备战2025年高考数学精品教案第八章平面解析几何第3讲圆的方程（Word版附解析）

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学生用书P174
1.圆的定义与方程
规律总结
（1）在圆的一般方程中：当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点（－D2，－E2）；当D2＋E2－4F＜0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0没有意义，不表示任何图形.
（2）以A（x1，y1），B（x2，y2）为直径端点的圆的方程为（x－x1）（x－x2）＋（y－y1）（y－y2）＝0.
2.点与圆的位置关系
圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），圆心C的坐标为（a，b），半径为r，设M的坐标为（x0，y0）.
常用结论
向量法判断点与圆的位置关系
若点P是以AB为直径的圆O所在平面内的一点，则
PA·PB＞0⇔点P在圆O外；
PA·PB＝0⇔点P在圆O上；
PA·PB＜0⇔点P在圆O内.
1.[2022北京高考]若直线2x＋y－1＝0是圆（x－a）2 ＋y2＝1的一条对称轴，则a＝（ A ）
A.12B.－12C.1D.－1
解析 由题意知，圆心坐标为（a，0），且圆心在直线2x＋y－1＝0上，所以2a－1＝0，得a＝12.故选A.
2.[2021上海高考]已知圆x2＋y2－2x－4y＝0，则该圆的圆心坐标为 （1，2） .
解析 解法一 易知D＝－2，E＝－4，则－D2＝1，－E2＝2，故圆心坐标为（1，2）.
解法二 将圆的一般方程化为标准方程得（x－1）2＋（y－2）2＝5，则圆心坐标为（1，2）.
3.[易错题]半径为3，圆心的横、纵坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为 （x－3）2＋（y－3）2＝9或（x＋3）2＋（y＋3）2＝9 .
解析 由题意知圆心坐标为（3，3）或（－3，－3），故所求圆的方程为x－32+y－32=9或x+32+y+32＝9.
4.若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是 （－∞，1） .
解析 解法一 方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为（x＋a）2＋（y＋a）2＝1－a，若它表示圆，则需满足1－a＞0，故a＜1.
解法二 要使方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则需满足（2a）2＋（2a）2－4（2a2＋a－1）＞0，解得a＜1.
5.若点（1，1）在圆x2＋y2＋x＋ay＋1＝0外，则实数a的取值范围为 （－4，－3）∪（3，＋∞） .
解析 由题可知12＋a2－4×1＞0，解得a＞3或a＜－3.又点（1，1）在圆外，所以12+12+1+a+1>0，解得a＞－4.故实数a的取值范围为（－4，－3）∪（3，＋∞）.
学生用书P175
命题点1 求圆的方程
例1 （1）[2022全国卷乙]过四点（0，0），（4，0），（－1，1），（4，2）中的三点的一个圆的方程为 x2＋y2－4x－6y＝0（答案不唯一） .
解析 设A（0，0），B（4，0），C（－1，1），M（4，2），圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.若圆过A，B，C三点，则分别将三点的坐标代入，可得F=0，16+4D＋F=0，2－D＋E＋F=0，解得D＝－4，E＝－6，F=0，易得D2＋E2－4F＞0，所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－4x－6y＝0.
同理，得过A，B，M三点的圆的方程为x2＋y2－4x－2y＝0；
过A，C，M三点的圆的方程为x2＋y2－83x－143y＝0；
过B，C，M三点的圆的方程为x2＋y2－165x－2y－165＝0.
（2）[2022全国卷甲]设点M在直线2x＋y－1＝0上，点（3，0）和（0，1）均在☉M上，则☉M的方程为 （x－1）2＋（y＋1）2＝5 .
解析 解法一（待定系数法） 设☉M的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，则2a＋b－1=0，（3－a）2＋b2＝r2，a2＋（1－b）2＝r2，解得a=1，b＝－1，r2=5，∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
解法二（几何法） 设A（3，0），B（0，1），☉M的半径为r，则kAB＝1－00－3＝－13，AB的中点坐标为（32，12），∴AB的垂直平分线方程为y－12＝3（x－32），即3x－y－4＝0.联立得3x－y－4=0，2x＋y－1=0，解得M（1，－1），∴r2＝｜MA｜2＝（3－1）2＋[0－（－1）]2＝5，∴☉M的方程为（x－1）2＋（y＋1）2＝5.
方法技巧
求圆的方程的两种方法
训练1 （1）已知m为实数，方程（m＋2）x2＋m2y2＋8x＋4y＋5m＝0表示圆，则实数m的值为 －1 .
解析 ∵（m＋2）x2＋m2y2＋8x＋4y＋5m＝0表示圆，∴m＋2＝m2，∴m＝－1或m＝2.（二次项系数相等）
当m＝－1时，原方程为x2＋y2＋8x＋4y－5＝0，（二次项系数化为1后再使用公式）
即（x＋4）2＋（y＋2）2＝25.
当m＝2时，原方程可化为x2＋y2＋2x＋y＋52＝0，
即（x＋1）2＋（y＋12）2＝－54，不是圆的方程，∴m＝2不合题意.综上，m的值为－1.
（2）[2023郑州市一测]经过点P（1，1）以及圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点的圆的方程为 x2＋y2＋x－y－2＝0 .
解析 解法一 联立得x2＋y2－4=0，x2＋y2－4x+4y－12=0，解得x＝－2，y=0或x=0，y=2，不妨设A-2，0,B0,2,过A，B，P三点的圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0），分别将A，B，P三点的坐标代入，得4－2D＋F=0，4+2E＋F=0，2+D＋E＋F=0，解得D=1，E＝－1，F＝－2，且D2＋E2－4F＞0，所以所求圆的方程为x2＋y2＋x－y－2＝0.
解法二 联立得x2＋y2－4=0，x2＋y2－4x+4y－12=0，解得x＝－2，y=0或x=0，y=2，不妨设A（－2，0），B（0，2），如图，在平面直角坐标系中作出A，B，P三点，并连接AB，AP，BP，显然△ABP是以AP为斜边的直角三角形，且AP为所求圆的直径，记所求圆的圆心为E，半径为R，则E为AP的中点，且E（－12，12），R＝（－2－1）2＋（0－1）22＝102，故所求圆的方程为（x＋12）2＋（y－12）2＝52，即x2＋y2＋x－y－2＝0.
解法三 设过圆x2＋y2－4＝0和圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的交点的圆的方程为x2+y2-4x+4y-12+λx2+y2-4=0，因为此圆经过点P（1，1），所以有1+1-4+4-12+λ1+1-4=0，解得λ＝－5，即所求圆的方程为x2＋y2－4x＋4y－12－5（x2＋y2－4）＝0，化简得，x2＋y2＋x－y－2＝0.
命题点2 与圆有关的轨迹问题
例2 （1）若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为（－3，0）和（7，0），则直角顶点C的轨迹方程为（ C ）
A.x2＋y2＝25（y≠0）B.x2＋y2＝25
C.（x－2）2＋y2＝25（y≠0）D.（x－2）2＋y2＝25
解析 解法一（定义法） 线段AB的中点为D（2，0），因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点， 所以｜CD｜＝｜AD｜＝｜DB｜，所以点C在以D为圆心，｜AD｜＝5为半径的圆上，所以点C的轨迹方程为（x－2）2＋y2＝25（y≠0）.
解法二（直接法） 线段AB的中点坐标为（2，0），因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以点C到点（2，0）的距离为12｜AB｜＝5，所以点C（x，y）满足（x－2）2＋y2＝5（y≠0），即（x－2）2＋y2＝25（y≠0）.
（2）已知线段AB的端点B的坐标为（8，6），端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，则线段AB的中点P的轨迹方程为 （x－3）2＋（y－3）2＝1 .
解析 设点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（x0，y0），由于点B的坐标为（8，6），且P为线段AB的中点，∴x＝x0+82，y＝y0+62，于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.
∵点A在圆C上运动，
∴点A的坐标满足方程x2＋y2＋4x＝0，即x02＋y02＋4x0＝0，
∴（2x－8）2＋（2y－6）2＋4（2x－8）＝0，
化简整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，
即（x－3）2＋（y－3）2＝1.
方法技巧
求与圆有关的轨迹问题的几种方法
1.直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表示等式，直接求解轨迹方程.
2.定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出圆的方程.
3.相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关时，常找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求轨迹方程.
训练2 已知定点M（1，0），N（2，0），动点P满足｜PN｜＝2｜PM｜.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知点B（6，0），点A在轨迹C上运动，求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.
解析 （1）设动点P的坐标为（x，y），
因为M（1，0），N（2，0），且｜PN｜＝2｜PM｜，
所以（x－2）2＋y2＝2·（x－1）2＋y2，
整理得x2＋y2＝2，
所以动点P的轨迹C的方程为x2＋y2＝2.
（2）设点Q的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），
因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点，
所以AQ＝2QB，即（x－xA，y－yA）＝2（6－x，－y），
解得xA=3x－12，yA=3y，
又点A在轨迹C上运动，
由（1）有（3x－12）2＋（3y）2＝2，化简得（x－4）2＋y2＝29，
即点Q的轨迹方程为（x－4）2＋y2＝29.
命题点3 与圆有关的最值问题
角度1 几何法求最值
例3 （1）[多选/2021新高考卷Ⅰ]已知点P在圆（x－5）2＋（y－5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（ ACD ）
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝32
D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝32
解析 设圆（x－5）2＋（y－5）2＝16的圆心为M（5，5），由题易知直线AB的方程为x4+y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝｜5+2×5－4｜5＝115＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，4＋115＜5＋1255＝10，故A正确.
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，115－4＜1255－4＝1，故B不正确.
过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，｜PB｜＝｜MB｜2－｜MN｜2＝52＋（5－2）2－42＝32，当∠PBA最大时，点P与Q重合，｜PB｜＝32，故C，D都正确.综上，选ACD.
（2）已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
①则yx的最大值和最小值分别为 3 和 －3 ；
②则y－x的最大值和最小值分别为 －2＋6 和 －2－6 ；
③则x2＋y2的最大值和最小值分别为 7＋43 和 7－43 .
解析 ①（斜率型）原方程可化为（x－2）2＋y2＝3，表示以（2，0）为圆心，3为半径的圆，yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时｜2k－0｜k2+1＝3，解得k＝±3.
所以yx的最大值为3，最小值为－3.
②解法一（截距型） y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，b取得最大值或最小值，此时｜2－0+b｜2＝3，解得b＝－2±6.
所以y－x的最大值为－2＋6，最小值为－2－6.
解法二（换元法） 圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝3，所以设x－2＝3cs θ，y＝3sinθ，
则y－x＝3sin θ－3cs θ－2＝6sin（θ－π4）－2，当θ＝3π4时，y－x取最大值6－2；当θ＝7π4时，y－x取最小值－6－2.
③解法一（距离型） x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，最大值和最小值在过原点与圆心的直线与圆的两个交点处取得.
又圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2，
所以x2＋y2的最大值是（2＋3）2＝7＋43，
x2＋y2的最小值是（2－3）2＝7－43.
解法二 由②中解法二可知，x2＋y2＝（2＋3cs θ）2＋（3sin θ）2＝7＋43cs θ，从而得x2＋y2的最大值和最小值分别为7＋43，7－43.
角度2 代数法求最值
例4 （1）[2023全国卷乙]已知实数x，y满足 x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（ C ）
A.1＋322B.4C.1＋32D.7
解析 将方程x2＋y2－4x－2y－4＝0化为（x－2）2＋（y－1）2＝9，其表示圆心为（2，1），半径为3的圆.设z＝x－y，数形结合知，只有当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值，此时｜2－1－z｜2＝3，解得z＝1±32，故z＝x－y的最大值为1＋32，故选C.
（2）[2023全国卷乙]已知☉O的半径为1，直线PA与☉O相切于点A，直线PB与☉O交于B，C两点，D为BC的中点，若｜PO｜＝2，则PA·PD的最大值为（ A ）
A.1+22B.1+222C.1＋2D.2＋2
解析 解法一 连接OA，由题可知｜OA｜＝1，OA⊥PA，因为｜OP｜＝2，所以在Rt△PAO中，由勾股定理可得｜PA｜＝1，则∠POA＝π4.设直线OP绕点P按逆时针方向旋转θ后与直线PD重合，则－π4＜θ＜π4，∠APD＝π4＋θ，且｜PD｜＝2cs θ，所以PA·PD=｜PA｜｜PD｜·cs（π4＋θ）＝2cs θcs（π4＋θ）＝12＋22cs（2θ＋π4）≤12＋22，（利用结论cs αcs β＝12[cs（α＋β）＋cs（α－β）]）
故选A.
解法二 以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系，则圆O：x2＋y2＝1，令点P（2，0），因为｜OA｜＝1，且OA⊥PA，所以∠POA＝π4，不妨令A（22，22）.设直线PD的方程为y＝k（x－2），B（x1，y1），C（x2，y2），由y＝k（x－2),x2＋y2=1，得（k2＋1）x2－22k2x＋2k2－1＝0，由Δ＝8k4－4（k2＋1）（2k2－1）＝4－4k2＞0，解得－1＜k＜1，则x1＋x2＝22k2k2+1，y1＋y2＝k（x1＋x2－22）＝－22kk2+1，所以D（2k2k2+1，－2kk2+1），于是PA＝（－22，22），PD＝（－2k2+1，－2kk2+1），所以PA·PD＝1－kk2+1.设t＝1－k，则0＜t＜2，PA·PD＝t（1－t）2+1＝tt2－2t+2＝1t＋2t－2≤122－2＝12＋22，当且仅当t＝2时等号成立，故选A.
方法技巧
与圆有关的最值问题的常见类型及求解策略
1.利用几何法求最值
（1）借助两点之间线段最短或垂线段最短求最值，往往会涉及折线段的距离和问题.
（2）利用常见代数式的几何意义求最值，如斜率（μ＝y－bx－a），两点之间的距离或其平方（m＝（x－a）2＋（y－b）2），点到直线的距离（d＝1A2＋B2｜Ax0＋By0＋C｜）等.
2.利用代数法求最值
通常会利用已知条件通过换元（如利用sin2α＋cs2α＝1），消元，整体代入等构造函数或利用不等式求最值.
注意 到圆上一点的最值问题通常转化为到圆心的最值问题.
训练3 （1）[2024安徽太和中学模拟]已知点P（t，t－1），t∈R，O是坐标原点，Q是圆C：（x－3）2＋（y＋1）2＝1上的动点，则｜PQ｜－｜PO｜的最大值为（ C ）
A.2B.52C.3D.4
解析 易得点P在直线l：x－y－1＝0上.圆C：（x－3）2＋（y＋1）2＝1的圆心为C（3，－1），半径r＝1，而点Q在圆C上，则｜PQ｜max＝｜PC｜＋r，因此（｜PQ｜－｜PO｜）max＝r＋（｜PC｜－｜PO｜）max.设点C关于直线l的对称点为C'（a，b），则｜PC｜＝｜PC'｜，且有b+1a－3＝－1，a+32－b－12－1=0，解得a=0，b=2，即C'（0，2），因此PC-PO=PC'-PO≤OC'=2，当且仅当点P，O，C'共线，且点O在线段PC'上时取等号，易得此时点P的坐标为（0，－1），所以（｜PQ｜－｜PO｜）max＝1＋2＝3.
（2）[2023四省联考]若P，Q分别是抛物线x2＝y与圆（x－3）2＋y2＝1上的点，则｜PQ｜的最小值为 5－1 .
解析 由题意，知圆的圆心为C（3，0），半径为1.
设P（x0，x02），如图，易知｜PQ｜min＝｜CP｜min－1，｜CP｜2＝（x0－3）2＋（x02－0）2＝x04＋x02－6x0＋9.设fx=x4+x2-6x+9，则f'x=4x3+2x-6=2x－12x2+2x+3.因为2x2＋2x＋3＝2（x＋12）2＋52＞0恒成立，所以当x＜1时，f'x