天津市滨海新区2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份天津市滨海新区2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知圆和，则两圆的位置关系是（ ）
A．外离B．外切C．内含D．内切
3．抛物线的准线方程是，则的值是
A．B．C．4D．
4．若直线与直线平行，则实数的取值为（ ）
A．或B．C．D．
5．设，向量，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
6．若双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则
A．B．C．4D．2
7．已知线段的端点B的坐标是，端点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（ ）
A．B．
C．D．
9．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）.
A．B．
C．D．
10．下列四个命题，其中真命题是（ ）
A．点关于平面对称的点的坐标是
B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．若，，则点到直线的距离为
D．向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是
11．双曲线的左焦点为，，点为双曲线右支上的动点且周长的最小值为14，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列说法中，正确的个数为（ ）
①椭圆的离心率为
②到的左焦点的距离的最小值为
③面积的最大值为
④若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．已知圆C过点，且圆心在x轴负半轴上，则圆C的标准方程为
14．焦点在轴上，右焦点到短轴端点距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是 ．
15．已知抛物线上的点到焦点的距离为3，则点到轴的距离为 ．
16．在四面体中，空间的一点满足，若、、、四点共面，则 ．
17．平行六面体的底面是边长为的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为 ．
18．已知圆与圆相交于点、．
①若，则公共弦所在直线方程为 ．
②若弦长，则 ．
19．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线交抛物线于两点，交于点，其中在第一象限，且，则直线的斜率为 .，若的面积为，则 .
20．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，过作渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线C的离心率为 ，过双曲线C上任一点Q作两渐近线的平行线QM，QN，它们和两条渐近线围成的平行四边形OMQN的面积为，则双曲线C的方程为 .
三、解答题
21．已知圆，直线过点.
(1)求圆的圆心坐标及半径长；
(2)若直线与圆相切，求直线的方程；
(3)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求.
22．设椭圆的离心率，过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求椭圆被直线截得的弦长.
(3)直线与椭圆交于两点，当时，求值.（O为坐标原点）
23．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的正弦值；
(3)记的中点为，若在线段上，且直线与平面所成的角的正弦值为，求线段的长．
24．设椭圆的左焦点为，下顶点为，上顶点为，是等边三角形.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线，过点且斜率为的直线与椭圆交于点（异于点），线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程.
参考答案：
1．B
【分析】先求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角.
【详解】直线的斜率为，对应倾斜角为.
故选：B
2．B
【分析】先分别求出两个圆的圆心和半径，然后判断圆心间的距离和半径之间的关系，最后判断两个圆的位置关系即可.
【详解】圆以为圆心，半径的圆，
圆，所以圆心，半径，
所以，所以两个圆外切，
故选：B
3．D
【分析】先将抛物线方程化成标准方程，再由准线方程，得到的方程，解得即可．
【详解】抛物线的标准方程为，其准线方程为，
又抛物线准线方程为，得，解得.
故选D．
【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，注意化成抛物线的标准方程，属于基础题．
4．B
【分析】由直线方程一般式两直线平行的系数关系即可求解，同时注意舍去直线重合的情况
【详解】由已知，若直线与直线平行，则需满足，解得,由于当时，两直线重合，因此
故选：B
5．A
【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可.
【详解】解：因为，，，
所以，则，
所以.
又因为，且，
所以，则，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
6．C
【分析】首先由双曲线方程确定的值，然后结合题意确定的值即可.
【详解】双曲线方程即：，则，
由于实轴长是虚轴长的两倍，故，
即.
故选C.
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质及其应用，属于中等题.
7．B
【分析】设出动点和动点的坐标，找到动点和动点坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.
【详解】设，，由中点坐标公式得，
所以，故，
因为A在圆上运动，
所以，
化简得，故B正确.
故选：B
8．D
【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】点M在线段OA上，且，
又，
∵N为BC的中点，
.
故选：D.
9．C
【解析】根据抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合可求得的值，可得出双曲线的标准方程，进而可求得该双曲线的渐近线方程.
【详解】抛物线的焦点，则双曲线的一个焦点为，
则，且该双曲线的焦点在轴上，，解得，
所以，双曲线的标准方程为，
该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
10．C
【分析】对于A，根据面对称点性质可判断，对于B，利用空间向量判断线面关系即可；对于C，根据向量投影坐标公式，勾股定理求解判断即可；对于D，根据向量投影坐标公式即可判断.
【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误；
对于B，，所以，则或，故B错误；
对于C，，所以，
则点到直线的距离为，故C正确；
对于D，根据向量投影坐标公式，故D错误.
故选：C
11．A
【分析】利用双曲线的定义将转化为，然后利用三点共线时取最小值求解即可.
【详解】∵，，
∵周长的最小值为14，
∴的最小值为14，即的最小值为，
设右焦点为，则，即，
则，即三点共线且依次排列时等号成立，
此时，即最小值为，得，
∵，∴离心率.
故选：A.
12．D
【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得，再求出最大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用“点差法”计算判断④.
【详解】对于①，直线，与椭圆都相切，且这两条直线垂直，因此其交点在圆上，
即有，则，椭圆的离心率，①正确；
对于③，依题意，点均在圆上，且，因此线段是圆的直径，
即有，显然圆上的点到直线距离最大值为圆的半径，即点到直线距离最大值为，
因此面积的最大值为，③正确；
对于②，令，有，令椭圆的左焦点，有，
则，而，
因此，即，
所以到的左焦点的距离的最小值为，②正确；
对于④，依题意，直线过原点O，即点A，B关于原点O对称，设，有，
于是得，
又由①知，，得，
所以，④正确，
所以说法正确的有①②③④.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题关键是对椭圆的蒙日圆及椭圆性质应用，及点差法得出斜率积等的应用.
13．
【解析】由圆的性质列方程求得圆心和半径后即可得解.
【详解】设圆C的圆心，半径为，
则，解得，
所以圆C的标准方程为.
故答案为：.
14．
【分析】由题意列出关于的等式，求解即可.
【详解】由右焦点到短轴端点距离为2，可得：，
即
由右焦点到到左顶点的距离为3，可得，所以，即，
所以椭圆方程为.
故答案为：
15．
【分析】利用焦半径公式，求点的坐标，即可求解.
【详解】设，
所以，得，代入，得，
所以点到轴的距离为.
故答案为：
16．
【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.
【详解】在四面体中，不共面，
因为，所以，
若、、、四点共面，则,
所以.
故答案为：.
17．
【分析】由平方即可求解.
【详解】由题意可知：，
则，
所以.
故答案为：
18． 或0
【分析】对于①直接由两圆方程相减得，对于②两圆的方程相减得直线方程，再结合弦长的几何法求解即可解决问题.
【详解】①若，则圆：，圆：，
两个方程相减得，
化简并整理得公共弦所在直线方程为，
②若弦长，
而两圆方程相减得，化简并整理得公共弦所在直线方程为，
则到直线的距离为：，
则，解得：，或，
故答案为：；或0.
19．
【分析】过、作、，垂足为、，设，则，根据抛物线的定义得到，从而求出，即可求出直线的斜率，设与轴交于点，即可得到，再根据面积公式求出，即可得解.
【详解】如图分别过、作、，垂足为、，设，则，
由抛物线定义得，，
所以，则，
所以，所以，
设与轴交于点，在中，由得，则，
所以，，
所以，所以，
由，解得（负值舍去），
所以.

故答案为：；
20．
【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的离心率.根据平行四边形OMQN的面积列方程，求得，从而求得双曲线的方程.
【详解】因为，所以，
作于H，如下图所示，则，.

又∵，
∴，
∴.
∴.
因为，所以双曲线C的渐近线方程为，如下图所示，

设，因为，所以，
所以.
设，点Q到两条渐近线的距离分别为，，
则四边形OMQN的面积为，
而，
所以，解得：，
∴，故双曲线C的方程为.
故答案为：；
【点睛】求解双曲线的标准方程，关键是求得，是两个未知参数，需要两个条件来求解，如本题中，平行四边形OMQN的面积以及两个条件，通过解方程来求得，从而求得双曲线的标准方程.
21．(1)圆的圆心坐标为，半径长为；
(2)或；
(3).
【分析】（1）把圆的一般方程化为标准方程，求圆心坐标和半径；
（2）对切线分斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，设直线点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径建立等量关系，当斜率不存在时，根据切线过点可求切线方程；
（3）根据圆心与切点的连线垂直于切线，结合勾股定理求解.
【详解】（1）圆方程可化为:，圆心坐标为，半径长为.
（2）①当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线距离为，满足题意．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程是，即.
由圆心到直线的距离等于半径得，，解得，
此时直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
（3）
∵圆的圆心坐标为，，
∴.
如图，由相切得，，，
∴.
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，从而得到椭圆的方程．
（2）联立直线与椭圆的方程，得韦达定理，进而根据弦长公式即可求解.
（3）根据向量的坐标运算即可代入韦达定理求解.
【详解】（1）由题意可知，解得，
椭圆的方程为．
（2）设椭圆与直线的交点为，，，，
联立方程，消去得，
，，
因此
（3）设，，
联立方程，消去得，
所以，，，得
由，即
，
，均符合，
故
23．(1)证明见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）连接，证出和，即可利用线面垂直判定定理得证；
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法直接求解面面角的余弦值，即可得到结果；
（3）设，利用向量法直接表示出线面角的正弦值，即可得到参数，进而得到结果.
【详解】（1）连接，则，
因为，所以四边形为平行四边形；
所以，
因为，，且为的中点，
所以，所以，
所以，即，
又因为，所以平面.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A2,0,0，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，
设平面的法向量为，
则，即，
取，
所以，
所以二面角的正弦值为.
（3）设，则，
而，所以，
由（II）知平面的法向量为，
设直线与平面所成的角为，则
，
化简得，解得：或，
故线段的长度为或．
24．（1）；（2）(ⅰ) ；（ii）
【分析】（1）首先根据题意得到，再根据，即可得到椭圆的离心率.
（2）(ⅰ)首先根据题意设椭圆方程为，直线为，联立解出的坐标，从而得到的坐标，利用直线交点解出的坐标，根据弦长公式求出，，再根据即可得到的值.(ⅱ)先用表示的坐标，根据四边形为平行四边形得到的坐标，再代入椭圆的方程即可得到答案.
【详解】（1）由题意可知，，即.
又因为 ，， ，所以.
（2）(ⅰ)
设椭圆方程为，直线为，
联立得，
解得：，则.
因为为中点，，
因为所在的直线方程为
令 解得
.
因为，所以，解得或 (舍)
所以.
(ⅱ)因为，所以，
设四边形为平行四边形，
所以，.
即 ，
又因为点在椭圆上，所以.
解得，，该椭圆方程为：.
【点睛】本题第一问考查椭圆的离心率，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于难题.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
D
B
A
C
B
D
C
C
题号
11
12








答案
A
D