2024-2025学年人教版数学九年级上册期末专题复习旋转部分重难点专项练习试卷

这是一份2024-2025学年人教版数学九年级上册期末专题复习旋转部分重难点专项练习试卷，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（23-24九年级上·）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．我们学习的文言文《木兰辞》中就有“对镜贴花黄”的诗句，这个花黄就是剪纸．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24九年级上）点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24九年级上·）如图，将绕点C顺时针旋转后得到，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24九年级上·）如图，中，，将绕点A顺时针旋转得到，当在边上时，的度数为（ ）

A．B．C．D．
5．（23-24九年级上）如图，在中，，将以点A为旋转中心逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为D，E．当点D落在边上时，交于点F，若，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24九年级上·）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在轴上，点的坐标为；中，，连接，点是中点，连接．将以点为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24九年级上·）二次函数图象的顶点坐标是，且图象与轴交于点．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转，则旋转后得到的函数表达式为（ ）
A．B．
C．D．
8．（23-24九年级上·）如图，绕点顺时针旋转得到，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．（23-24八年级上·）如图，在中，，将在平面内绕点A旋转到的位置，使，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24九年级上·）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，⋯⋯，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（22-23九年级上）正方形至少旋转 度才能与自身重合．
12．（23-24九年级上）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，则的值为 ．
13．（23-24九年级上）坐标平面内的点与点关于原点对称，则 ．
14．（23-24八年级上·）如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点A按逆时针方向旋转后，得到线段，则点的坐标为 ．
15．（22-23九年级上·）如图，将绕点A逆时针旋转44°得到，连接，若，则的大小为 ．
16．（24-25九年级上·）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若点P是第2021段抛物线的顶点，则点P的坐标是 ．
三、解答题
17．（23-24九年级上·）如图所示的10×10的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请在所给的平面直角坐标系中解答下列问题：
(1)画出绕原点O旋转后的．
(2)将沿x轴翻折后再沿y轴向上平移2个单位长度，得到，请画出，若在内有一点经过这两次变换后的对应点是，请直接写出点的坐标．
(3)将绕某点逆时针旋转后，得到，顶点A，B，C的对应点分别为，，，请画出，并直接写出旋转中心的坐标．
18．（23-24八年级上）课堂上，老师给出了如下一道探究题：如图，在边长为1的正方形组成的的方格中，和的顶点都在格点上，且．

(1)请以点C为旋转中心，将按逆时针方向旋转90°，得到，在方格中画出；
(2)请利用平移或旋转变换，设计一种方案，使得通过两次变换后与完全重合；
(3)请仔细观察，能否只通过一次旋转就能得到？如能，请在图中直接标出旋转中心P；若不能，请简要说明理由．
19．（23-24八年级上）如图，已知中，，将绕点A沿顺时针方向旋转得到，连接，交于点 F．

(1)求证：；
(2)若，，当四边形是平行四边形时，求线段的长．
20．（23-24九年级上）认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
(1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征；
(2)请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案（用阴影表示），使它也具备你所写出的上述三个特征．
21．（23-24九年级上）【探索发现】某兴趣小组在一次数学活动中发现有一组对角互余的四边形具有特殊的性质，通过翻阅资料得知这样的特殊四边形称为对余四边形，即有一组对角互余的四边形称为对余四边形．
(1)【猜想验证】若四边形是对余四边形，则与的度数之和为多少，并进行证明；
(2)【拓展应用】如图，在对余四边形中，，，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由．
22．（23-24九年级上）根据题意，寻找规律，解答问题：
(1)如图1，在中，，，现将绕点C顺时针旋转90°得到，连接，并且，求的大小；
(2)如图2，点P是正方形内一点，且点P到点A、B、C的距离分别为、、4，求的大小．
23．（23-24九年级上）如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求的长；
(3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值．
24．（23-24九年级上·）问题情境：综合与实践数学活动课上，张老师给出了一个问题：如图1，在中，，点D，E在边上，且，则用等式表示线段之间的数量关系是______；

问题初探：
（1）以下是两位同学经过思考给出的两种思路：
①如图2，小明同学经过分析后，将绕点A逆时针旋转得到，连接，根据三角形全等和勾股定理知识得到线段之间的数量关系 ；
②如图3，小强同学经过分析后，将、分别沿进行翻折，得到和，根据三角形全等和勾股定理知识也得到了线段之间的数量关系 ；

类比分析：两名同学分别从旋转和轴对称的角度分析、解决问题，将前面问题进行变式，请你解答：
（2）如图4，在中，，点D在边上，点E在的延长线上，且，用等式表示线段之间的数量关系，并证明：
学以致用
（3）如图5，在四边中，，若，则的长
参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义依此判断即可．
本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的识别，“把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，“把一个图形绕着某一个点旋转，如果它能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．
【详解】A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．C
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了坐标﹣图形性质，旋转的性质的应用，根据旋转的性质求解即可．
【详解】∵将绕点C顺时针旋转后得到，
∴点A的对应点的坐标为．
故选：D．
4．A
【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握基本知识是解题的关键．
根据旋转产生等腰三角形，将的度数转化为与的度数和．
【详解】解：由旋转得，，
∴，
∵，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：．
故选：A．
5．A
【分析】本题重点考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、旋转的性质：旋转前后，对应边及对应角相等，熟记相关结论是解题关键．由旋转可推出，根据，计算，从而得到，即得到，再根据即可求解．
【详解】解：由旋转可知：，，，
∴，
即：，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
6．D
【分析】此题方法较多，可以用三角形两边之差的最值模型，也可用瓜豆模型．由点是中点，想到构造中位线，取中点，再利用三角形两边之差的最值模型．
【详解】解：取中点，连接，．
在中，，，
，
、分别是、的中点，
，
在中，，，
，
在中，；当运动到上时，，
，
线段的最小值是，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，将二次函数图象以原点为旋转中心旋转，则顶点为，与轴的交点坐标为，再由待定系数法进行计算即可，在抛物线旋转过程中，求得二次函数顶点坐标和与轴的交点是解此题的关键．
【详解】解：将二次函数图象以原点为旋转中心旋转，则顶点为，与轴的交点坐标为，
设，
把代入解析式得：，
解得：，
旋转后得到的函数表达式为，
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的内角和定理、三角形外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
根据旋转得到，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，再根据三角形的外角定理即可求出．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∴，
，
,
，
．
故选：C．
9．A
【分析】本题考查旋转的性质及应用，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是掌握旋转前后，对应角相等，对应边相等．由，可得，根据在平面内绕点A旋转到的位置，有，，故，可得，从而．
【详解】解：∵，
∴，
∵在平面内绕点A旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
10．A
【分析】根据题意先求得的坐标，进而求得的坐标，发现规律，即可求得的坐标．
【详解】解：∵是等边三角形，，将等边绕点旋转，得到，
∴
，
则
同理可得，
……，
即
故选A
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，找到规律是解题的关键．
11．90
【分析】根据正方形的性质即可求解．
【详解】解：正方形可以被其对角线平分成4个全等的部分，则旋转至少度，能够与本身重合．
故答案为：90．
【点睛】本题考查了图形的旋转、正方形的性质等知识，掌握正方形的性质是解题关键．
12．6
【分析】本题考查了特殊点的坐标关系，根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反求出a、b的值，然后进行计算即可得解．
【详解】解：∵点关于原点对称的点的坐标为，
∴，，
∴，，
∴
故答案为：6．
13．1
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”求出m、n的值，然后相加计算即可得解．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
∴．
故答案为：1．
14．
【分析】本题考查了图形旋转后的点的坐标，根据题意和网格特点画出旋转后的线段，即可求解，数来你掌握旋转的特点是解题的关键．
【详解】
∵将线段绕点A按逆时针方向旋转后，得到线段，
∴，
∴线段旋转后的位置如图所示，
∴点的坐标为，
故答案为：．
15．/24度
【分析】根据旋转的性质得，等于旋转角，，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数，再由平行线的性质即可得到的大小，进而可得，利用和差关系即可得结果．
【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转44°得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
16．
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据题意找出每一段的顶点坐标，从而找出顶点坐标的规律．
【详解】解：由题意可知：
第1段抛物线的顶点坐标为：，
第2段抛物线的顶点坐标为：，
第3段抛物线的顶点坐标为：，
第4段抛物线的顶点坐标为：，
第段抛物线的顶点坐标：当为奇数，；当为偶数，；
故第2021段抛物线的顶点为：，即．
故答案为：．
17．(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查作图-旋转变换、轴对称变换、平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据轴对称和平移的性质作图即可；结合轴对称和平移的性质可得答案．
（3）根据点，，的坐标描点再连线可得；连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M，则点M即为旋转中心，即可得出答案．
【详解】（1）如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
由题意得，点的横坐标为a，纵坐标为，
∴点的坐标为．
（3）如图，即为所求．
连接，，分别作线段，的垂直平分线，交于点M，
则将绕点M逆时针旋转后可得到，
∴旋转中心点M的坐标为1,0．
18．(1)图见解析；
(2)答案不唯一：方案可以是：将绕点B顺时针旋转，再向右平移2个单位，与完全重合．
(3)能，点见解析.
【分析】此题考查了运用平移和旋转的性质进行作图以及旋转中心的求法，正确理解“对应点到旋转中心的距离相等”这一性质是解题的关键．
（1）将线段、绕点C逆时针旋转，分别得到线段、，连接，，所得图形即为所解；
（2）将绕点B顺时针旋转，再向右平移2个单位，或将向右平移2个单位，再绕点B顺时针旋转，两种方法选一种即可；
（3）观察图形可知，线段、、有公共的垂直平分线，在这条垂直平分线上找出到点C、点，距离相等的点即为旋转中心P，点也在线段的垂直平分线上，点P恰好为格点．
【详解】（1）如图1，将线段、绕点C逆时针旋转，分别得到线段、，连接，则，就是所求的图形．

（2）如图2，将绕点B顺时针旋转，再向右平移2个单位，与完全重合．
（3）能只通过一次旋转就得到如图2，点P就是所求的旋转中心，

作法∶连接、、；
直线为、的垂直平分线；
直线与的垂直平分线的交点P，点P就是所求的旋转中心．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了旋转，三角形全等，平行四边形，勾股定理．熟熟练掌握旋转性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键．
（1）根据旋转性质得到，得到，，，推出，根据得到，得到；
（2）根据平行四边形的性质推出，根据，得到，得到，根据勾股定理以及，即得．
【详解】（1）由旋转的性质得：，
，，，
，
即，
又，
，
在和中，
，
（2）四边形是平行四边形，
，
，
又，

，
在中，由勾股定理得：
，
，
由（1）知，，
．
20．(1)特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积（只要答案正确即可）
(2)见解析
【分析】本题考查图形的设计，轴对称图形，图形的折叠，中心对称图形．
（1）根据轴对称图形以及中心对称的定义解答：沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；绕一个点旋转后所得的图形与原图形完全重合的图形叫做中心对称图形；
（2）画出同时满足轴对称图形和中心对称图形的图形即可．
【详解】（1）解：特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积；
（2）解：满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示：
21．(1)或，理由见解析
(2)，理由见解析
【分析】（1）由对余四边形的定义解答即可；
（2）将绕点B逆时针旋转，得到，连接，即得出，，，，可证是等边三角形，即．再根据对余四边形的定义可求出，即，即得出．结合三角形内角和定理可求出，即，最后结合勾股定理即得出结论．
【详解】（1）解：与的度数之和为或，
证明：∵四边形是对余四边形，
∴或；
（2）解：线段，和之间数量关系为：，
理由：
∵对余四边形中，，
∴．
∵，
∴将绕点B逆时针旋转，得到，连接，如图3，
∴，
∴，，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查勾股定理，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理，对余四边形的定义．正确作出辅助线是解题关键．
22．(1)．
(2)
【分析】该题主要考查了旋转变换的性质、正方形的性质、勾股定理及其逆定理的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
（1）首先连接，证明，然后证明，得到，即可解决问题．
（2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．首先证明，，再证明，得出，再由直角三角形性质得出，最后求解即可．
【详解】（1）解：如图，连接．
由旋转得：，，，
即为等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
．
（2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
23．(1)，见详解
(2)
(3)或
【分析】（1）根据旋转的不变性证明，再由对应角相等及邻补角即可得证；
（2）设，在中，由勾股定理得：，解方程即可；
（3）分类讨论，分第一次经过点B，经过点A，再次经过点B讨论，根据变化中的不变性，不变的是基本图形关系即，以及位置关系，始终有垂直，继而设，运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：与的位置关系为．
∵，D，E分别为的中点，
∴，即，
∵，即，
∴,
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即：．
（2）解：中，，
∴，同理可求，
∵，
∴，
设，
在中，由勾股定理得：，
解得：（舍负），
∴．
（3）解：①经过点B时，题（2）已求；
②经过点A时，如图所示，
同理可证：，
∴，
∵，
∴，
设，
在中，由勾股定理得：，
解得：（舍负），
即：；
③再次经过点B时，如下图：
同理可证：，，
设，
在中，由勾股定理得：，
解得：（舍负），
即：；
综上所述：或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键．
24．（1）①；②；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）①证明，则，由勾股定理得，，进而可得；②由翻折的性质可知，，，，，则，由勾股定理得，，进而可得；
（2）如图4，作，使，连接CF，．则，证明，则，，证明，则，由勾股定理得，进而可得；
（3）如图5，在上取一点，使得，证明，则，，证明，则，由题意知，，设，则，，由勾股定理得，，即，计算求解即可．
【详解】（1）①解：∵，，
∴，，
由旋转的性质可得，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
故答案为：；
②解：由翻折的性质可知，，，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
故答案为：；
（2）解：，证明如下：
如图4，作，使，连接CF，．则，
图4
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴；
（3）解：如图5，在上取一点，使得，

∵，
∴，
∵，
∴，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
由题意知，，
设，则，，
由勾股定理得，，即，
解得，，
故答案为：．