广东省深圳市宝安区14校联考2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份广东省深圳市宝安区14校联考2024—2025学年上学期九年级期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，为无理数的是( )
A. B. C. D.
2.根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的，不是直角三角形的是( )
A. B. ：：：4：5
C. D. a：b：：13：5
3.点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.下列运算中，正确的是( )
A. B. C. D.
5.点、都在一次函数的图象上，则、的大小关系是( )
A. B. C. D. 不确定
6.已知，则的值为( )
A. B. C. 5D. 6
7.剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换.如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知1号探测气球从海拔5米处出发，以的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15米处出发，以的速度上升.两个气球都上升了图象表示两个探测气球的海拔高度差单位：与上升时间单位：之间的函数图象.下列说法正确的有个.
①A点纵坐标为10；
②B时刻，1号气球的海拔高度为25；
③当时，；
④C点纵坐标为
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.计算：______.
10.如果把方程写成用含x的代数式表示y的形式，那么 .
11.数学书本告诉我们：边长为1的正方形的对角线长是，则数轴上的点P表示的实数为______.
12.在某公用电话亭打电话时，需付电话费元与通话时间分钟之间的函数关系用图象表示如图.则小明打了6分钟需付费______元.
13.如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，C是线段OB上一点，连接AC，将沿着AC翻折得，若点落在第四象限，且，则点C的坐标为______.
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题5分
计算：
15.本小题7分
解方程组
16.本小题8分
如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，
在图中作使和关于x轴对称；
写出点、、的坐标；
在y轴上找点P，使得最小，则点P的坐标为______.
17.本小题8分
如图，在中，，CE是斜边AB上的高，角平分线BD交CE于点
求证：是等腰三角形；
若，，求CM的长度.
18.本小题9分
在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息后按原速跑步到达C地.小明距B地的距离与时间之间的函数图象如图所示.
从A地到C地的距离为______ m；
求出MN段的函数表达式；
求小明距B地750m时所用的时间.
19.本小题12分
我们知道：，由此我们给出如下定义：对于给定的一次函数、b为常数且，把形如、b为常数且的函数称为一次函数的演变函数.
已知函数
①若点在这个一次函数的演变函数图象上，则______；
②若点在这个一次函数的演变函数图象上，则______.
如图，一次函数、b为常数的演变函数图象与一次函数的图象相交于、两点，
①求该一次函数的表达式.
②一次函数、b为常数的演变函数图象与y轴相交于点C，求的面积.
③在一次函数、b为常数的演变函数图象是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
20.本小题12分
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、，C是线段OB上一点，将沿着OC折叠，点O落在点D，连接
求直线AB的函数解析式；
若点D正好落在线段AB上，求点C的坐标；
若，求点D的坐标；
点P是平面内一点，若，请直接写出直线PA的函数解析式.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：根据无理数的定义得：是无理数．
故选：
本题需先根据无理数的定义进行筛选，即可求出答案．
本题主要考查了无理数，在解题时要根据无理数的定义进行选择是本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、：：：4：5，，
设，，，即，解得：，
，，，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、，
，
，
，
，即是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、a：b：：13：5
设，，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：
根据勾股定理的逆定理判断A、D即可；根据三角形内角和定理判断B、C即可．
本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理的应用，主要考查学生的计算能力和辨析能力．
3.【答案】D
【解析】解：点P位于第二象限，
点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
点的坐标为
故选：
首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标．
此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
4.【答案】C
【解析】解： ，故该选项错误，不符合题意；
B. ，故该选项错误，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项错误，不符合题意．
故选：
根据二次根式的性质和立方根的性质，逐一判断选项，即可．
本题主要考查二次根式的性质和立方根的性质，熟练掌握二次根式和立方根的性质是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：点、都在一次函数的图象上，
，，
，
故选：
利用待定系数法把A、B两点坐标代入一次函数可算出、的值，再比较大小即可．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，关键是掌握凡是函数图象经过的点，必能使解析式左右相等．
6.【答案】A
【解析】解：由题意得：且，
解得：，
则，
，
，
，
故选：
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式组，解不等式组求出x，进而求出y，再根据二次根式的性质计算即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件、二次根式的性质，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：与对称，
对称轴为直线，
与点D关于直线对称，
点D的坐标为
故选：
由点A与点B对称，求得对称轴为直线，再根据点C与点D对称，即可求解．
本题考查了轴对称的性质，熟练掌握对称点到对称轴的距离相等是解答本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：当时，，
点纵坐标为10，故①正确；
由得，
，
时刻，1号气球的海拔高度为25，故②正确；
当时，，故③错误；
当时，，
点纵坐标为20，故④正确；
正确的有①②④，共3个；
故选：
当时，，判断①正确；由得，可得B时刻，1号气球的海拔高度为25，判断②正确；当时，，判断③错误；当时，，判断C点纵坐标为20，④正确．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
9.【答案】2
【解析】解：
，
故答案为：
根据二次根式的性质和零指数幂的性质先算乘方，再进行加减运算即可．
本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和零指数幂的性质．
10.【答案】
【解析】解：方程，
解得：，
故答案为：
【分析】把x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出
11.【答案】
【解析】解：如图，设数轴上表示2的数为点Q，正方形的边长为1，由勾股定理可得：
PQ长等于正方形的对角线长，
点表示的数为：
故答案为：
先根据勾股定理求出正方形对角线的长，再根据点P的位置即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由图形可得：当时，元；
当时，设y与x的解析式为，
将与代入得：
，
解得：，
，
，
小明打了6分钟应付费为元．
故答案为：
根据图形可得：需付电话费元与通话时间 分钟之间的函数关系为分段函数，分为两段：当时，应付的电话费为元；当时，设y与x的解析式为，将与代入，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，确定出此时y与x的函数解析式，然后根据小明打了6分钟，判断应代入时的解析式，即可求出需付的费用．
此题考查了一次函数的应用，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，分段函数，以及代数式求值，利用了数形结合的思想，是一道综合题．
13.【答案】
【解析】解：过点作轴，垂足为点
由一次函数解析式可知：
，
由勾股定理可得：
沿着AC翻折得
设
在中，由勾股定理得：
在中，由勾股定理得：
，
解得：
设，则
由勾股定理得：
即
，
解得：
故答案为：
先灵活运用直线方程求出与坐标轴的交点坐标，明确各点坐标．再利用翻折的性质得到，，从而建立起等量关系．最后巧妙借助勾股定理，求出长度表达式，利用，最终通过建立方程求解得出点C的坐标．
本题考查了一次函数与轴对称性质的综合应用，能够综合题中条件作出辅助线并巧妙的借助勾股定理建立方程是本题的关键．
14.【答案】解：，
，

【解析】先根据乘方、零次幂、负整数次幂、立方根化简，然后再进行计算即可．
本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、立方根等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
15.【答案】解：
①+②，可得，
解得，
把代入①，解得，
原方程组的解是
【解析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
16.【答案】
【解析】解：如图所示：即为所求；
，，；
如图所示：找到点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时最小，
设所在直线为，将点和代入得，
，
，
，
就是与y轴的交点，
故答案为：
直接利用关于x轴对称点的性质得出答案；
利用中所画图形，进而得出各点坐标；
利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路线，正确得出对应点位置是解题关键．
17.【答案】证明：平分，
，
，，
，，
，
，
，
，
是等腰三角形；
解：作于点F，如图所示，
，BD平分，
，
，，，
，
，
，
即，
解得，
由知：，
，
即CM的长度为
【解析】根据题意和图形，可以求得，然后即可证明结论成立；
根据勾股定理可以求得BC的长，再根据等面积法和等腰三角形的性质，即可求得CM的长．
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、角平分线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18.【答案】1500
【解析】解：由图象可得，
从A地到C地的距离为：，
故答案为：1500；
由图象可得，
小明的跑步速度为：，
小明从B地到C地用的时间为：，
点N的坐标为，
设MN段的函数表达式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即MN段的函数表达式为；
令，
，
解得，
，
即小明距B地750m时所用的时间为
根据图象中的数据，可以计算出从A地到C地的距离；
先计算出小明跑步的速度，即可计算出小明从B地到C地用的时间，从而可以写出点N的坐标，再根据点M的坐标，即可得到MN段的函数表达式；
令中s的值为750，求出相应的t的值，再用此时t的值减8，计算出结果，即可得到小明距B地750m时所用的时间．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19.【答案】3 1或
【解析】解：①当时，的演变函数为，
把代入得：，
故答案为：3；
②当时，把代入得：，
解得；
当时，把代入得：，
解得；
的值为1或；
故答案为：1或；
①把、代入得：
，
解得，
、，
把代入，代入得：
，
解得，
一次函数的表达式为；
②设一次函数的图象与y轴交点为K，如图：
在中，令得，
在中，令得，
一次函数的演变函数图象与y轴交点C的坐标为；
在中，令得，
，
，
；
的面积为18；
③在一次函数的演变函数图象存在点P，使得，理由如下：
设，
当时，，
、，
，
解得，
的坐标为；
当时，，
、，
，
解得，
的坐标为；
综上所述，P的坐标为或
①把代入可得；
②当时，把代入得；当时，把代入得；
①把、代入求出、，把代入，代入可得一次函数的表达式为；
②设一次函数的图象与y轴交点为K，求出一次函数的演变函数图象与y轴交点C的坐标为和，知，故；
③设，当时，，可得，解得，有P的坐标为；当时，，有，解得，知P的坐标为
本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解演变函数的定义．
20.【答案】解：由题意得：，
将点A的坐标代入上式得：，则，
则直线AB的表达式为：；
如图，由点A、B的坐标得，，
由题意得：，则，
设，则，
则，即，
解得：，
即点；
若，即，则，
设点，
由，，
即，，
即，，
即，，
上述两式相减并整理得：，
则，
解得：，
则，
即点；
当点P在AB的下方时，
设点，点，
设直线AP交y轴于点H，过点H作于点G，
，则为等腰直角三角形，则，
，，
，
，
≌，
则，，
即且，
解得：，，
即点，
由点A、H的坐标得，直线AP的表达式为：；
当点在AB上方时，
则直线，
则直线表达式中的k值为，
则直线AP的表达式为：，
综上，直线AP的表达式为：或
【解析】由待定系数法即可求解；
由，即，即可求解；
若，即，则，进而求解；
当点P在AB的下方时，证明≌，得到点，进而求解；当点P在AB上方时，同理可解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、勾股定理的运用、面积的计算等，分类求解是解题的关键．