为；
问题2：碗中液面高度离桌面MN距离为6cm，，
这时液面的纵坐标为，
当时，，
解得，，
则液面宽度为；
问题3：以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，倾斜后如图3，记y轴交HC于点S，交AB于点P，
由题知，，，
轴，
又，
，
，
，
，
设直线CH的解析式为，
则，
解得，
，
联立方程组，
解得或不合题意，舍去，
，

【解析】问题1：本题建立以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，根据题干条件给出E、D、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；
问题2：本题通过液面高度确定液面的纵坐标，再利用解析式给出液面两端的横坐标，即可求解；
问题3：本题仍建立以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，通过等腰三角形的判定可求出点S的坐标，再利用待定系数法给出直线CH解析式，通过直线和抛物线求得交点H的坐标，最后利用勾股定理求两点间距离，即可解题．
本题属于二次函数综合题，主要考查用待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定、勾股定理和求直线与抛物线的交点问题，解题的关键在于将实际数据变为直角坐标系中的数据，再利用函数的性质即可解题．水平距离
0
2
4
6
竖直高度
2
销售单价元
70
74
78
日销售量件
200
160
120
日销售利润元
6000
a
4560
【设计方案求碗里水面的宽度】
CD素材一：
图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状碗体厚度不计，当碗中盛满水时的最大深度
素材二：
如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜.
问题解决
问题1
如右图，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式；
问题2
根据图2位置，当把碗中的水喝掉一部分后，发现水面的最大深度TE为6cm，求此时水面宽度PQ的长；
问题3
如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗里水面的宽度