黑龙江省牡丹江市2024−2025学年高二上学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省牡丹江市2024−2025学年高二上学期期中考试 数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．直线斜率是（ ）
A．B．C．3D．2
2．圆C：的半径为（ ）
A．9B．2C．3D．4
3．在方程中，下列，，全部正确的一项是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
4．经过两点的直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．不能表示过点Mx1,y1且斜率为k的直线方程
B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为
C．直线与y轴的交点到原点的距离为b
D．设，，若直线与线段AB有交点，则a的取值范围是
6．已知，，在x轴上方的动点M满足直线AM的斜率与直线BM的斜率之积为2，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．圆与圆的位置关系是（ ）
A．内含B．相交C．外切D．外离
8．椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知是椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，且，则（ ）
A．的周长为B．
C．点到轴的距离为D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．椭圆的离心率越大，椭圆越接近于圆B．椭圆离心率越大，椭圆越扁平
C．双曲线离心率越大，开口越宽阔D．双曲线离心率越大，开口越狭窄
11．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，过点作轴于点，则（ ）
A．B．抛物线的准线为直线
C．D．的面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．抛物线的准线方程为 .
13．直线与直线垂直，则直线在轴上的截距是 .
14．若椭圆的离心率是，则的值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．（1）椭圆经过两点坐标分别是和，求椭圆标准方程.
（2）双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程．
16．分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点为；
(2)焦点到准线的距离为.
17．斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点.
(1)求线段的长.
(2)为原点，求的面积.
18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上，求：
(1)求圆心为的圆的标准方程；
(2)设点在圆上，点在直线上，求的最小值；
(3)若过点作圆的两条切线，求过两个切点的直线方程.
19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
参考答案
1．【答案】C
【详解】根据直线的斜截式方程可知，直线斜率是3．
故选：C．
2．【答案】C
【详解】∵以为圆心，为半径的圆的标准方程是，
∴圆C：的半径为3，
故选：C．
3．【答案】C
【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，且，
∴，
故选：C．
4．【答案】D
【详解】经过两点的直线的斜率为，
因为直线的倾斜角大于等于小于，
故经过两点的直线的倾斜角是，
故选：D
5．【答案】A
【详解】对于选项A：由可知，所以不过点,，故选项A正确，
对于选项B：当时，在轴、轴上的截距分别为0的直线不可用表示，故选项B错误，
对于选项C：直线与轴的交点为，到原点的距离为，故选项C错误，
对于选项D：直线方程可化为，恒过定点，画出图形，如图所示，
，，
若直线与线段有交点，则，或，
即或，故选项D错误，
故选：A．
6．【答案】B
【详解】设动点，
由于，，根据直线与的斜率之积为．
整理得，化简得：．
故选：B
7．【答案】C
【详解】圆的圆心，半径，
圆，即的圆心，半径，
则，即有，
所以圆与圆外切.
故选：C
8．【答案】C
【详解】设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，
，又,，，，，则，即线段的长度的取值范围是，故选C.
9．【答案】BCD
【分析】A．根据椭圆定义分析的周长并判断；
B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出的值，结合三角形的面积公式求解出并判断；
C．根据三角形等面积法求解出点到轴的距离并判断；
D．根据向量数量积运算以及的值求解出结果并判断.
【详解】A．因为，
所以，故错误；
B．因为，，
所以，
所以，所以，故正确；
C．设点到轴的距离为，
所以，所以，故正确；
D．因为，故正确；
故选：BCD.
10．【答案】BC
【详解】对于AB，椭圆的离心率，故离心率越大，越小，因此椭圆越扁平，故A不正确，B正确；
对于CD，双曲线的离心率，故离心率越大，可得越大，因此双曲线开口越大，C正确，D错误；
故选：BC．
11．【答案】AD
【分析】根据抛物线的定义以及焦半径的长度可求出值，即可判断选项，根据点在抛物线上即可求出点的纵坐标，即可判断选项，利用三角形的面积公式即可求出的面积，即可判断选项.
【详解】抛物线的准线为直线，设点在第一象限，过点向准线作垂线垂足为，
由抛物线的定义可知，解得，
则抛物线的方程为，准线为直线，故A正确，B错误；
将代入抛物线方程，解得，故C错误；
焦点，点，即，
所以，故D正确；
故选：AD．

12．【答案】
【解析】根据抛物线的性质得结论．
【详解】由抛物线方程得，焦点为，准线方程为．
故答案为：．
13．【答案】
【分析】根据两直线垂直求出实数的值，可得出直线的方程，进而可求得直线在轴上的截距.
【详解】因为直线与直线垂直，
则，解得，
所以，直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，故直线在轴上的截距是.
故答案为：.
14．【答案】或
【分析】
分焦点在轴和轴分类讨论，结合离心率得表达式即可求解
【详解】
①当椭圆的焦点在x轴上时，由题意得，解得；
②当椭圆的焦点在y轴上时，由题意得，解得.
综上所述，或
故答案为：或
【点睛】
本题考查由椭圆的离心率求解参数值，属于基础题
15．【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设椭圆方程为，
∵椭圆经过和两点，
∴，解得，
∴椭圆的标准方程为
（2）∵双曲线的右焦点为，
双曲线的一条渐近线方程为且，
∴且，而，∴，
∴所求双曲线方程为．
16．【答案】(1)
(2)或或或.
【详解】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，，
抛物线的标准方程为.
（2）由焦点到准线的距离为，可知.
所求抛物线的标准方程为或或或.
17．【答案】(1)8
(2)
【详解】（1）∵抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为1，
∴直线方程为，
由，得，
设，则，
则由抛物线焦点弦长公式得：．
（2）点到直线的距离为，
则的面积．
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设圆的标准方程为，
因为圆经过和点，且圆心在直线上，
所以，解得：，
所以圆的标准方程为.
（2）因为圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，
所以的最小值为.
（3）记点和圆心，
则线段的中点为，，
∴以为直径的圆的方程为，即，
又圆的标准方程为，即，
将两圆的方程相减可得公共弦的方程为，
即过两个切点的直线方程为.
19．【答案】(1)
(2)是，证明见解析
【详解】（1）由，得，所以a2 =9b2①，
又椭圆过点，则②，
由①②解得a=6，b=2，所以椭圆的标准方程为
（2）设直线MA的斜率为k，点， 因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为-k.
联立直线MA与椭圆方程，得
整理，得，
所以，同理可得，
所以，
又
所以为定值.