备战2025年高考数学精品教案第八章平面解析几何第7讲抛物线（Word版附解析）

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学生用书P189
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离① 相等 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的② 焦点 ，直线l叫做抛物线的③ 准线 .
注意 定点F在定直线l上时，动点的轨迹为过点F且垂直于l的一条直线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
常用结论
抛物线焦点弦的几个常用结论
如图，设AB是一条过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，AB所在直线的倾斜角为α，若A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在准线l上的射影分别为A1，B1，则
（1）x1x2＝p24，y1y2＝－p2.
（2）｜AF｜＝p1－csα，｜BF｜＝p1+csα，弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝2psin2α，S△AOB＝p22sinα＝12｜OF｜·｜y1－y2｜.
（3）1｜AF｜＋1｜BF｜＝2p.
（4）当N为准线与x轴的交点时，∠ANF＝∠BNF.
（5）通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，弦长等于2p，通径是过焦点的最短的弦.
（6）以弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
（7）以A1B1为直径的圆与AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°.
（8）当M1为A1B1的中点时，M1A⊥M1B.
（9）以AF或BF为直径的圆与y轴相切.
（2）的推导过程：因为AB所在直线的倾斜角为α，则cs α＝x1－p2x1＋p2，解得x1＝p2·1+csα1－csα，则｜AF｜＝x1＋p2＝p1－csα.
同理可得｜BF｜＝p1+csα.
则｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋p＝p1－csα＋p1+csα＝2psin2α，
S△AOB＝12×｜AB｜×p2×sin α＝12×2psin2α×p2×sin α＝p22sinα.
由（2）的推导过程可得，1｜AF｜＋1｜BF｜＝1－csαp＋1+csαp＝2p.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线
B.若抛物线过点P（－2，3），则其标准方程可写为y2＝2px（p＞0）
C.抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形
D.方程y＝ax2（a≠0）表示的曲线是焦点在y轴上的抛物线，且其准线方程为y＝－14a
2.抛物线y＝4x2的焦点坐标为（ A ）
A.（0，116）B.（0，14）C.（0，1）D.（1，0）
解析 化抛物线的方程为标准形式，得x2＝14y，所以p＝18，（本题在解答过程中若不先将抛物线方程化为标准形式，易错误得到p＝2，从而错选C）
抛物线的焦点坐标为（0，116），故选A.
3.[2023湖北省十堰市调研]下列四个抛物线中，开口朝左的是（ C ）
A.y2＝5xB.x2＝－5y
C.y2＝－5xD.x2＝5y
解析 抛物线y2＝5x的开口朝右，抛物线x2＝－5y的开口朝下，抛物线y2＝－5x的开口朝左，抛物线x2＝5y的开口朝上.故选C.
4.若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点，则p＝（ D ）
A.2B.3C.4D.8
解析 由题意，知抛物线的焦点坐标为（p2，0），椭圆的焦点坐标为（±2p，0），所以p2＝2p，解得p＝8，故选D.
5.已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（2，22）为抛物线上一点，则｜MF｜＝（ B ）
A.2B.3C.4D.5
解析 因为点M（2，22）为抛物线上一点，所以将点M的坐标代入抛物线的方程y2＝2px（p＞0），可得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，可得其准线方程为x＝－1.根据抛物线的定义，得｜MF｜＝2－（－1）＝3.故选B.
学生用书P190
命题点1 抛物线的定义及其应用
例1 （1）[全国卷Ⅰ]已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（ C ）
A.2B.3C.6D.9
解析 根据抛物线的定义及题意得，点A到C的准线x＝－p2的距离为12，因为点A到y轴的距离为9，所以p2＝12－9，解得p＝6.故选C.
（2）[2022全国卷乙]设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在C上，点B（3，0），若｜AF｜＝｜BF｜，则｜AB｜＝（ B ）
A.2B.22C.3D.32
解析 解法一 如图，由题意可知F（1，0），设A（y024，y0），则由抛物线的定义可知｜AF｜＝y024＋1.因为｜BF｜＝3－1＝2，所以由｜AF｜＝｜BF｜，可得y024＋1＝2，解得y0＝±2，所以A（1，2）或A（1，－2）.不妨取A（1，2），则｜AB｜＝（1－3）2＋（2－0）2＝8＝22，故选B.
解法二 由题意可知F（1，0），｜BF｜＝2，所以｜AF｜＝2.因为抛物线的通径长为2p＝4，所以AF的长为通径长的一半，所以AF⊥x轴，所以｜AB｜＝22＋22＝8＝22，故选B.
方法技巧
利用抛物线的定义可解决的常见问题
（1）轨迹问题：利用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线.
（2）距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时，在解题过程中注意两者之间的相互转化.
（3）最值问题：通过距离转化，利用“两点之间线段最短”和“垂线段最短”求解.
训练1 [多选/2023惠州市二调]设抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，点M为C上一动点，E（3，1）为定点，则下列结论正确的是（ AD ）
A.准线l的方程是x＝－2
B.｜ME｜－｜MF｜的最大值为2
C.｜ME｜＋｜MF｜的最小值为7
D.以线段MF为直径的圆与y轴相切
解析 由题意得，抛物线C的焦点F（2，0），准线l的方程是x＝－2，故A正确；｜ME｜－｜MF｜≤｜EF｜＝（3－2）2＋（1－0）2＝2，当点M在线段EF的延长线上时等号成立，∴｜ME｜－｜MF｜的最大值为2，故B不正确；如图所示，过点M，E分别作准线l的垂线，垂足分别为A，B，则｜ME｜＋｜MF｜＝｜ME｜＋｜MA｜≥｜EB｜＝5，当点M在线段EB上时等号成立，∴｜ME｜＋｜MF｜的最小值为5，故C不正确；设点M（x0，y0），线段MF的中点为D，则点D的横坐标xD＝x0+22＝｜MA｜2＝｜MF｜2，∴以线段MF为直径的圆与y轴相切，故D正确.故选AD.
命题点2 抛物线的标准方程
例2 （1）[2023全国卷乙]已知点A（1，5）在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为 94 .
解析 将点A的坐标代入抛物线方程，得5＝2p，于是y2＝5x，则抛物线的准线方程为x＝－54，所以A到准线的距离为1－（－54）＝94.
（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP.若｜FQ｜＝6，则C的准线方程为 x＝－32 .
解析 解法一 由题易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，∠OPF＝∠PQF，所以tan∠OPF＝tan∠PQF，所以｜OF｜｜PF｜＝｜PF｜｜FQ｜，即p2p＝p6，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－32.
解法二 由题易得｜OF｜＝p2，｜PF｜＝p，｜PF｜2＝｜OF｜·｜FQ｜，即p2＝p2×6，解得p＝3，所以C的准线方程为x＝－32.
方法技巧
抛物线的标准方程的求法
（1）定义法
根据抛物线的定义求出p.标准方程有四种形式，要注意判断焦点位置及开口方向.
（2）待定系数法
当焦点位置不确定时，注意分类讨论.对于焦点在x轴上的抛物线的方程可设为y2＝mx（m≠0），焦点在y轴上的抛物线的方程可设为x2＝my（m≠0）.
训练2 （1）若抛物线的对称轴为坐标轴，焦点在直线x－2y－4＝0 上，则此抛物线的标准方程为 y2＝16x 或x2＝－8y .
解析 由x－2y－4＝0，令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是（4，0）或（0，－2），故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.
（2）如图，过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若｜BC｜＝2｜BF｜，且｜AF｜＝3，则抛物线的方程为 y2＝3x .
解析 如图，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为点E，D，设｜BF｜＝a，准线与x轴交于点G，则由已知得，｜BC｜＝2a，由抛物线的定义得，｜BD｜＝a，故∠BCD＝30°，在Rt△ACE中，∵｜AC｜＝｜AF｜＋｜BF｜＋｜BC｜＝3＋3a，2｜AE｜＝｜AC｜，∴3＋3a＝6，∴a＝1.易知BD∥FG，∴｜BD｜｜GF｜＝｜BC｜｜CF｜，即1p＝23，解得p＝32，因此抛物线的方程为y2＝3x.
命题点3 抛物线的几何性质
例3 [多选/2023新高考卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线y＝－3（x－1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ AC ）
A.p＝2
B.｜MN｜＝83
C.以MN为直径的圆与l相切
D.△OMN为等腰三角形
解析 由题意，易知直线y＝－3（x－1）过点（1，0）.
对于A，因为直线经过抛物线C的焦点，所以易知焦点坐标为（1，0），所以p2＝1，即p＝2，所以A选项正确.
对于B，不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），x1＜x2，联立方程得y＝－3（x－1),y2=4x，消去y并整理得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝13，x2＝3.由抛物线的定义得，｜MN｜＝x1＋x2＋p＝103＋2＝163，故B选项错误.
对于C，由以上分析易知，l的方程为x＝－1，以MN为直径的圆的圆心坐标为（53，－233），半径r＝12｜MN｜＝83＝53＋1，所以以MN为直径的圆与l相切，故C选项正确.
对于D，由两点间距离公式可得｜MN｜＝163，｜OM｜＝133，｜ON｜＝21，故D选项错误.综上，选AC.
方法技巧
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出拋物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
训练3 [多选]已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l的斜率为3且经过点F，直线l与抛物线C交于A，B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若｜AF｜＝8，则以下结论正确的是（ ABC ）
A.p＝4B.DF＝FA
C.｜BD｜＝2｜BF｜D.｜BF｜＝4
解析 如图所示，分别过点A，B作抛物线C的准线m的垂线，垂足分别为点E，M.设抛物线C的准线m交x轴于点P，则｜PF｜＝p，由于直线l的斜率为3，所以倾斜角为60°，因为AE∥x轴，所以∠EAF＝60°.由抛物线的定义可知，｜AE｜＝｜AF｜，则△AEF为等边三角形，所以∠EFP＝∠AEF＝60°，则∠PEF＝30°，所以｜AF｜＝｜EF｜＝2｜PF｜＝2p＝8，所以p＝4，A选项正确；因为｜AE｜＝｜EF｜＝2｜PF｜，PF∥AE，所以F为AD的中点，则DF＝FA，B选项正确；因为∠DAE＝60°，所以∠ADE＝30°，所以｜BD｜＝2｜BM｜＝2｜BF｜，C选项正确；因为｜BD｜＝2｜BF｜，所以｜BF｜＝13｜DF｜＝13｜AF｜＝83，D选项错误.故选ABC.
学生用书P191
巧用抛物线中的阿基米德三角形的几何性质
例4 [2023温州市第一次适应性考试]已知P为直线y＝－x－1上一动点，过点P作抛物线C：x2＝2y的两条切线，切点分别记为A，B，则原点O到直线AB距离的最大值为（ B ）
A.1B.2C.3D.2
解析 设A（x1，y1），B（x2，y2），因为y＝12x2，所以y'＝x.根据导数的几何意义可知直线PA：y－y1＝x1（x－x1），化简得y＝x1x－y1.
同理可得，直线PB：y＝x2x－y2.
因为点P是直线y＝－x－1上一动点，
所以不妨设P（t，－t－1），则－t－1＝x1t－y1，－t－1＝x2t－y2，
所以直线AB：tx－y＋t＋1＝0.直线tx－y＋t＋1＝0过定点G（－1，1），
所以当AB⊥OG时，原点O到直线AB的距离最大，其最大距离为｜OG｜＝2.故选B.（另解：原点O到直线AB的距离d＝｜t+1｜t2+1＝t2+2t+1t2+1＝1+2tt2+1≤1+1＝2，当且仅当t＝1时取等号）
例5 [2021全国卷乙]已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，且F与圆M：x2＋（y＋4）2＝1上点的距离的最小值为4.
（1）求p；
（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.
解析 （1）由题意知M（0，－4），F（0，p2），圆M的半径r＝1，所以｜MF｜－r＝4，即p2＋4－1＝4，解得p＝2.（F与圆M上点的距离的最小值为｜MF｜－r，最大值为｜MF｜＋r）
（2）解法一 由（1）知，抛物线方程为x2＝4y，
由题意可知直线AB的斜率存在，设A（x1，x124），B（x2，x224），直线AB的方程为y=kx+b,
由y＝kx＋b，x2=4y，消去y得x2－4kx－4b＝0，
则Δ＝16k2＋16b＞0 ①，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以｜AB｜＝1+k2｜x1－x2｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝41+k2·k2＋b.
因为x2＝4y，即y＝x24，
所以y'＝x2，则抛物线在点A处的切线斜率为x12，在点A处的切线方程为y－x124＝x12（x－x1），
即y＝x12x－x124.
同理得抛物线在点B处的切线方程为y＝x22x－x224.
由y＝x12x－x124，y＝x22x－x224，得x＝x1＋x22=2k，y＝x1x24＝－b，即P（2k，－b），
设点P到直线AB的距离为d，则d＝｜2k2+2b｜1+k2，
所以S△PAB＝12｜AB｜·d＝4（k2＋b）3.
因为点P在圆M上，
所以4k2＋（4－b）2＝1，
且－12≤k≤12，3≤b≤5，满足①.
则k2＝1－（4－b）24＝－b2+8b－154，令t＝k2＋b，则t＝－b2+12b－154，且3≤b≤5.
因为t＝－b2+12b－154在[3，5]上单调递增，所以当b＝5时，t取得最大值，tmax＝5，此时k=0,所以△PAB面积的最大值为205.
解法二 设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 则切线PA的方程为y－y1＝x12（x－x1），切线PB的方程为y－y2＝x22（x－x2），
将点P（x0，y0）的坐标分别代入切线PA、切线PB的方程，可得x0x1－2（y0＋y1）=0，x0x2－2（y0＋y2）=0，则可得直线AB的方程为x0x－2（y＋y0）＝0.
由x0x－2（y＋y0）=0，x2=4y，可得x2－2x0x＋4y0＝0，Δ＝4（x02－4y0）＞0，则x1＋x2＝2x0，x1x2＝4y0，则｜AB｜＝1+kAB2·（x1＋x2）2－4x1x2＝（4+x02)(x02－4y0），
设点P到直线AB的距离为d，则d＝｜x02－4y0｜x02+4，
故S△PAB＝12·｜AB｜·d＝（x02－4y0）322.
由于点P在M上，故x02＝－y02－8y0－15，
代入上式得S△PAB＝（－y02－12y0－15）322，y0∈[－5，－3]，故当y0＝－5时，（S△PAB）max＝205.
方法技巧
抛物线中的阿基米德三角形的几何性质
圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.
过抛物线x2＝2py（p＞0）上A，B两点分别作抛物线的切线，两切线相交于点P，则△PAB为抛物线中的阿基米德三角形.若AB恰好过抛物线的焦点F（如图所示），则△PAB有以下基本性质：
（1）点P必在抛物线的准线上.
（2）△PAB为直角三角形，且∠APB为直角.
（3）PF⊥AB.
（4）点P的坐标为（xA＋xB2，－p2）.
训练4 [多选/2023云南省第二次统考]已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，分别以A，B为切点作抛物线C的切线，两切线交于点T，设线段AB的中点为M，若点T的坐标为（2，－12），则（ ACD ）
A.点M的横坐标为2B.点M的纵坐标为3
C.直线l的斜率等于2D.｜TM｜＝5
解析 解法一 抛物线C：x2＝2py，即y＝x22p，则y'＝xp，因为A，B两点在抛物线上，所以可设A（x1，x122p），B（x2，x222p），则以A为切点且与抛物线相切的直线的方程为y－x122p＝x1p（x－x1），即y＝x1px－x122p ①，同理可得以B为切点且与抛物线相切的直线的方程为y＝x2px－x222p ②，联立①②，得y＝x1px－x122p，y＝x2px－x222p，解得x＝x1＋x22，y＝x1x22p，即T（x1＋x22，x1x22p）.因为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，p2），直线l过点F，所以由题意可知直线l的斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋p2，与抛物线C：x2＝2py联立，得y＝kx＋p2，x2=2py，消去y，得x2－2pkx－p2＝0，所以x1x2＝－p2，即T（x1＋x22，－p2），又点T的坐标为(2,-12)，所以x1＋x22＝2，－p2＝－12，所以x1＋x2＝4，p＝1.所以线段AB的中点M的横坐标为x1＋x22＝2，所以选项A正确.
可得抛物线C：x2＝2y，F（0，12），A（x1，x122），B（x2，x222），所以直线l的斜率k＝x122－x222x1－x2＝x1＋x22＝2，所以选项C正确.
可得直线l的方程为y＝2x＋12，又点M的横坐标为2，且点M在直线l上，所以点M的纵坐标为2×2＋12＝92，所以选项B错误.
由M（2，92），T（2，－12），可得｜TM｜＝92－（－12）＝5，所以选项D正确.
综上，选ACD.
解法二 易知△TAB为阿基米德焦点三角形，设M（xM，yM），则点T的坐标为（xM，-p2），TF⊥AB.由已知T的坐标为（2，－12），得xM＝2，即点M的横坐标为2，A正确.－p2＝－12，p＝1，则F（0，12），kTF＝－12，则kAB＝2，C正确.直线l的方程为y＝2x＋12，由点M在直线l上，易得yM＝92，故B错误.由M（2，92），T（2，－12），得｜TM｜＝5，故D正确.
1.[命题点1/北京高考]设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（ B ）
A.经过点OB.经过点P
C.平行于直线OPD.垂直于直线OP
解析 连接PF，由抛物线的定义可知｜PQ｜＝｜FP｜，故线段FQ的垂直平分线经过点P.
2.[命题点2]在平面直角坐标系xOy中，动点M到定点F（1，0）的距离比到y轴的距离大1，则动点M的轨迹方程为 y2=4x（x≥0）y=0（x