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    备战2025年高考数学精品教案第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第2讲排列与组合(Word版附解析)

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    备战2025年高考数学精品教案第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第2讲排列与组合(Word版附解析)

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    这是一份备战2025年高考数学精品教案第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第2讲排列与组合(Word版附解析),共14页。
    学生用书P226
    1.排列、组合的定义
    注意 排列有序,组合无序.
    2.排列数、组合数的定义、公式及性质(n,m∈N*,且m≤n)
    说明 Cnm=Cnn-m的应用主要是两个方面:一是简化运算,当m>n2时,通常将计算Cnm转化为计算Cnn-m;二是列等式,由Cnx=Cny可得x=y或x+y=n.
    1.5个相同的球,放入8个不同的盒子中,每个盒里至多放一个球,则不同的放法有( B )
    A.A85种B.C85种C.58种D.85种
    解析 由于球都相同,盒子不同,每个盒里至多放一个球,所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有C85种不同的放法.
    2.[教材改编]从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是( B )
    A.12B.24C.64D.81
    解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学,每人1本,则不同的分配方法种数为A43=24.
    3.[教材改编]某班举行了“弘扬中华文化”演讲比赛,有6人参加,并决出第1名到第6名的名次(没有并列名次).甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“很遗憾,你和乙都没有得到冠军.”对乙说:“你当然不会是最差的.”从回答分析,6人的名次排列情况可能有( D )
    A.216种B.240种C.288种D.384种
    解析 由题可知,甲和乙都不是冠军,所以冠军有4种可能性,乙不是最后一名,所以最后一名有4种可能性,所以6人的名次排列情况可能有4×4×A44=384(种).
    4.[多选]下列说法正确的是 ( BD )
    A.所有元素完全相同的两个排列为相同排列
    B.两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同
    C.若Cnx=Cnm,则x=m
    D.An+1m=Anm+mAnm-1
    5.[易错题]计算C73+C74+C85+C96的值为 210 .(用数字作答)
    解析 原式=C84+C85+C96=C95+C96=C106=210.
    6.若Cn+13=Cn3+Cn4,则n= 6 .
    解析 ∵Cn+13=Cn3+Cn4=Cn+14,∴n+1=3+4,解得n=6.
    学生用书P227
    命题点1 排列问题
    例1 有3名男生、4名女生.
    (1)若排成前、后两排,前排3人,后排4人,则不同的排列方法总数为 5 040 .
    (2)若全体排成一排,女生必须站在一起,则不同的排列方法总数为 576 .
    (3)若全体排成一排,男生互不相邻,则不同的排列方法总数为 1 440 .
    (4)若全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边,则不同的排列方法总数为 3 600 .
    (5)若全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边,则不同的排列方法总数为 3 720 .
    (6)若全体排成一排,其中甲、乙、丙三人从左到右顺序一定,则不同的排列方法总数为 840 .
    解析 (1)分两步完成,先选3人站前排,有A73种方法,余下4人站后排,有A44种方法,共有A73·A44=5 040(种).
    (2)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有A44种方法,再将女生全排列,有A44种方法,共有A44·A44=576(种).
    (3)先排女生,有A44种方法,然后在女生之间及首尾共5个空位中任选3个空位安排男生,有A53种方法,共有A44·A53=1 440(种).
    (4)解法一 先排甲,有5种方法,其余6人有A66种排列方法,共有5×A66=3 600(种).
    解法二 左、右两边位置可安排除甲外其余6人中的2人,有A62种排法,剩下的5人有A55种排法,共有A62A55=3 600(种).
    (5)解法一 甲在最右边时,其他人可全排列,有A66种方法;甲不在最右边时,因为甲也不在最左边,所以可从余下的5个位置中任选1个,有C51种,而乙可从除去最右边的位置后剩下的5个位置中任选1个,有C51种,其余人全排列,有A55种不同排法,共有A66+C51C51A55=3 720(种).
    解法二 7人全排列,有A77种方法,其中甲在最左边时,有A66种方法,乙在最右边时,有A66种方法,其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形(A55种方法),故共有A77-2A66+A55=3 720(种).
    (6)7人全排列,有A77种方法,由于甲、乙、丙的顺序一定,则不同的排列方法总数为A77A33=840.
    方法技巧
    求解排列问题的常用方法
    训练1 (1)[2022新高考卷Ⅱ]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有( B )
    A.12种B.24种C.36种D.48种
    解析 先将丙和丁捆在一起,有A22种排列方式,然后将其与乙、戊排列,有A33种排列方式,最后将甲插入中间两空,有2种排列方式,所以不同的排列方式共有2A22A33=24(种),故选B.
    (2)[2023济南市统考]由3个2,1个0,2个3组成的六位数中,满足有相邻4位恰好是2 023的六位数的个数为( B )
    A.3B.6C.9D.24
    解析 2 023用了2个2,1个0,1个3,还余下1个2,1个3,故将2 023视作一个整体与余下的1个2,1个3全排列,有A33=6(种)不同的排法.故选B.
    命题点2 组合问题
    例2 (1)[多选]从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的有( CD )
    A.若4人全部为男生,则有30种不同的选法
    B.若4人中男生、女生各有2人,则有30种不同的选法
    C.若男生中的甲和女生中的乙被选,则有28种不同的选法
    D.若男生中的甲和女生中的乙至少有1人被选,则有140种不同的选法
    解析 4人全部为男生,选法有C64=15(种),故A错误;如果4人中男生、女生各有2人,男生的选法有C62=15(种),女生的选法有C42=6(种),则4人中男生、女生各有2人的选法有15×6=90(种),B错误;如果男生中的甲和女生中的乙被选,在剩下的8人中再选2人即可,有C82=28(种)不同的选法,故C正确;在10人中任选4人,有C104=210(种)不同的选法,甲、乙都不在其中的选法有C84=70(种),故男生中的甲和女生中的乙至少要有1人被选的选法有210-70=140(种),故D正确.
    (2)[2023新高考卷Ⅰ]某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有 64 种(用数字作答).
    解析 解法一 由题意,可分三类:第一类,体育类选修课和艺术类选修课各选修1门,有C41C41种方案;第二类,在体育类选修课中选修1门,在艺术类选修课中选修2门,有C41C42种方案;第三类,在体育类选修课中选修2门,在艺术类选修课中选修1门,有C42C41种方案.综上,不同的选课方案共有C41C41+C41C42+C42C41=64(种).
    解法二 若学生从这8门课中选修2门课,则有C82-C42-C42=16(种)选课方案;若学生从这8门课中选修3门课,则有C83-C43-C43=48(种)选课方案.综上,不同的选课方案共有16+48=64(种).
    方法技巧
    组合问题常见的两类题型
    (1)“含”与“不含”的问题:“含”,则先将这些元素取出,再由剩下的元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.
    (2)“至少”与“最多”的问题:解这类题的关键是理解“至少”与“最多”这两个词的含义,通常用直接法或间接法处理,分类复杂时,用间接法更容易处理.
    训练2 (1)[2023福州5月质检]“赛龙舟”是端午节重要的民俗活动之一,龙舟比赛的划手分划左桨和划右桨.某训练小组有6名划手,其中有2名只会划左桨,2名只会划右桨,2名既会划左桨又会划右桨.现从这6名划手中选派4名参加比赛,其中2名划左桨,2名划右桨,则不同的选派方法共有( C )
    A.15种B.18种C.19种D.36种
    解析 按照从全能者(既会划左桨又会划右桨)中选多少人参与划左桨分类:①2名全能者中选2人划左桨,有C22C22=1(种)不同的选派方法;②2名全能者中选1人划左桨,有C21C21C32=12(种)不同的选派方法;③2名全能者中选0人划左桨,有C22C42=6(种)不同的选派方法.所以共有1+12+6=19(种)不同的选派方法.故选C.
    (2)[2023南京市、盐城市二模]编号为1,2,3,4的四位同学,就座于编号为1,2,3,4的四个座位上,每个座位恰好坐一位同学,则恰有两位同学的编号和座位编号一致的坐法种数为 6 .
    解析 先选择两位同学坐对编号,有C42种方法,余下的两位同学只能交叉坐,只有1种方法,故共有C42×1=6(种)不同坐法.
    命题点3 排列与组合的综合应用
    角度1 有限制条件的排列、组合问题
    例3 (1)[2023沈阳市质监]甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照,要求甲必须站在最中间两个位置之一,且乙、丙2人相邻,则不同的排队方法共有( C )
    A.24种B.36种C.72种D.96种
    解析 如图所示,当甲在3的位置时,乙、丙可能排在(1,2),(4,5),(5,6),先从这三种中选出一种安排乙、丙,然后在剩下的3个位置安排余下的3人,所以不同的排队方法有C31A22A33=36(种);当甲在4的位置时,由对称性可知不同的排队方法也有36种.所以不同的排队方法共有36×2=72(种),故选C.
    (2)[2023重庆市名校联考]某校从8名教师中选派4名教师去4个偏远地区支教,每地1人,其中甲和乙不能同去,甲与丙同去或者同不去,则不同的选派方案的种数是 600 .(用数字作答)
    解析 分为两步,第一步,先选4名教师,第一步又分两类,第一类,甲去,则丙一定去,乙一定不去,有C52=10(种)不同的选法;第二类,甲不去,则丙一定不去,乙可能去也可能不去,有C64=15(种)不同的选法.所以选4名教师,不同的选法有10+15=25(种).第二步,4名教师去4个偏远地区支教,有A44=24(种)分配方法.所以不同的选派方案的种数是25×24=600.
    方法技巧
    有限制条件的排列、组合问题的解题策略
    (1)先分析每个限制条件,然后考虑是分类还是分步,对于分类过多的问题可以采用间接法;
    (2)采用特殊元素(位置)优先原则,即先满足有限制条件的元素(位置),再考虑其他元素(位置).
    角度2 分组、分配问题
    例4 (1)有5个大学保送名额,计划分到3个班级,每班至少一个名额,有 6 种不同的分法.
    解析 一共有5个保送名额,分到3个班级,每个班级至少1个名额,即将名额分成3份,每份至少1个,(定份数)
    将5个名额排成一列,中间有4个空,(定空位)
    即只需在中间4个空中插入2个隔板,不同的方法共有C42=6(种).(插隔板)
    (2)若将6名教师分到3所中学任教,其中一所1名,一所2名,一所3名,则有 360 种不同的分法.
    解析 先将6名教师分组,共有C61C52C33=60(种)分法.
    再将这3组教师分配到3所中学,有A33=6(种)分法.
    故不同的分法共有60×6=360(种).
    (3)将6本不同的书分给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少1本的不同分法共有 1 560 种.(用数字作答)
    解析 把6本不同的书分成4组,故有“3,1,1,1”和“2,2,1,1”两种不同的分组方法.
    若按“3,1,1,1”的分组方法,则不同的分法共有C63C31C21C11A33=20(种).(有三组元素个数相同,因与顺序无关,故需除去重复情况)
    若按“2,2,1,1”的分组方法,则不同的分法共有C62C42A22·C21C11A22=45(种).(四组元素中,分别有两组元素个数相同,分别为“2,2”和“1,1”,因与顺序无关,故需除去重复情况)
    所以不同的分组方法共有20+45=65(种).
    然后把分好的4组书分给4个人,分法共有A44=24(种),所以不同的分法共有65×24=1 560(种).
    方法技巧
    分组、分配问题的解题思路是先分组后分配.
    1.常见的分组
    注意 关于分组问题,应注意无论分成几组,只要其中某些组中的元素个数相等,就存在均分现象.
    2.常见的分配
    (1)相同元素的分配问题,常用“隔板法”求解.
    (2)不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配.
    (3)有限制条件的分配问题,采用分类讨论法或间接法求解.
    训练3 (1)[多选/2023重庆八中模拟]将甲、乙、丙、丁4名志愿者分别安排到A,B,C 3个社区进行暑期社会实践活动,要求每个社区至少安排1名志愿者,每名志愿者只能被安排到1个社区,则下列选项正确的是( BD )
    A.共有72种安排方法
    B.若甲、乙被安排在同一个社区,则有6种安排方法
    C.若A社区需要2名志愿者,则有24种安排方法
    D.若甲被安排在A社区,则有12种安排方法
    解析 对于A选项,将4名志愿者先分为3组,再分配到3个社区,所以安排方法种数为C42C21C11A22×A33=36,所以A选项不正确.
    对于B选项,甲、乙被安排在同一个社区,先从3个社区中选1个安排甲与乙,再把剩余2个社区进行全排列,所以安排方法种数为C31A22=6,所以B选项正确.
    对于C选项,A社区需要2名志愿者,所以先从4名志愿者中选择2名安排到A社区,再把剩余2名志愿者进行全排列,所以安排方法种数为C42A22=12,C选项不正确.
    对于D选项,甲被安排在A社区,分为两种情况,(对甲安排在A社区进行分类讨论,讨论A社区是甲单独一人还是甲与另外一人)
    第一种为A社区安排了2名志愿者,则从剩余3名志愿者中再选择1名,分到A社区,然后把剩余2名志愿者进行全排列,安排方法共有C31A22种;第二种是A社区只安排了甲志愿者,此时剩余3名志愿者分为2组,再分配到剩余的2个社区中,此时安排方法有C32A22种.(这两组是不均匀分组,故不需除以任何数)
    所以安排方法种数一共为C31A22+C32A22=12,D选项正确.故选BD.
    (2)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动,每天分别安排3人,每人参加一次,则不同的安排方案共有 1 680 种.(用数字作答)
    解析 先选出3人,有C93种选法,再从剩下的6人中选出3人,有C63种选法,最后剩下的3人为一组,有C33种选法.由分步乘法计数原理以及整体均匀分组方法,可知不同的安排方案共有C93C63C33A33·A33=1 680(种).
    1.[命题点1/2023大同学情调研]现有高中数学新教材必修一、二,选择性必修一、二、三,共5本书,把这5本书放在书架上排成一排,必修一、必修二不相邻的排列方法种数是( A )
    A.72B.144C.48D.36
    解析 解法一 先将选择性必修一、二、三这3本书排成一排,有A33=6(种)排列方法,再将必修一、必修二这2本书插入两端或3本书间的两个空隙中,有A42=12(种)排列方法,由分步乘法计数原理得,把这5本书放在书架上排成一排,必修一、必修二不相邻的排列方法种数是6×12=72.
    解法二 5本书放在书架上排成一排的排列方法共有A55种,其中必修一、必修二相邻的排列方法有A22A44种,所以把这5本书放在书架上排成一排,必修一、必修二不相邻的排列方法种数为A55-A22A44=72.
    2.[命题点2/2023合肥市二检]某高中学校在新学期增设了“传统文化”“数学文化”“综合实践”“科学技术”和“劳动技术”5门校本课程.小明和小华两位同学商量每人选报2门校本课程.若小明必须选报“数学文化”课程,两位同学所选的课程至多有一门相同,则不同的选课方案有( B )
    A.24种B.36种C.48种D.52种
    解析 解法一 当小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时,若相同的课程为“数学文化”,则不同的选课方案有C41C31=12(种);若相同的课程不是“数学文化”,则不同的选课方案有C41C31=12(种).所以小明和小华两位同学所选的课程恰有一门相同时,共有12+12=24(种)选课方案.当小明和小华两位同学所选的课程都不相同时,不同的选课方案有C41C32=12(种).所以不同的选课方案有24+12=36(种),故选B.
    解法二 小明在“数学文化”课程外任选一门课程,小华任选2门课程时,不同的选课方案有C41C52=40(种),其中小明和小华2门课程都相同时,选课方案有C41=4(种),故两位同学所选的课程至多有一门相同时,不同的选课方案有40-4=36(种),故选B.
    3.[命题点3角度1]某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位,现有两辆不同的白色车和两辆不同的黑色车,要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列,则不同的停车方法总数为( B )
    A.288B.336C.576D.1 680
    解析 由题意知,每行停放一辆白色车和一辆黑色车.第一步:取一辆白色车和一辆黑色车停放到第一行,共有C21C21C42A22=48(种)方法.第二步:把剩下的两辆车停放到第二行.若白色车与第一行的黑色车在同一列,此时黑色车有3种停放方法;若白色车与第一行的黑色车不在同一列,则白色车有2种停放方法,黑色车也有2种停放方法,所以共有2×2=4(种)停放方法.所以把剩下的两辆车停放到第二行共有3+4=7(种)方法.由分步乘法计数原理可知,满足题意的停车方法总数为48×7=336.
    4.[命题点3角度2/2021全国卷乙]将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( C )
    A.60种B.120种C.240种D.480种
    解析 根据题设中的要求,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,可分两步进行安排:第一步,将5名志愿者分成4组,其中1组2人,其余每组1人,共有C52种分法;第二步,将分好的4组安排到4个项目中,有A44种安排方法.故满足题意的分配方案共有C52×A44=240(种).
    5.[命题点3/2023福建适应性测试]中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命做出了重要贡献,很好地展示了国家形象,增进了国际友谊,多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A,B,C 3个受灾点执行救援任务,若每支救援队只能去其中的一个受灾点,且每个受灾点至少安排一支救援队,其中甲救援队只能去B,C 2个受灾点中的一个,则不同的安排方法种数是( D )
    A.72B.84C.88D.100
    解析 解法一(间接法) 将5支救援队分成3组,有两种分法:3∶1∶1和2∶2∶1,再将这3组分配到A,B,C 3个受灾点,有A33种分配方法,故共有C53A33+C52C32C11A22×A33=150(种)安排方法,其中含有甲救援队去A受灾点的情形.当甲救援队去A受灾点时,变为余下4支救援队随机去A,B,C 3个受灾点,则A受灾点可以再去0支或1支或2支救援队,B,C受灾点均至少去1支救援队,当A受灾点再去0支救援队时,余下4支救援队分成两组(3∶1或2∶2)去B,C 2个受灾点,不同的安排方法种数为C43A22+C42;当A受灾点再去1支救援队时,余下3支救援队只能按2∶1分组去B,C 2个受灾点,不同的安排方法种数为C41C32A22;当A受灾点再去2支救援队时,余下2支救援队只能1支去B受灾点,1支去C受灾点,不同的安排方法种数为C42A22.故满足题意的不同的安排方法种数为150-(C43A22+C42+C41C32A22+C42A22)=100.故选D.
    解法二(直接法) 将5支救援队分成3组,有两种分法:3∶1∶1和2∶2∶1,再将这3组分配到A,B,C 3个受灾点.
    ①按3∶1∶1分组,若甲救援队单独一组,且甲救援队去B,C 2个受灾点中的一个,则有C21C43A22种不同的安排方法;若甲救援队不单独一组,则甲救援队所在的组还
    需2支救援队,有C42种选法,甲救援队所在的组去B,C 2个受灾点中的一个,有C21种方法,余下的2支救援队分成两组各去一个受灾点,有A22种方法,故有C42C21A22种不同的安排方法.
    ②按2∶2∶1分组,若甲救援队单独一组,且甲去B,C 2个受灾点中的1个,则有C21×C42C22A22×A22种不同的安排方法;若甲救援队不单独一组,则甲救援队所在的组还需1支救援队,有C41种选法,甲救援队所在的组去B,C 2个受灾点中的1个,有C21种方法,余下的3支救援队按2∶1分成两组各去一个受灾点,有C32A22种方法,故有C41C21C32A22种不同的安排方法.
    故满足题意的不同的安排方法种数为C21C43A22+C42C21A22+C21×C42C22A22×A22+C41C21C32A22=16+24+12+48=100.故选D.
    学生用书·练习帮P383
    1.[新高考卷Ⅰ]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( C )
    A.120种B.90种C.60种D.30种
    解析 第1步,抽1名志愿者安排到甲场馆,有C61种安排方法;第2步,从剩下的5名志愿者中抽取2名安排到乙场馆,有C52种安排方法;第3步,将剩下的3名志愿者安排到丙场馆.由分步乘法计数原理得,不同的安排方法共有C61C52=60(种),故选C.
    2.[2024吉林市田家炳高级中学模拟]从A,B,C,D,E这5人中选出4人,安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上,如果A不能安排在甲岗位上,则不同的安排方法有( D )
    A.56种B.64种C.72种D.96种
    解析 解法一(优先特殊元素) 根据题意可知,按A是否入选进行分类.
    若A入选,则先从乙、丙、丁3个岗位上安排1个岗位给A,有C31=3(种)安排方法,再给剩下3个岗位安排人,有A43=24(种)安排方法,共有3×24=72(种)安排方法.
    若A不入选,则4个人4个岗位,有A44=24(种)安排方法.
    综上,共有72+24=96(种)安排方法.故选D.
    解法二(优先特殊位置) 先安排去甲岗位的,A不能去,其他4人中选1人,因而有C41种安排方法,再选3人安排其他岗位,有A43种安排方法,从而共有C41A43=96(种)安排方法.故选D.
    3.[2024北京市第十二中学模拟]4位同学排成一排准备照相时,又来了2位同学要加入,如果保持原来4位同学的相对顺序不变,则不同的加入方法种数为( D )
    A.10B.20C.24D.30
    解析 解法一 不考虑限制条件,将6位同学排成一排准备照相,共有A66种排法,如果保持原来4位同学的相对顺序不变,则有A66A44=30(种)排法,故选D.
    解法二 插入2位同学后变成6位同学6个位置,原4位同学占4个位置,但相对顺序没变,因而有C64种排法,再排新插入的2位同学有A22种排法,从而共有C64A22=30(种)排法,故选D.
    解法三 6个位置可以先排后加入的2位同学,有A62=30(种)排法,剩下4个位置原4位同学按原顺序排入即可,只有1种方法,因而共有30种排法,故选D.
    4.[2024湖南衡阳模拟]2023年春节,在北京工作的五个家庭开车搭伴一起回老家过年,若五辆车分别为A,B,C,D,E,五辆车随机排成一列,则A车与B车相邻,且A车与C车不相邻的排法有( A )
    A.36种B.42种C.48种D.60种
    解析 将A车与B车捆在一起当成一个元素使用,有A22种不同的捆法,将其与除C车外的2个元素全排列,有A33种排法,将C车插入,不与A车相邻,有A31种插法,故共有A22×A33×A31=36(种)排法.故选A.
    5.5个小朋友站成一圈,不同的站法一共有( D )
    A.120种B.60种C.30种D.24种
    解析 先将5个小朋友编为1~5号,然后让他们按1~5的顺序站成一圈,这样就形成了一个圆排列.分别以1,2,3,4,5号作为开头将这个圆排列打开,就可以得到5种排列:12345,23451,34512,45123,51234.这就是说,这个圆排列对应了5个排列.因此,要求圆排列数,只需要求出全排列数再除以5就可以了,即这些小朋友不同的站法一共有A555=A44=24(种),故选D.
    6.[多选]下列关于排列数与组合数的等式中,正确的是( ABD )
    A.(n+1)Anm=An+1m+1B.mCnm=nCn-1m-1
    C.Cnm=Anmn!D.1n-mAnm+1=Anm
    解析 对于A,(n+1)Anm=(n+1)n(n-1)…(n-m+1)=An+1m+1,故A正确;对于B,Cn-1m-1=(n-1)!(m-1)!(n-m)!,Cnm=n!m!(n-m)!=n·(n-1)!m·(m-1)!(n-m)!=nm·(n-1)!(m-1)!(n-m)!=nm·Cn-1m-1,所以mCnm=nCn-1m-1,故B正确;对于C,Cnm=AnmAmm=Anmm!,故C错误;对于D,1n-mAnm+1=1n-m·n(n-1)·…·(n-m)=n(n-1)…(n-m+1)=Anm,故D正确.故选ABD.
    7.[多选/2024湖南湘潭联考]从10名男生和8名女生中选出3人去参加创新大赛,则至少有1名女生的选法种数为( AC )
    A.C183-C103B.C81C172
    C.C81C102+C82C101+C83D.C102C81+C101C82
    解析 对于A,从18名学生中选取3人,有C183种不同的选法,从18名学生中选取3人,选的都是男生有C103种不同的选法,所以至少有1名女生的选法有C183-C103=696(种),A正确;
    对于B,C81C172=1 088≠696,故B错误;
    对于C,至少有1名女生的选法有三种情况:1名女生,2名女生,3名女生,所以至少有1名女生的选法有C81C102+C82C101+C83=360+280+56=696(种),C正确;
    对于D,C102C81+C101C82=360+280=640≠696,故D错误.
    8.[2024上海市华东师范大学第二附属中学质检]7个志愿者的名额分给3个班,每班至少一个名额,则有 15 种不同的分配方法(用数字作答).
    解析 7个志愿者的名额分配给3个班,每班至少一个名额,其实就是在7个志愿者的名额产生的6个空位中插入2个“档板”,共有C62=15(种)不同的分配方法.
    9.高考期间,为保证考生能够顺利进入某考点,交管部门将6名交警分配到该考点周边3个不同路口疏导交通,每个路口2人,则不同的分配方法共有 90 种.
    解析 根据题意,分两步进行分析.第一步,将6名交警分成“2,2,2”的三组,有C62C42C22A33=15(种)分组方法;第二步,将分好的三组全排列,对应3个路口,有A33=6(种)情况,则共有15×6=90(种)分配方法.
    10.某工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,工程丁必须在工程丙完成后立即进行,那么安排这6项工程的不同排法种数是 20 (用数字作答).
    解析 解法一(特殊元素优先法) 丙、丁相邻且顺序固定,故将其视为1个元素,记为丙丁,则6项工程可视为5个元素.分成两步来完成:第一步,从5个位置中选择3个位置排列甲、乙、丙丁这3个特殊元素,又甲、乙、丙丁的相对顺序固定,故不同的排法有C53=10(种);第二步,将余下的2项工程任意排列到剩下的2个空位置上,不同的排法有A22=2(种).由分步乘法计数原理,可知不同排法共有10×2=20(种).
    解法二(插空法) 分成两步来完成:第一步,将相对顺序固定的甲、乙、丙、丁排列好,丙、丁相邻且顺序固定,从而形成3个特殊元素(丙、丁视为1个元素),共有1种排法;第二步,将余下的2项工程逐个插入,排法共有C41C51=20(种).根据分步乘法计数原理,安排这6项工程的不同排法共有1×20=20(种).
    解法三 丙、丁相邻且顺序固定,故将其视为1个元素,记为丙丁,其余4项工程各视为1个元素.对5个元素全排列,共有A55种排法.其中,甲、乙、丙丁这3个特殊元素的位置共有A33种不同的排法,而符合要求的甲、乙、丙丁的排法仅有1种,所以安排这6项工程的不同排法共有A55A33=20(种).
    11.[2024河南省实验中学模拟]某院派出医护人员共5人,分别派往A,B,C三个区,每区至少一人,甲、乙主动申请前往A区或B区,且甲、乙恰好分在同一个区,则不同的安排方法有( C )
    A.12种B.18种C.24种D.30种
    解析 用捆绑法将甲、乙两人看成一个整体,若甲、乙和另一人共3人分为一组,则有2C31A22=12(种)安排方法;若甲、乙两人分为一组,另外三人分为两组,一组1人,一组2人,则有C31C22A22A22=12(种)安排方法.
    综上,共有12+12=24(种)安排方法.故选C.
    12.[2024浙江省名校联考]某校银杏大道上共有20盏路灯排成一列,为了节约用电,学校打算关掉3盏路灯,且头尾2盏路灯不能关闭,关掉的相邻2盏路灯之间至少有2盏亮的路灯,则不同的方案种数是( B )
    A.324B.364C.560D.680
    解析 将20盏路灯分成2盏,15盏,3盏共3组,先将15盏亮的路灯排成一列,把3盏关掉的路灯插空,因为头尾2盏路灯不能关闭,所以是在除头尾之外的14个空位中插入3盏关掉的路灯,共C143=364(种)方法,在每2盏关掉的路灯之间再各放入1盏亮的路灯,且路灯无差异,保证关掉的相邻2盏路灯之间至少有2盏亮的路灯,只有1种方法.
    综上,共有364×1=364(种)方案.故选B.
    13.[2024福建省德化一中、永安一中、漳平一中三校联考]2023年3月13日,第十四届全国人民代表大会第一次会议在北京人民大会堂闭幕,为记录这一历史时刻,会务组将6张不同的纪念邮票全部分配给来自A省的2名代表和B省的2名代表,每名代表至少1张,则有 1 560 种分配方法(用数字作答).
    解析 可分两类:第一类,按1,1,2,2分组,然后全排列,则有C61C51C42C22A22A22×A44=1 080(种)分配方法;第二类,按3,1,1,1分组,然后全排列,则有C63C31C21C11A33×A44=480(种)分配方法.根据分类加法计数原理,共有1 080+480=1 560(种)分配方法.
    14.[角度创新]某艺术团的演员,每人至少会演歌唱节目或舞蹈节目中的一种,其中会演歌唱节目的有6人,会演舞蹈节目的有5人,同时能歌能舞的有2人,现从中选派4人参加演出,要求至少有2人能演舞蹈节目,那么不同的选派方法共有 105 种.
    解析 根据题意,该艺术团一共有9人,不会演舞蹈节目的有4人,从9人中任选4人,有C94=126(种)选法,选派的4人中,至少有2人能演舞蹈节目的对立事件为:4人都不会演舞蹈节目和只有1人会演舞蹈节目.4人都不会演舞蹈节目有C44=1(种)情况,只有1人会演舞蹈节目有C43C51=20(种)情况,则至少有2人能演舞蹈节目的选派方法有126-1-20=105(种).
    15.[解题方法创新]有许多与“8”有关的可歌可泣的感人故事,如“八子参军”“八女投江”“八勇士智取华山”等,因此数字“8”是当之无愧的新时代“英雄数字”.如果一个四位数,各个位置上数字之和等于8,这样的数称为“英雄数”(比如1 223就是一个“英雄数”,1+2+2+3=8),则所有的“英雄数”有 120 个.
    解析 根据题意,将原问题转化为将8个小球分为4组且第一组的数量不能为0,根据0的个数分情况讨论,结合隔板法即可求解.由题意,8个相同的小球排成一排,8个小球两两之间共有7个空位(不包括头尾),若“英雄数”中四个位置数字都不为0,则在这7个空位中随机安排3个隔板,可以将小球分为4组,(3个隔板将小球分成4组后,各组小球的个数分别是四位数的千位、百位、十位、个位上的数字)
    共有C73=35(组),因而可组成满足条件的四位数35个;若“英雄数”中4个数字只有1个0,则需要在这7个空位中随机安排2个隔板,可以将小球分成个数不为0的3组,共有C72组,根据0可以作为百位、十位、个位上的数字,此时共有3×C72=63(个)“英雄数”;同理,若“英雄数”中4个数字有2个0,则需要在这7个空位中随机安排1个隔板,可以将小球分成个数不为0的2组,0可以作为百位、十位、个位其中两位上的数字,此时共有C71×C32=21(个)“英雄数”;若“英雄数”中4个数字有3个0,则只能是8 000,只有一种情况.综上,共有35+63+21+1=120(个)“英雄数”.课标要求
    命题点
    五年考情
    命题分析预测
    理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
    排列问题
    2022新高考卷ⅡT5
    本讲每年必考,主要以实际问题为情境考查计数问题,有时单独命题,以小题为主,有时作为工具应用于概率的计算,以大题为主,难度中等偏易.预计2025年高考仍会以创新实际生活情境为载体进行命题.
    组合问题
    2023新高考卷ⅠT13;2023新高考卷ⅡT3;2020新高考卷ⅠT3
    排列与组合的综合应用
    2023全国卷甲T9;2021全国卷乙T6;2020全国卷ⅡT14
    名称
    定义
    排列
    从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
    并按照① 一定的顺序 排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
    组合
    作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
    排列数
    组合数
    定义
    从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,用符号② Anm 表示.
    从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数,用符号③ Cnm 表示.
    公式
    Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!(n-m)!.规定0!=1.
    Cnm=AnmAmm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)m!=④ n!m!(n-m)! .规定Cn0=1.
    性质
    Ann=n!=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1;
    Anm=(n-m+1)Anm-1=nAn-1m-1.
    Cnm=Cnn-m;Cn+1m=Cnm+Cnm-1.
    直接法
    把符合条件的排列数直接列式计算.
    优先法
    优先安排特殊元素或特殊位置.
    捆绑法
    相邻问题捆绑处理,即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列,同时注意捆绑元素的内部排列.
    插空法
    不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素的排列空位中.
    定序问题
    除法处理
    定序问题,可先不考虑顺序限制进行排列,再除以定序元素的全排列.
    间接法
    正难则反,等价转化处理.
    1
    2
    3
    4
    5
    6
    整体均匀分组
    分组后一定要除以Ann(n为均分的组数),避免重复计数.
    部分均匀分组
    若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!.
    不等分组
    分组时任何组中元素的个数都不相等.
    A
    B
    C
    D
    E
    F
    G
    H

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