备战2025年高考数学精品教案第四章三角函数第4讲简单的三角恒等变换（Word版附解析）

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学生用书P079
命题点1 三角函数式的化简
例1 （1）[2021全国卷甲]若α∈（0，π2），tan 2α＝csα2－sinα，则tan α＝（ A ）
A.1515B.55C.53D.153
解析 因为tan 2α＝sin2αcs2α＝2sinαcsα1－2sin2α，且tan 2α＝csα2－sinα，所以2sinαcsα1－2sin2α＝csα2－sinα，由α∈（0，π2）得cs α≠0，解得sin α＝14，cs α＝154，tan α＝sinαcsα＝1515.故选A.
（2）化简：2cs2α－12tan（π4－α）sin2（π4＋α）＝ 1 .
解析 原式＝cs2α2tan（π4－α）cs2（π4－α）＝cs2α2sin（π4－α）cs（π4－α）＝cs2αsin（π2－2α）＝cs2αcs2α＝1.
方法技巧
化简三角函数式的方法与技巧
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构特征.
2.化简时要注意观察条件中角之间的联系（和、差、倍、互余、互补等），寻找式子与三角函数公式间的联系，找到变形方向.
训练1 [2021新高考卷Ⅰ]若tan θ＝－2，则sinθ（1+sin2θ）sinθ＋csθ＝（ C ）
A.－65B.－25C.25D.65
解析 解法一 因为tan θ＝－2，所以sinθ（1+sin2θ）sinθ＋csθ＝sinθ（sinθ＋csθ）2sinθ＋csθ＝sin θ（sin θ＋
cs θ）＝sin2θ＋sinθcsθsin2θ＋cs2θ＝tan2θ＋tanθtan2θ+1＝4－24+1＝25.故选C.
解法二 因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，
所以sinθ＝25，csθ＝－15或sinθ＝－25，csθ＝15，所以sinθ（1+sin2θ）sinθ＋csθ＝sinθ（sinθ＋csθ）2sinθ＋csθ＝sin θ（sin θ＋
cs θ）＝sin2θ＋sin θcs θ＝45－25＝25.故选C.
命题点2 三角函数式的求值
角度1 给角求值
例2 （1）sin 50°（1＋3tan 10°）＝ 1 .
解析 sin 50°（1＋3tan 10°）＝sin 50°（1＋tan 60°tan 10°）＝
sin 50°×cs60°cs10°＋sin60°sin10°cs60°cs10°＝sin 50°×cs（60°－10°）cs60°cs10°＝2sin50°cs50°cs10°＝sin100°cs10°＝cs10°cs10°＝1.
（2）sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝ 116 .
解析 原式＝12cs 20°·cs 40°·cs 80°＝sin20°·cs20°·cs40°·cs80°2sin20°＝sin160°16sin20°＝116.
方法技巧
给角求值问题的解题策略
一般给出的角都是非特殊角，求解时要观察所给角与特殊角的关系及三角函数名称，然后进行角的变换和式子结构的变换，通过公式的正用、逆用及变形化简求值.
注意 当式子中出现12，1，32，3等数时，要考虑引入特殊角，通过“值变角”化简计算.
角度2 给值求值
例3 （1）[2022浙江高考]若3sin α－sin β＝10，α＋ β＝π2，则sin α＝ 31010 ，cs 2 β＝ 45 .
解析 因为α＋ β＝π2，所以 β＝π2－α，所以3sin α－sin β＝3sin α－sin（π2－α）＝3sin α－cs α＝10sin（α－φ）＝10，其中sin φ＝1010，cs φ＝31010，所以α－φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以α＝π2＋φ＋2kπ，k∈Z，所以sin α＝sin（π2＋φ＋2kπ）＝cs φ＝31010，k∈Z.因为sin β＝3sin α－10＝－1010，所以cs 2 β＝1－2sin2 β＝1－15＝45.
（2）[江苏高考]已知tanαtan（α＋π4）＝－23，则sin（2α＋π4）的值是 210 .
解析 解法一 tanαtan（α＋π4）＝tanαtanα+11－tanα＝tanα（1－tanα）tanα+1＝－23，解得tan α＝2或tan α＝－13.
当tan α＝2时，sin 2α＝2sinαcsαsin2α＋cs2α＝2tanαtan2α+1＝45，cs 2α＝cs2α－sin2αsin2α＋cs2α＝1－tan2αtan2α＋1＝－35，此时sin 2α＋cs 2α＝15.同理当tan α＝－13时，sin 2α＝－35，cs 2α＝45，此时sin 2α＋cs 2α＝15，所以sin（2α＋π4）＝22（sin 2α＋cs 2α）＝210.
解法二 tanαtan（α＋π4）＝sinαcs（α＋π4）csαsin（α＋π4）＝－23，则sin αcs（α＋π4）＝－23cs αsin（α＋π4），又22＝sin[（α＋π4）－α]＝sin（α＋π4）cs α－cs（α＋π4）·sin α＝53sin（α＋π4）cs α，则sin（α＋π4）cs α＝3210，则sin（2α＋π4）＝sin[（α＋π4）＋α]＝sin（α＋π4）cs α＋cs（α＋π4）sin α＝13sin（α＋π4）·cs α＝13×3210＝210.
方法技巧
给值求值问题的解题策略
1.将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据已知条件和角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.
2.把已知角与未知角建立联系求解.求解时要注意，角的范围不确定时应分类讨论.
角度3 给值求角
例4 （1）若sin 2α＝55，sin（ β－α）＝1010，且α∈[π4，π]， β∈[π，3π2]，则α＋ β的值是（ A ）
A.7π4B.9π4
C.5π4或7π4 D.5π4或9π4
解析 因为α∈[π4，π]，所以2α∈[π2，2π].又sin 2α＝55，所以2α∈（π2，π），α∈（π4，π2），所以cs 2α＝－1－sin22α＝－255.因为 β∈[π，3π2]，所以α＋ β∈（54π，2π）， β－α∈（π2，5π4），所以cs（ β－α）＝－1－sin2（β－α）＝－31010，所以cs（α＋ β）＝cs[2α＋（ β－α）]＝cs 2αcs（ β－α）－sin 2α·sin（ β－α）＝－255×（－31010）－55×1010＝22.又α＋ β∈（5π4，2π），所以α＋ β＝7π4.
（2）已知α， β为锐角，且（1－3tan α）（1－3tan β）＝4，则α＋ β＝ 2π3 .
解析 将（1－3tan α）（1－3tan β）＝4展开，得－3（tan α＋tan β）＝3（1－
tan α·tan β），即tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan（α＋ β）＝－3，由于α， β为锐角，所以0＜α＋ β＜π，故α＋ β＝2π3.
方法技巧
给值求角问题的解题策略
1.给值求角问题可转化为给值求值问题，通过求角的某个三角函数值来求角（注意角的范围），在选取函数时，遵循以下原则.
（1）已知正切函数值，选正切函数.
（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数.若角的范围是（0，π2），选正、余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数较好；若角的范围为（－π2，π2），选正弦函数较好.
注意 所选函数尽量在确定的角的范围内单调，即一个函数值只对应一个角，避免产生多解.
2.准确缩小角的范围也是求解的关键.常见的缩小角范围的方法：一是灵活运用条件中角的取值范围，运用不等式的性质（如“同向可加性”）求解；二是可以根据三角函数值的符号缩小角的范围；三是可以把已知三角函数值与特殊角的三角函数值比较，缩到更小的范围.
训练2 （1）[2024湖南省长沙市第一中学模拟]已知0＜ β＜α＜π2，且cs（α－ β）＝1213，cs 2 β＝35，则cs（α＋ β）＝（ A ）
A.1665B.3365C.5665D.6365
解析 由0＜ β＜α＜π2，得0＜α－ β＜π2，又cs（α－ β）＝1213，所以sin（α－ β）＝1－（1213）2＝513，因为0＜2 β＜π，cs 2 β＝35，所以sin 2 β＝1－（35）2＝45，所以
cs（α＋ β）＝cs[（α－ β）＋2 β]＝cs（α－ β）cs 2 β－sin（α－ β）sin 2 β＝1213×35－513×45＝1665.故选A.
（2）[2024 河南省南阳市第一中学质量评估]已知tan α＝17，sin β＝1010，α， β∈（0，π2），则α＋2 β＝ π4 .
解析 因为tan α＝17，α是锐角，所以0＜α＜π4，因为sin β＝1010， β为锐角，所以0＜ β＜π4，0＜α＋2 β＜3π4，因为sin β＝1010，所以cs β＝31010，tan β＝13，则tan 2 β＝2tanβ1－tan2β＝2×131－（13）2＝34，tan（α＋2 β）＝tanα＋tan2β1－tanαtan2β＝17＋341－17×34＝1，故α＋2 β＝π4.
（3）（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝ 2 .
解析 由题意知，（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°.因为tan 20°＋tan 25°＝tan 45°（1－tan 20°tan 25°）＝1－tan 20°tan 25°，所以（1＋tan 20°）（1＋tan 25°）＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.
1.[命题点1]化简：2－2－2+2+2csα（3π＜α＜4π）＝ 2sin α16 .
解析 ∵3π＜α＜4π，∴3π2＜α2＜2π，3π4＜α4＜π，3π8＜α8＜π2，3π16＜α16＜π4，
∴原式＝2－2－2+2cs α2＝2－2+2cs α4＝2－2cs α8＝2sin α16.
2.[命题点1/2023河南省安阳部分重点高中模拟]若csα2＝12sinα2，则1+sinα＋csα1－2cs（α＋π4）＝（ B ）
A.1B.12C.22D.22
解析 由已知得tanα2＝2，故sin α＝2sinα2csα2cs2α2＋sin2α2＝2tanα21+tan2α2＝45，cs α＝cs2α2－sin2α2cs2α2＋sin2α2＝1－tan2α21+tan2α2＝
－35，所以1+sinα＋csα1－2cs（α＋π4）＝1+sinα＋csα1+sinα－csα＝12.故选B.
3.[命题点2角度2/2023湖南省株洲市素质检测]已知cs（π4＋x）＝35，17π12＜x＜7π4，则sin2x+2sin2x1－tanx的值为 －2875 .
解析 sin2x+2sin2x1－tanx＝sin 2x×1+sinxcsx1－tanx＝sin 2x×tan π4＋tanx1－tan π4tanx＝sin 2x×tan（π4＋x）.
因为cs（π4＋x）＝35，17π12＜x＜7π4，所以5π3＜π4＋x＜2π，sin（π4＋x）＝
－1－cs2（π4＋x）＝－45，
所以tan（π4＋x）＝sin（π4＋x）cs（π4＋x）＝－43，
又sin 2x＝sin[2（π4＋x）－π2]＝－cs 2（π4＋x）＝
－[1－2sin2（π4＋x）]＝725，所以sin2x+2sin2x1－tanx＝sin 2x×tan（π4＋x）＝725×（－43）＝－2875.
4.[命题点2角度3/2023广州市调研]若α， β∈（π2，π），且（1－cs 2α）（1＋sin β）＝sin 2αcs β，则下列结论正确的是（ A ）
A.2α＋ β＝5π2B.2α－ β＝3π4
C.α＋ β＝7π4D.α－ β＝π2
解析 由题意可得[1－（1－2sin2α）]（1＋sin β）＝2sin αcs α·cs β，因为sin α≠0，所以sin α＋sin αsin β＝cs αcs β，即sin α＝cs（α＋ β）.因为α， β∈（π2，π），所以α＋ β∈（π，2π），52π－α∈（3π2，2π），易得sin α＞0，所以cs（α＋ β）＞0，所以α＋ β∈（3π2，2π），sin α＝cs（α＋ β）可变形为cs（52π－α）＝cs（α＋ β）.因为y＝cs x在区间（3π2，2π）上单调递增，所以52π－α＝α＋ β，可得2α＋ β＝5π2，故选A.
学生用书·练习帮P294
1.[2023黑龙江鹤岗一中模拟]已知tan（π－α）＝－2，则11+cs2α＝（ D ）
A.23B.34C.45D.56
解析 因为tan（π－α）＝－2，所以tan α＝2，则11+cs2α＝sin2α＋cs2αsin2α+2cs2α＝tan2α+1tan2α+2＝4+14+2＝56，故选D.
2.若θ为锐角，cs（θ＋π4）＝－210，则tan θ＋1tanθ＝（ B ）
A.1225B.2512C.247D.724
解析 因为cs（θ＋π4）＝cs θcs π4－sin θsinπ4＝22（cs θ－sin θ）＝－210，所以cs θ－
sin θ＝－15.
解法一 因为sin2θ＋cs2θ＝1且有0＜θ＜π2，所以sin θ＝45，cs θ＝35，所以tan θ＝sinθcsθ＝43，所以tan θ＋1tanθ＝43＋34＝2512，故选B.
解法二 将cs θ－sin θ＝－15两边平方，整理得1－2sin θcs θ＝125，所以sin θcs θ＝1225，所以tan θ＋1tanθ＝sinθcsθ＋csθsinθ＝sin2θ＋cs2θsinθcsθ＝1sinθcsθ＝2512，故选B.
3.[2024四川成都新都一中模拟]sin50°1－cs80°3cs10°的值为（ C ）
A.63B.64C.66D.62
解析 sin50°1－cs80°3cs10°＝2sin50°·sin40°3cs10°＝2cs40°·sin403cs10°＝2sin80°23cs10°＝66，故选C.
4.[数学文化]魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24 576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin 52°，则1－2cs27°π16－π2的值为（ A ）
A.－18B.－8C.8D.18
解析 将π≈4sin 52°代入1－2cs27°π16－π2，可得1－2cs27°4sin52°16－16sin252°＝－cs14°16sin52°cs52°＝－cs14°8sin104°＝
－cs14°8sin（90°+14°）＝－cs14°8cs14°＝－18.
5.[浙江高考]若0＜α＜π2，－π2＜ β＜0，cs（π4＋α）＝13，cs（π4－β2）＝33，则cs（α＋β2）＝（ C ）
A.33B.－33C.539D.－69
解析 不难发现α＋β2＝（π4＋α）－（π4－β2）.注意到0＜α＜π2，则π4＜α＋π4＜3π4，所以sin（π4＋α）＝1－（13）2＝223.
又－π2＜ β＜0，所以0＜－β2＜π4，所以π4＜π4－β2＜π2，所以sin（π4－β2）＝1－（33）2＝63，从而cs（α＋β2）＝cs[（π4＋α）－（π4－β2）]＝cs（π4＋α）cs（π4－β2）＋sin（π4＋α）sin（π4－β2）＝13×33＋223×63＝539.
6.[2024浙江联考]已知2sin α－sin β＝3，2cs α－cs β＝1，则cs（2α－2 β）＝（ D ）
A.－18B.154C.14D.－78
解析 由题可得，（2sin α－sin β）2＝3，（2cs α－cs β）2＝1，即4sin2α－4sin αsin β＋sin2 β＝3，4cs2α－4cs αcs β＋cs2 β＝1，两式相加可得4－4sin αsin β－4cs αcs β＋1＝4，即cs αcs β＋sin αsin β＝14，故cs（α－ β）＝14，cs（2α－2 β）＝2cs2（α－ β）－1＝2×116－1＝－78.故选D.
7.[2024广东阳江模拟]已知α∈（0，π），若3（sin α＋sin 2α）＋cs α－cs 2α＝0，则
sin（α－π12）＝（ C ）
A.22B.32C.6＋24D.6－24
解析 ∵3（sin α＋sin 2α）＋cs α－cs 2α＝0，∴3sin α＋cs α＝cs 2α－3sin 2α，∴sin（α＋π6）＝sin（π6－2α），∴α＋π6＝π6－2α＋2kπ或α＋π6＋π6－2α＝2kπ＋π，k∈Z，即α＝2kπ3或α＝－（6k+2）π3，k∈Z，又α∈（0，π），∴α＝2π3，∴sin（α－π12）＝sin（2π3－π12）＝sin7π12＝sin（π3＋π4）＝sinπ3csπ4＋csπ3sinπ4＝6＋24，故选C.
8.已知cs4α－sin4α＝23，且α∈（0，π2），则sin 2α＝ 53 ，cs（2α＋π3）＝ 2－156 .
解析 ∵cs4α－sin4α＝（sin2α＋cs2α）（cs2α－sin2α）＝cs 2α＝23，又α∈（0，π2），∴2α∈（0，π），∴sin 2α＝1－cs22α＝53，cs（2α＋π3）＝12cs 2α－32sin 2α＝12×23－32×53＝2－156.
9.[2023湖南张家界模拟]已知锐角α满足1＋3tan80°＝1sinα，则α＝ 50° .
解析 1＋3tan80°＝sin80°＋3cs80°sin80°＝2sin（80°+60°）sin80°＝2sin140°2sin40°cs40°＝2sin40°2sin40°cs40°＝1cs40°＝1sin50°＝1sinα，则sin α＝sin 50°.因为α为锐角，所以α＝50°.
10.化简并求值.
（1）3－4sin20°+8sin320°2sin20°sin480°；
（2）（1cs280°－3cs210°）·1cs20°.
解析 （1）原式＝3－4sin20°（1－2sin220°）2sin20°sin480°＝3－4sin20°cs40°2sin20°sin480°＝2sin（20°+40°）－4sin20°cs40°2sin20°sin480°＝2sin（40°－20°）2sin20°sin480°＝1sin480°＝1sin120°＝233.
（2）原式＝（cs10°－3cs80°)(cs10°＋3cs80°）cs280°cs210°cs20°＝（cs10°－3sin10°)(cs10°＋3sin10°）cs280°cs210°cs20°＝4cs70°cs50°cs280°cs210°cs20°＝4sin20°sin40°sin210°cs210°cs20°＝32sin220°cs20°sin220°cs20°＝32.
11.设θ∈R，则“0＜θ＜π3”是“3sin θ＋cs 2θ＞1”的（ A ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 3sin θ＋cs 2θ＞1⇔3sin θ＞1－cs 2θ＝2sin2θ⇔（2sin θ－3）sin θ＜0⇔0＜sin θ＜32.当0＜θ＜π3时，0＜sin θ＜32；当0＜sin θ＜32时，2kπ＜θ＜π3＋2kπ，k∈Z或2π3＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z.所以0＜θ＜π3是3sin θ＋cs 2θ＞1的充分不必要条件.故选A.
12.已知tan α＝13，tan β＝－17，且α， β∈（0，π），则2α－ β＝（ C ）
A.π4B.π4或5π4
C.－3π4D.π4或5π4或－3π4
解析 ∵tan α＝13＞0，且α∈（0，π），∴α∈（0，π2），2α∈（0，π），∴tan 2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－（13）2＝34＞0，∴2α∈（0，π2）.∵tan β＝－17＜0，且 β∈（0，π），∴ β∈（π2，π），∴2α－ β∈（－π，0），又tan（2α－ β）＝tan2α－tanβ1+tan2αtanβ＝34－（－17）1+34×（－17）＝1，∴2α－ β＝－3π4.
13.[2023武汉模拟]f（x）满足：∀x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，都有x2f（x1）－x1f（x2）x1－x2＜0.a＝sin 7°sin 83°，b＝tan8°1+tan28°，c＝cs25π24－12，则f（a）a，f（b）b，f（c）c的大小顺序为（ C ）
A. f（a）a＜f（b）b＜f（c）c
B. f（a）a＜f（c）c＜f（b）b
C. f（b）b＜f（c）c＜ f（a）a
D. f（c）c＜ f（a）a＜f（b）b
解析 a＝sin 7°sin 83°＝sin 7°cs 7°＝12sin 14°，b＝tan8°1+tan28°＝sin8°cs8°cs28°＋sin28°＝12sin 16°，c＝cs25π24－12＝12cs 5π12＝12sin π12＝12sin 15°，∴a＜c＜b.由题知，∀x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，都有x2f（x1）－x1f（x2）x1－x2＜0，两边同时除以x1x2得f（x1）x1－f（x2）x2x1－x2＜0，∴y＝f（x）x在（0，1）上单调递减，∴f（b）b＜f（c）c＜f（a）a.
14.[多选]已知tan（α＋ β）＝tan α＋tan β，其中α≠nπ2（n∈Z）且 β≠mπ2（m∈Z），则下列结论一定正确的是（ AD ）
A.sin（α＋ β）＝0
B.cs（α＋ β）＝1
C.sin2α2＋sin2β2＝1
D.sin2α＋cs2 β＝1
解析 由条件得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tan α＋tan β（α≠nπ2（n∈Z）且 β≠mπ2（m∈Z）），从而得到
tan α＋tan β＝0，所以α＝kπ－ β，k∈Z，即α＋ β＝kπ，k∈Z，所以sin（α＋ β）＝0，故A正确；对于B选项，cs（α＋ β）＝cs kπ＝±1，故B错误；对于C选项，sin2α2＋sin2β2＝sin2（kπ2－β2）＋sin2β2，当k为偶数时，sin2α2＋sin2β2＝sin2β2＋sin2β2＝2sin2β2，故C错误；对于D选项，sin2α＋cs2 β＝sin2（kπ－ β）＋cs2 β＝sin2 β＋cs2 β＝1，所以D正确.
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角 β的终边与单位圆分别交于点A，B，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝55，点B的纵坐标是210.
（1）求cs（α－ β）的值；
（2）求2α－ β的值.
解析 （1）由题意，｜OA｜＝｜OM｜＝1，
∵S△OAM＝12｜AO｜·｜OB｜·sin α＝12sin α＝55，且α为锐角，
∴sin α＝255，cs α＝55，
又点B的纵坐标是210，且 β为钝角，∴sin β＝210，cs β＝－7210，
∴cs（α－ β）＝cs αcs β＋sin αsin β＝55×（－7210）＋255×210＝－1010.
（2）∵cs 2α＝2cs2α－1＝2×（55）2－1＝－35，sin 2α＝2sin αcs α＝2×255×55＝45，
∴2α∈（π2，π），
∵ β∈（π2，π），∴2α－ β∈（－π2，π2）.
∵sin（2α－ β）＝sin 2αcs β－cs 2αsin β＝45×（－7210）－（－35）×210＝－22，
∴2α－ β＝－π4.
16.[情境创新/2023盐城模拟]已知由sin 2x＝2sin xcs x，cs 2x＝2cs2x－1，cs 3x＝cs（2x＋x）可推得三倍角余弦公式cs 3x＝4cs3x－3cs x，已知cs 54°＝sin 36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin 18°＝ 5－14 ；如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的，则HE·HG＝ 5＋5 .
解析 因为cs 54°＝cs（90°－36°）＝sin 36°，所以4cs318°－3cs 18°＝2sin 18°·
cs 18°，即4cs218°－3＝2sin 18°，即4（1－sin218°）－3＝2sin 18°，即4sin218°＋2sin 18°－1＝0，因为0＜sin 18°＜1，所以sin 18°＝－2+4+168＝5－14.
在五角星ABCDE中，EG＝EI，HG＝HI，HE＝HE，故△EHG≌△EHI，又正五边形中每个内角均为108°，从而可得∠HEG＝12∠CEB＝18°，∠EHG＝12∠IHG＝54°，
过点H作HM⊥BE，垂足为点M，如图，则∠GHM＝18°，于是cs∠GHM＝HMGH，
从而有HM＝GHcs∠GHM＝2cs 18°，于是EH＝HMsin∠HEG＝2cs18°sin18°，
所以HE·HG＝｜HE｜·｜HG｜cs 54°＝2×2cs18°sin18°×sin 36°＝8cs218°＝8－8sin218°＝8－8×（5－14）2＝8－（3－5）＝5＋5.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
能运用和、差、倍角公式进行简单的恒等变换 （包括推导出积化和差、 和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆）.
三角函数式的化简
2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷甲T9
本讲每年必考，主要考查利用三角函数的基本关系、诱导公式以及和、差、倍角公式进行化简求值.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.
三角函数式的求值
2022浙江T13；2021新高考卷ⅠT6；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅠT9；2020全国卷ⅢT9；2019全国卷ⅡT10