四川省成都市2023_2024学年高二数学上学期期中联考试题

这是一份四川省成都市2023_2024学年高二数学上学期期中联考试题，共12页。试卷主要包含了4C．69D．69等内容，欢迎下载使用。
考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．袋中装有4个大小、质地完全相同的带有不同标号的小球，其中2个红球，2个绿球，甲摸一个后不放回，乙再摸一个，试验所有可能的结果数为
A．8B．9C．12D．16
2．某大型联考有16000名学生参加，已知所有学生成绩的第60百分位数是515分，则成绩在515分以上的人数至少有
A．6000人B．6240人C．6300人D．6400人
3．给出下列命题：
①若空间向量a，b满足，则a与b的夹角为钝角；
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量c，若，则；
④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底．
其中说法正确的个数为
A．0B．1C．2D．3
4．某地高校有100人参加2023数学建模竞赛，成绩频数分布表如下，根据该表估计该校大学生数学建模竞赛成绩的平均分为
A．59B．59.4C．69D．69.4
5．若，，，则事件A与B的关系为
A．相互独立B．互为对立C．互斥D．无法判断
6．把边长为的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD与平面CBD所成二面角的大小为，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为
A．B．C．D．
7．某校2023年秋季入学考试，某班数学平均分为125分，方差为．成绩分析时发现有三名同学的成绩录入有误，A同学实际成绩137分，被错录为118分；B同学实际成绩115分，被错录为103分；C同学实际成绩98分，被错录为129分，更正后重新统计，得到方差为，则与的大小关系为
A．B．C．D．不能确定
8．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面所截得到的，其中，则BC中点G到平面的距离为
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．一组数据的平均数为，方差为，新数据的平均值为，方差为．下列结论正确的是
A．B．C．D．
10．下面结论正确的是
A．若事件M与相互独立，则与N也相互独立
B．若事件M与是互斥事件，则M与N也是互斥事件
C．若，，M与N相互独立，则
D．若，，则M与N互为对立事件
11．某单位健康体测，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，该单位全体工作人员平均体重和方差分别为
A．B．C．D．
12．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，底面ABCD，，点O是AC中点，点M是棱SD上的动点（M与端点不重合）．下列说法正确的是
A．从A、O、C、S、M、D六个点中任取三点恰能确定一个平面的概率为
B．从A、O、C、S、M、D六个点中任取四点恰能构成三棱锥的概率为
C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为
D．不存在点M，使平面SBC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某射击运动员每次击中靶心的概率均为0.6．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次至少击中2次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中靶心，4，5，6，7，8，9表示击中靶心；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：
8636029371409857572703474373964746983312
6710037162332616959780456011366142817424
据此估计，该射击运动员射击4次至少击中2次靶心的概率为______．
14．某区从11000名小学生、10000名初中生和4000名高中生中采用分层抽样方法抽取名学生进行视力测试，若初中生比高中生多抽取60人，则______．
15．某高中的独孤与无极两支排球队在校运会中采用五局三胜制（有球队先胜三局则比赛结束）．第一局独孤队获胜概率为0.4，独孤队发挥受情绪影响较大，若前一局获胜，下一局获胜概率增加0.1，反之降低0.1．则独孤队不超过四局获胜的概率为______．
16．已知空间向量a，b，c两两之间的夹角均为，且，，，若向量x，y分别满足与，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
某稻谷试验田试种了A，B两个品种的水稻各10亩，并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表，记A，B两个品种各10亩产量的平均数分别为和，方差分别为和．
（1）分别求这两个品种产量的极差和中位数；
（2）求，，，；
（3）依据以上计算结果进行分析，推广种植A品种还是B品种水稻更合适．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，，点E为BC的中点，点H在线段PD上且．
（1）用向量，，表示向量；
（2）求EH的长．
19．（12分）
药品监督局检测某种产品的两个质量指标x，y，用综合指标核定该产品的等级．若，则核定该产品为一等品．现从一批该产品中随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件B为“在抽取的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件B的概率．
20．（12分）
如图四边形ABCD是平行四边形，，四边形ABEF是梯形，，且，，，沿AB将四边形ABCD翻折后使得平面平面ABEF．
（1）求证：平面ACE；
（2）求二面角的正弦值．
21．（12分）
某中学参加成都市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）补全频率分布直方图，若只有20%的人能进决赛，入围分数应设为多少分（保留两位小数）；
（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为80～100的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取3名学生进行问卷调查，求至少有1名学生成绩不低于90的概率；
（3）进入决赛的同学需要再经过考试才能参加冬令营活动．考试分为两轮，第一轮为笔试，需要考2门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A+，A，B，C，D五个等级．若两科笔试成绩均为A+，则直接参加；若一科笔试成绩为A+，另一科笔试成绩不低于B，则要参加第二轮面试，面试通过也将参加，否则均不能参加．现有甲、乙、丙三人报名参加，三人互不影响．甲在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为，，，，；乙在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为，，，，；丙在每科笔试中取得A+，A，B，C，D的概率分别为，，，，；甲、乙、丙在面试中通过的概率分别为，，．求甲、乙、丙能同时参加冬令营的概率．
22．（12分）
如图，已知平行六面体的侧棱长为3，底面是边长为4的菱形，且，点E，F分别在和上．
（1）若，，求证：A，E，，F四点共面；
（2）求；
（3）若，点F为线段上（包括端点）的动点，求直线EF与平面所成角的正弦值的取值范围．
2023～2024学年度上期高中2022级期中联考
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．14．25015．0.23616．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
解：（1）由题意可知，极差：A产品为35，B产品为22，…………………………2分
中位数：A产品为63.5，B产品为65.5；…………………………4分
（2）由题意：，
，…………………………6分
，；…………………………8分
（3）结合第（2）问可知A，B两个品种水稻的产量平均数一样，但是B的方差较小，较稳定，所以推广B品种水稻更合适． …………………………10分
18．（12分）
解：（1）；…………………………5分
（2），，…………………………9分
，
． …………………………12分
19．（12分）
解：（1）一等品率为0.6；…………………………2分
（2），……………8分
． …………………………12分
20．（12分）
解：（1），，，…………………………2分
，，连接CA，
，…………………………4分
平面平面ABEF，平面平面，
平面ABEF，，，
平面ACE；…………………………6分
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，，，，，
，，，，…………………………7分
设平面ACE和平面CED的法向量分别为，，
，取，，…………………………8分
，取，，…………………………9分
， …………………………10分
，即二面角的正弦值为． …………………………12分
21．（12分）
解：（1）[70,80)的频率为，…………………………1分
；…………………………2分
（2）[80,90)抽取4人，[90,100]抽取2人，设事件A：“至少有1名学生成绩不低于90”，
；…………………………5分
（3），…………………………7分
，…………………………9分
， …………………………11分
所以P(甲)P(乙)P(丙)． …………………………12分
22．（12分）
解：（1），，，
，所以四点共面；…………………………3分
（2），
上的所有的点到平面的距离都相等，同理上所有的点到的距离也相等，
，…………………………4分
，
在平面的射影落在AC上，过点作，过点作，
底面是边长为4的菱形，侧棱长为3，，，…………………………5分
；…………………………6分
（3）建立如图所示空间直角坐标系，由（2）可知，，
，，，，，，
，，
设为平面A1AB的法向量，
，
取，，，
，…………………………8分
，
，
，
，
， …………………………10分
，
，
． …………………………12分
部分解析：
1．解：设4个小球分别为A1，A2，B1，B2，则试验结果为．
2．解：，．
4．解：．
5．解：，得，
又．
6．解：取BD中点O，连接AO，CO，以OB，OC分别为x，y轴建立空间直角坐标系，则，
，，，用余弦定理可求出结果为．
7．解：设班级人数为n，因为，所以更正前后平均分不变，且
，所以．
8．解：以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
，，
设为平面的法向量，，
由，得，
令，，
所以，又，
点C到平面的距离为．
9．解：方差只与系数有关．
11．解：依题意，设男性人数为5a，女性人数为3a，该单位全体人员体重的平均数为：
，
所以该单位全体人员体重的方差为：．
12．解：任取3点，有20个样本点，除开A、O、C和S、M、D分别共线，其余18种均不共线，故概率为；任取4点，共有15个样本点；每条直线上任取2个点，则共有9个样本点，故概率为．故A、B正确．
以A为空间原点建立空间直角坐标系，设，，则，
，，解得，，方程有解，故C正确．
设平面SBC的法向量，由，可得，故D错误．
13．解：恰好0次击中包含3321一个样本点，恰好1次击中包含6233，0293，0371，6011四个样本点，故至多击中一次包含五个样本点，对立事件至少2次击中则包含15个样本点，故概率为．
14．解：，解得，从而求出.
15．解：由题意，甲取胜的可能结果为四个互斥事件：，，，，
．
16．解：，，，
因为，所以，
，所以，
令，则，且，
由，得，所以，
所以，当且仅当，，c共线时等号成立，故答案为．
几何法：令，设，，，，令，则；
令，则，过点E作平面，使得OE；
过点F作平面，使得OF；
，即点P在平面上；，即点X在平面上；
由，即点Y在以点P为球心的球面上；
故，此时P，Y，X三点共线，且PX，
即，，c共线．
成绩分组/分
[45,55)
[55,65)
[65,75)
[75,85)
[85,95]
人数/人
4
25
50
15
6
A（单位：10kg）
60
63
50
76
71
85
75
63
63
64
B（单位：10kg）
56
62
60
68
78
75
76
62
63
70
产品编号
A1
A2
A3
A4
A5
质量指标(x,y)
(1,2)
(2,2)
(2,4)
(1,3)
(2,3)
产品编号
A6
A7
A8
A9
A10
质量指标(x,y)
(1,5)
(3,1)
(2,1)
(1,1)
(2,3)
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
B
D
A
D
C
D
9
10
11
12
CD
AC
AD
ABC