河北省石家庄2024-2025学年高二上学期期中 数学试题（含解析）

这是一份河北省石家庄2024-2025学年高二上学期期中 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．两平行直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在四面体中，是棱上一点，且是棱的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
4．已知直线的斜率为，则直线的一个方向向量的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．6
7．设k为实数，直线与圆交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无法确定
8．在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知曲线的方程为（），则下列说法不正确的有（ ）
A．不存在，使得曲线表示圆
B．若曲线为双曲线，则
C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则
D．存在实数使得曲线为等轴双曲线
10．如图，点是边长为2的正方体的表面上一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．当点在侧面上时，四棱锥的体积为定值
B．存在这样的点，使得
C．当直线与平面所成的角为时，点的轨迹长度为
D．当时，点的轨迹长度为
11．（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A．点P的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5
D．点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
三、填空题
12．若直线是双曲线的一条渐近线，则 .
13．已知向量,若,则的值为 ．
14．已知P为椭圆上一点，分别为圆和圆上的点．则的最小值为 ，最大值为 ．
四、解答题
15．已知点，直线：.
(1)求过点，且与直线平行的直线的方程；
(2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程.
16．已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知，是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程．
17．如图，在四棱锥中，与交于点O，E为中点，经过P，E，O三点的平面交直线于点F，且．
(1)证明：平面；
(2)当时，求二面角的余弦值．
18．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且．
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求过点且与点P的轨迹相切的直线方程；
(3)若点的轨迹上运动，求的取值范围．
19．已知椭圆的短轴长为2，离心率，椭圆C的左顶点为A，右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线分别交于G，H两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求线段GH的长度的最小值；
(3)在线段GH的长度取得最小值时，椭圆C上是否存在一点T，使得△TPA的面积为1，若存在求出点T的坐标，若不存在，说明理由.
参考答案：
1．B
【分析】根据直线方程直接确定倾斜角.
【详解】由直线与轴垂直，即其倾斜角为.
故选：B.
2．C
【分析】先由两直线平行求出，再代入两平行直线间距离公式求解即可；
【详解】由题意知，所以，
则化为，
所以两平行直线与之间的距离为．
故选：C．
3．D
【分析】根据空间向量的加减法进行计算.
【详解】由题意，得
．
故选：D．
4．D
【分析】根据给定条件，利用直线方向向量的意义求得答案.
【详解】斜率为的直线的一个方向向量为，因此直线的一个方向向量为，
而ABC中向量与不共线，，
所以直线的一个方向向量的坐标为.
故选：D
5．C
【分析】根据给定条件，列出变轨前后椭圆长半轴长和离心率的关系等式，即可求解得答案.
【详解】设变轨前椭圆的长半轴长和离心率分别为，则半焦距为，
设变轨后椭圆的长半轴长为，显然变轨后椭圆离心率为，半焦距为，
依题意，，整理得，即，
而，解得，
此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为.
故选：C
6．B
【分析】先求得点到直线的距离的表达式，然后根据二次函数的性质求得最小值.
【详解】，所以点到直线的距离为
，
所以当时，距离有最小值为.
故选：B
7．C
【分析】找到直线所过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可确定交点数.
【详解】由，即直线恒过，而圆可化为，
所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点.
故选：C
8．A
【分析】根据两圆相切的条件，结合双曲线的定义求轨迹方程．
【详解】由已知圆半径为，
如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心，，即，
取，连接，是中点，
则，因此，
当两圆内切时，记点为，的中点为D，，
，
所以动点满足，而，
所以点轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线，
，则，又，因此，
双曲线方程为，
故选：A．
9．ABD
【分析】结合圆、双曲线、椭圆即等轴双曲线的方程的性质逐项计算即可得.
【详解】对A：令，解得，此时：，此时曲线表示圆，故A错误；
对B：若曲线为双曲线，则，解得或，故B错误；
对C：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；
对D：若曲线为等轴双曲线，则有，此时无解，故不存在实数使得曲线为等轴双曲线，故D错误.
故选：ABD.
10．ACD
【分析】对于选项A，求出四棱锥的体积即可判断；对于选项B，结合空间向量的线性运算即可判断；对于选项C，分当点在侧面，侧面上以及当点在上底面上，和点在侧面上三种情况分类讨论即可判断；对于选项D，分当在底面上和点在侧面上分类讨论即可判断.
【详解】对于选项A，点到侧面的距离即为2，，
故四棱锥的体积，
所以四棱锥的体积为定值，故A选项正确；
对于选项B，因为，
而，因此点是的中点，
所以这样的点不在正方体的表面上，故B选项错误；
对于选项C，①当点在侧面，侧面上时（不包括正方形
的边界），过点作平面的垂线，垂足为，连，在
中，由，可得；②当点在上底面
上时，过点作平面的垂线，
垂足为，若，必有，又由，有
，此时点的轨迹是以为圆心，2为半径的四分之一圆，
点的轨迹长度为；③当点在侧面上时，
点在线段上符合题意，
此时点的轨迹长为；由上知点的轨迹长度为，故C选项正确；
对于选项D，①当在底面上时，点的轨迹为以为圆心，
为半径的圆与底面的交线，记圆与相交于点，与交于点，
有，可得，
则点的轨迹与底面的交线长为；
②当点在侧面上时，，
可得点的轨迹与侧面的交线为以点为圆心，
为半径的四分之一圆，交线长为．
由对称性可知，点的轨迹长度为，故D选项正确．
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：对于立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.
11．ABC
【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点.
【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半，
所以，化简可得，故选项A正确；
对于B，联立方程组，可得，
解得，故存在点，
所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确；
对于C，过点P作垂直直线，垂足为B，
由题意可得，，则，
由图象可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故选项C正确；
对于D，由可得，
即圆心为，半径为1，
易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误.
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
12．2
【分析】先根据双曲线方程判断焦点位置，写出其渐近线方程，比较即得.
【详解】因双曲线的焦点在轴上，且，
故其渐近线方程为，依题意，易得.
故答案为：2.
13．
【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．
【详解】；
∵；
∴；
解得k＝﹣6．
故答案为﹣6．
【点睛】本题考查空间向量坐标运算，向量垂直的充要条件，熟记坐标运算性质，准确计算是关键，是基础题.
14． 7 13
【分析】首先根据椭圆方程求出，由此可知两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，，进而根据椭圆的定义即可求解.
【详解】由椭圆方程知，两圆的圆心分别为椭圆的左、右焦点，，
设两圆半径分别为，，则，.
∴，|，
，|，
故的最小值为；
的最大值为.

故答案为：7；13
15．(1)；
(2).
【分析】（1）由直线与直线平行可设其方程为，代入点，求可得结论；
（2）求点关于直线的对称点，利用点斜式求反射直线方程.
【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为，
故可设直线的方程为，
因为点在直线上，
所以，
所以，
所以直线的方程为；
（2）设点关于直线的对称点为．
由题意得，
解得，所以点的坐标为，
所以反射光线所在直线方程为，即．

16．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意设方程，求出，即可求解.
（2）设两点坐标，代入双曲线方程，两式作差，结合中点坐标公式，即可求出直线的斜率，由直线的点斜式方程，求出直线的方程，与双曲线联立方程，满足，即可得到直线的方程.
【详解】（1）因为双曲线与双曲线有相同的渐近线，
所以可设其方程为，
将点的坐标代入得，则所求双曲线的标准方程为．
（2）设，，因为的中点为，则，，
因为，所以，
即，则，所以，
所以直线的方程为，即．
当直线为时，联立方程，得，，符合题意，故直线的方程为.
17．(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）建系标点，利用向量可得，结合题意可知线面垂直；
（2）根据题意结合空间向量列式可得点，进而可求平面、平面的法向量，利用空间向量求二面角.
【详解】（1）如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
因为，可得，则，
可得，
因为，可知，
又因为，，平面，
所以平面.
（2）设，
则，
由题意可得：，解得，即，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
由题意可知：平面的法向量，
则，
由题意可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.
18．(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）设，把，用坐标表示化简整理即可；
（2）按切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设出直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解；
（3）由得，代入圆方程后由判别式大于或等于0求解．
【详解】（1）设，∵，
所以，化得得，即为点轨迹方程；
（2）由（1）知点轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
切线斜率不存在时，方程为，此直线与圆相切，满足题意，
切线斜率存在时，设方程为，即，
由，解得，切线方程为，即，
∴切线方程为或；
（3），则，代入圆方程得，
即，
∴，解得．
19．(1)
(2)8
(3)存在，或
【分析】（1）由离心率和，求出，得到椭圆方程；
（2）设直线AP的方程为，得到，联立直线AP和椭圆方程，得到，从而得到直线方程为，故，表达出，由基本不等式得到最小值；
（3）求出，，根据三角形面积求出点T到直线AP的距离等于，设直线，联立椭圆方程，根据根的判别式得到，由平行线距离公式得到，从而联立直线与椭圆方程，求出点T的坐标.
【详解】（1）由知，又，，
故，
故椭圆C的方程为
（2）直线AP的斜率k显然存在，且，
故可设直线AP的方程为，令得，
故
由 可得，
设，则，所以，，
即，又，
故直线的斜率为，
直线方程为中，令得，
故，，
又，由基本不等式得，
当且仅当，即时等号成立.
所以时，线段GH的长度取最小值8；
（3）由（2）可知，当GH取最小值时，.
则直线AP的方程为，此时，
若椭圆C上存在点T，使得的面积等于1，设点T到直线AP的距离为，
则，解得，
则点T到直线AP的距离等于，
所以T在平行于AP且与AP距离等于的直线l上.
设直线，
则由 得，
，解得，
由平行线间距离公式得，解得或2（舍去），
由得，
当时，，当时，，
可求得或.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
D
C
B
C
A
ABD
ACD
题号
11









答案
ABC