备战2025年高考数学精品教案第八章平面解析几何第6讲双曲线（Word版附解析）

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学生用书P185
1.双曲线的定义和标准方程
（1）定义
在平面内到两定点F1，F2的距离的差的① 绝对值 等于常数（小于｜F1F2｜且大于零）的点的轨迹叫做双曲线.定点F1，F2叫做双曲线的② 焦点 ，两焦点间的距离叫做③ 焦距 .
集合语言：P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，2a＜｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
a.当2a＝2c时，P点的轨迹是④ 两条射线 ；
b.当2a＞2c时，P点轨迹不存在.
（2）标准方程
a.中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为⑤ x2a2－y2b2＝1 （a＞0，b＞0）；
b.中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为⑥ y2a2－x2b2＝1 （a＞0，b＞0）.
规律总结
焦点位置的判断
在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.
思维拓展
双曲线的第二定义、第三定义
双曲线的第二定义：{P｜｜PF｜d＝e，e＞1，F∉l，其中F为定点，l为定直线，e为离心率，d为点P到直线l的距离}.
双曲线的第三定义：{P｜kPA·kPB＝e2－1，e＞1，其中kPA，kPB分别表示点P与两定点A，B连线的斜率，e为离心率}（注意，此时确定的双曲线不包含两个顶点，且焦点在x轴上）.
2.双曲线的几何性质
（1）双曲线的几何性质
（2）特殊双曲线
常用结论
1.双曲线的焦点三角形与焦半径
F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线上一点，则
（1）S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.
（2）△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a.
（3）当点P（x0，y0）在双曲线右支上时，｜PF1｜＝ex0＋a，｜PF2｜＝ex0－a；当点Px0,y0在双曲线左支上时，｜PF1｜＝－ex0－a，｜PF2｜＝－ex0＋a.
（4）当点P在双曲线右支上时，｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a.
2.双曲线中两个常见的直角三角形
如图所示，F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为右顶点，过点F2向渐近线引垂线，垂足为C，过点A向x轴引垂线交渐近线于点B，则△COF2≌△AOB，且有｜OC｜＝｜OA｜＝a，｜F2C｜＝｜AB｜＝b，｜OF2｜＝｜OB｜＝c.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线
B.关于x，y的方程x2m－y2n＝1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线
C.双曲线y29－x24＝1的渐近线方程是y＝±23x
D.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2
2.[浙江高考]渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（ C ）
A.22B.1C.2D.2
解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝2a，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.故选C.
3.[2023北京高考]已知双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），离心率为2，则C的标准方程为 x22－y22＝1 .
解析 解法一 因为双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦点在x轴上.又离心率e＝2，所以ca＝2，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝2，所以双曲线C的标准方程为x22－y22＝1.
解法二 因为双曲线C的离心率e＝2，所以该双曲线为等轴双曲线，即a＝b.又双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦点在x轴上，所以a2＋b2＝c2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线C的标准方程为x22－y22＝1.
4.已知等轴双曲线过点（5，3），则该双曲线方程为 x216－y216＝1 .
解析 设双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0），将（5，3）代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.
5.[教材改编]设双曲线x29－y2b2＝1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为双曲线上的一点，若｜PF1｜＝5，则｜PF2｜＝ 11 .
解析 由双曲线的方程x29－y2b2＝1（b＞0），可得a＝3，根据双曲线的定义可知PF1-PF2=±2a=±6，又｜PF1｜＝5，则｜PF2｜＝11.
6.已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距为43，实轴长为42，则双曲线C的渐近线方程为 2x±y＝0 .
解析 由题意知，2c＝43，2a＝42，则b＝c2－a2＝2，所以C的渐近线方程为y＝±abx＝±2x，即2x±y＝0.
学生用书P187
命题点1 双曲线的定义及应用
例1 （1）[全国卷Ⅲ]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝（ A ）
A.1B.2C.4D.8
解析 解法一 设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，P为双曲线右支上一点，则由双曲线的定义得m－n＝2a.由题意得S△PF1F2＝12mn＝4，且m2＋n2＝4c2＝（m－n）2＋2mn＝4a2＋16，又e＝ca＝5，故c2a2＝a2+4a2＝5，所以a＝1，故选A.
解法二 由题意及双曲线焦点三角形的结论，得S△PF1F2＝b2tan45°＝4，得b2＝4，又c2a2＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1.
（2）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹为（ C ）
A.双曲线B.椭圆
C.双曲线左支D.双曲线右支
解析 设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得｜MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1－3,0和C23,0为焦点的双曲线的左支.
方法技巧
1.双曲线定义的主要应用
（1）确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为双曲线；
（2）解决与焦点有关的距离或范围问题.
2.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义以及余弦定理.
训练1 （1）已知P是双曲线C：x22－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则｜PF1｜＋｜PQ｜的最小值为（ D ）
A.1B.2＋155
C.4＋155D.22＋1
解析 设双曲线的右焦点为F2，因为｜PF1｜－｜PF2｜＝22，所以｜PF1｜＝22＋｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PQ｜＝22＋｜PF2｜＋｜PQ｜.当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，｜PF2｜＋｜PQ｜最小，且最小值为点F2到直线l的距离.点F2到直线l的距离d＝1，故｜PQ｜＋｜PF1｜的最小值为22＋1，故选D.
（2）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 23 .
解析 解法一 不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cs∠F1PF2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜＝12，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝8，所以S△F1PF2＝12｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝23.
解法二 由题意可得双曲线C的标准方程为x22－y22＝1，所以可得b2＝2，由双曲线焦点三角形的面积公式S△PF1F2＝b2tan∠F1PF22，可得S△F1PF2＝2tan30°＝23.
命题点2 求双曲线的标准方程
例2 （1）已知定点F1（－2，0），F2（2，0），N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是（ B ）
A.x2＋y23＝1B.x2－y23＝1
C.x23＋y2＝1D.x23－y2＝1
解析 如图，当点P在y轴左侧时，连接ON，PF1.因为｜ON｜＝12｜F2M｜＝1，所以｜F2M｜＝2，由PN所在直线为线段MF1的垂直平分线，可得｜PF1｜＝｜PM｜＝｜PF2｜－｜F2M｜＝｜PF2｜－2，所以｜PF2｜－｜PF1｜＝2＜｜F1F2｜＝4.同理，当点P在y轴右侧时，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＜｜F1F2｜＝4.故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，对应的方程为 x2－y23＝1.
（2）[2023天津高考]双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知｜PF2｜＝2，直线PF1的斜率为24，则双曲线的方程为（ D ）
A.x28－y24＝1B.x24－y28＝1
C.x24－y22＝1D.x22－y24＝1
解析 解法一 由题意可知该渐近线方程为y＝bax，直线PF2的方程为y＝－ab（x－c），与y＝bax联立并解得x＝a2c，y＝abc，即P（a2c，abc）.因为直线PF2与渐近线y＝bax垂直，所以PF2的长度即为点F2（c，0）到直线y＝bax（即bx－ay＝0）的距离，由点到直线的距离公式得｜PF2｜＝bca2＋b2＝bcc＝b，所以b＝2.因为F1（－c，0），P（a2c，abc），且直线PF1的斜率为24，所以abca2c＋c＝24，化简得aba2＋c2＝24，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以2a2a2+4＝24，整理得a2－22a＋2＝0，即（a－2）2＝0，解得a＝2.所以双曲线的方程为x22－y24＝1，故选D.
解法二 因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且｜PF2｜＝2，所以b＝2，（双曲线中焦点到渐近线的距离为b）
再结合选项，排除选项B，C.若双曲线方程为x28－y24＝1，则F1（－23，0），F2（23，0），渐近线方程为y＝±22x，由题意可知该渐近线方程为y＝22x，则直线PF2的方程为y=-2（x－23），与渐近线方程y＝22x联立，得P（433，263），则kPF1＝25，又直线PF1的斜率为24，所以双曲线方程x28－y24＝1不符合题意，排除A.故选D.
方法技巧
求双曲线标准方程的两种方法
1.定义法
先根据双曲线定义确定a，b，c的值，再结合焦点的位置求出双曲线方程.
2.待定系数法
（1）先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由题中条件确定a2，b2的值；若不能确定焦点位置，可以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）.
（2）常见设法
①与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ（a＞0，b＞0，λ≠0）；
②与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1（-b2