江苏省宿迁市2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份江苏省宿迁市2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出斜率即可求解.
由，可知直线斜率为，
所以，
所以，
故选：A
2. 圆与圆的位置关系为（）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，求出两圆的圆心距，再结合圆与圆位置关系的判断方法，即可求解.
因为圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
，
所以两圆外切.
故选：B.
3. 已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对称关系得出直线斜率及直线所过的点即可得解.
因为，所以，
又的中点在直线l上，
所以直线l的方程为，即，
故选：A
4. 设为实数，若直线与平行，则它们之间的距离为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行的充要条件求出，再根据两平行间的距离公式求解.
由题意，，解得，
所以直线，即与直线间的距离为.
故选：A.
5. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据椭圆的定义求出，再由焦点坐标求出，求出离心率即可.
设椭圆的两个焦点为，，点，
则，，
，所以椭圆的离心率为.
故选：C.
6. 椭圆以双曲线的两个焦点为长轴的端点，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线方程确定焦点坐标及顶点坐标，进而可求解.
由
可得其焦点坐标为：，顶点坐标
所以椭圆长轴端点坐标：，焦点坐标为，
所以椭圆方程为：，
故选：C
7. 过抛物线的焦点的弦，其中点在第一象限，若，则直线的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，根据可得，设直线方程联立抛物线，由根与系数关系得出，即而求出B点，根据斜率公式求解即可.
设，
由，可得，即
，
设直线方程为：，
，，
，
故选：D
8. 已知椭圆的上顶点为，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，则的周长为（）
A. 10B. 8C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取椭圆的右焦点，易证直线是线段的垂直平分线，可得，，结合椭圆的定义求得答案.
由椭圆方程可得，，则，
如图，取椭圆的右焦点，连接，
则，即为正三角形，
又直线的斜率为，则直线的倾斜角为，即，
所以直线是线段的垂直平分线，
所以，，
所以的周长为
.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题．每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设为实数，直线：，点，，则下列说法正确的有（）
A. 直线过定点
B. 若点，到直线的距离相等，则
C. 直线与轴一定相交
D. 若直线不过第二象限，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线过定点的求法判断A，由特殊情况直线与两点连线平行判断B，分析直线不能写成的形式判断C，取特例判断D.
由直线：，可得，
当，即时，方程恒成立，
即直线过定点，故A正确；
当直线与平行（或重合）或直线过的中点时，点，到直线的距离相等，
由，可知时，直线为，与平行，符合题意，故B错误；
由直线：可知，直线倾斜角不可能为0，所以一定与x轴相交，故C正确；
直线不过第二象限，当时，直线方程为，满足题意，故D错误.
故选：AC
10. 设为实数，方程表示圆，则下列说法正确的有（）
A.
B. 若，则圆和两坐标轴均相切
C. 若圆关于直线对称，则
D. 无论取任何实数，总存在一条定直线与圆相交
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据二次方程表示圆的条件判断A，假设与轴相切求出判断B，由直线过圆心判断C，根据圆心在直线上判断D.
当方程表示圆时，，解得，故A正确；
若圆与轴相切，令，可得，由
解得，故B错误；
若圆关于直线对称，则直线过圆心，由可得，
圆心代入直线方程，可得，且此时满足，故C正确；
由C知，圆心为，即圆心在直线上，所以不论m取何值，都过圆心，与圆相交，故D正确.
故选：ACD.
11. 在平面直角坐标系中，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，直线，分别交抛物线准线于，两点，则下列说法正确的有（）
A. 轴B.
C. 以为直径的圆与抛物线准线恒相交D. 面积的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】设直线，联立方程可得韦达定理.对于A：求点C的坐标，结合韦达定理分析判断；对于B：：求点D的坐标，结合数量积分析判断；对于C：根据抛物线的定义分析判断；对于D：结合韦达定理就面积，即可判断.
由题意可知：抛物线焦点，准线，
显然直线的斜率可以不存在，但不为0，此时直线与抛物线必相交，
设直线，
联立方程，消去x可得，
可得.
对于选项A：可知直线，
令，可得，即，
所以轴，故A正确；
对于选项B：同理可得：，轴，
则，可得，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，
由梯形中位线可知：以为直径的圆的圆心到准线的距离为，
即圆心到准线的距离等于半径，所以以为直径的圆与抛物线准线恒相切，故C错误；
对于选项D：因为，
可得面积，
当且仅当时，等号成立，
所以面积的最小值为.
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解．
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求最值（注意：有时需先换元后再求最值）.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设为实数，直线：，：，若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】当两条直线垂直时，若直线与直线垂直，则满足.我们可以根据这个定理来求解的值.
对于直线和，根据两直线垂直的定理，则可得方程.
对进行求解.
.
故答案为：.
13. 圆上有且只有2个点到直线的距离等于1，则半径的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】计算圆心到直线的距离为1，根据条件得到，解得答案.
圆心的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为圆上只有两个点到直线的距离等于1，
所以，即，解得.
故答案为：.
14. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射关线的反向延长线经过双曲线的左焦点．设，若双曲线：的左，右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的，两点反射后，分别经过点，，，，则的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义及勾股定理求解即可.
由，，则，，
设，，则，，
由双曲线定义得，，
，解得，
所以，，
在直角三角形中，，
则，即，又，
，解得.
故答案为：3.
，
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知的顶点，直线的方程为，边上的中线所在的直线方程为．
（1）求顶点，的坐标；
（2）求的面积．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）联立直线与方程，可得点，设，表示中点，根据在直线上，在直线上，可列方程，解方程即可；
（2）根据点与的坐标可得，再根据点到直线的距离可得面积.
【小问1】
由已知，，
则，解得，即，
设，则中点，
又点直线上，点在直线上，
即，解得，即；
【小问2】
由（1）得，
点到直线的距离，
则.
16. 设为实数，圆的方程为．
（1）若圆和圆的公共弦长为，求的值；
（2）若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程．
【答案】（1）1或
（2）
【解析】
【分析】（1）求出两圆公共弦所在直线方程为，结合弦长求得；
（2）结合已知条件求出圆的方程，求出圆心和半径，设出圆的标准方程，利用切点以及两圆圆心共线求出圆的圆心的横纵坐标之间的关系，然后利用圆半径相等即可求解.
【小问1】
由题知两圆相交，
将圆与圆相减可得，
即两圆公共弦所在直线方程，
圆心到直线的距离为，
所以，解得或，
所以实数的值为或.
【小问2】
将点代入圆，可得，
所以圆的方程为，即，
所以圆的圆心为，半径为，
设圆的标准方程为，
因为圆与圆相切于点，所以、、三点共线，
所以直线的方程为，即，
将点代入得①，又点在圆上，
则，即②，
由①②两式解得，，，
所以圆的标准方程为.
17. 已知动点到点的距离比到直线的距离小，过作圆的一条切线，为切点，过作直线的垂线，垂足为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）当、、三点共线时，求线段长；
（3）判断满足的点有几个，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）个，；理由见解析
【解析】
【分析】（1）分析可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的方程，即可得出点的轨迹方程；
（2）当、、三点共线时，求出点的坐标，并求出，再利用勾股定理可求得PQ的值；
（3）由题意可得出，由两点间的距离公式化简得出的中垂线方程，判断该直线与抛物线的位置关系，即可得出结论.
【小问1】
由题意可知，点到点F1,0的距离等于点到直线的距离，
所以，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的方程，
设其方程为，则，可得，所以，点的轨迹方程为.
【小问2】
由题意可知，当、、三点共线时，因为点，直线的方程为，
联立，解得，此时，点，则，
因为，由勾股定理可得.
【小问3】
因为，由题意可得，
化简可得，
联立，可得，，
故满足条件的点有两个.
18. 已知双曲线：的右顶点为，实轴长为4，过双曲线的左焦点作直线，当直线与轴垂直时，直线与双曲线的两个交点分别为，，此时为等腰直角三角形．
（1）求双曲线的方程；
（2）当直线与双曲线的渐近线平行时，求直线与双曲线的交点坐标；
（3）当直线与双曲线的左支交于，两点时，直线，分别交直线于，两点，在轴上是否存在定点，使得点始终在以线段为直径的圆上？若存在，求出点坐标，否则，请说明理由．
【答案】（1）
（2）或.
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据关系得到方程组，解出即可；
（2）写出渐近线方程，再利用平行关系得到直线的方程，联立双曲线方程解出即可；
（3）设设的方程为，联立双曲线方程得到韦达定理式，再写出相关直线方程，得到相关点坐标，写出两点直径式，代入韦达定理式即可.
【小问1】
由题意得，解得，
所以双曲线的方程为：.
【小问2】
渐近线方程为，
当直线与平行时，直线的方程为：，
联立解得
当直线与平行时，直线的方程为：，
联立解得，
所以直线与双曲线的交点坐标为或.
【小问3】
因为双曲线的渐近线方程为：，
显然当直线与轴重合时，不合题意，故设的方程为，，，
直线的方程为：，
当时，，即P点坐标为，
直线的方程为：，
当时，，即点坐标为，
所以以为直径的圆方程为：，
当时，
联立，消去得，其中，
Δ=-24m2-4(3m2-1)×36>0，且，
所以，.
，
所以，
所以或.
所以轴上存在定点或始终在以为直径的圆上.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法并与双曲线方程联立得到韦达定理式，写出两点直径式方程，并代入韦达定理式即可.
19. 已知椭圆过点，离心率为，左、右焦点分别为、，右顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆的另外一个交点为，当的面积最大时，求直线的方程；
（3）若点、是直线上不同的两点，则向量以及与它平行的非零向量都称为直线的方向向量，当直线时，直线的方向向量称为直线的法向量．设、为实数，直线的一个法向量为，为直线上任一点，点为坐标平面内的定点，我们把称为点在直线上的投影数量．当与椭圆相切时，点、在直线上的投影数量的乘积是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）是定值，且定值为
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；
（2）求出直线的方程，设点，其中，利用点到直线的距离公式，辅助角公式可求得点到直线距离的最大值及其对应的的值，可得出点的坐标，进而可求得直线的方程；
（3）设直线与椭圆相切于点，则，先证明椭圆在点处的切线方程为，可得出直线的一个法向量，再利用投影的概念可求得点、在直线上的投影数量的乘积，即可得出结论.
【小问1】
由题意可得，解得，
因此，椭圆的方程为.
【小问2】
易知点，直线的斜率为，
则直线方程为，即，
若的面积最大，则点到直线的距离取最大值，
设点，其中，
则点到直线的距离为，
因为，则，
故当时，即当时，取最大值，此时点，
所以，直线的斜率为，则直线的方程为，
故当的面积最大时，直线的方程为.
【小问3】
若直线的方程为，则该直线的斜率为，该直线的一个方向向量为，
该直线的一个法向量为，
设直线与椭圆相切于点，则，
首先证明椭圆在点处的切线方程为，
联立可得，解得，
所以，椭圆在点处的切线方程为，即，
所以，直线的一个法向量为，
，，
所以，点在直线上的投影为，
点在直线上的投影为，
所以，点、在直线上的投影数量的乘积为.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．