备战2025年高考数学精品教案第四章三角函数第3讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式与二倍角公式（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考数学精品教案第四章三角函数第3讲两角和与差的正弦、余弦、正切公式与二倍角公式（Word版附解析），共12页。
学生用书P077
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
S（α±β）：sin（α±β）＝① sinαcsβ±csαsinβ .
C（α±β）：cs（α±β）＝② csαcsβ∓sinαsinβ .
T（α±β）：tan（α±β）＝③ tanα±tanβ1∓tanαtanβ （α，β，α±β≠kπ＋π2，k∈Z）.
注意 在公式T（α±β）中，α，β，α±β都不等于kπ＋π2（k∈Z），即保证tan α，
tan β，tan（α±β）都有意义.
2.二倍角公式
S2α：sin 2α＝④ 2sinαcsα .
C2α：cs 2α＝⑤ cs2α－sin2α ＝⑥ 2cs2α－1 ＝⑦ 1－2sin2α .
T2α：tan 2α＝⑧ 2tanα1-tan2α （α≠kπ＋π2且α≠kπ2＋π4，k∈Z）.
（1）对于两角和的正弦、余弦、正切公式，分别令β＝α，可得二倍角的正弦、余弦、正切公式.
（2）二倍角是相对的，如α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.
3.辅助角公式
asin α＋bcs α＝a2＋b2sin（α＋φ）（其中a≠0，sin φ＝ba2＋b2，cs φ＝aa2＋b2，tan φ＝⑨ ba ）.
规律总结
1.两角和与差的正切公式的变形
tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan αtan β）；tan α·tan β＝1－tanα＋tanβtan（α＋β）＝tanα－tanβtan（α－β） －1.
2.降幂公式：sin2α＝1－cs2α2；cs2α＝1+cs2α2；sin αcs α＝12sin 2α.
3.升幂公式：cs 2α＝2cs2α－1；cs 2α＝1－2sin2α.
4.其他常用变式
sin 2α＝2tanα1+tan2α；cs 2α＝1－tan2α1+tan2α；tanα2＝sinα1+csα＝1－csαsinα；1＋sin 2α＝（sin α＋cs α）2；1－sin 2α＝（sin α－cs α）2.
规律总结
1.积化和差
cs α·cs β＝12[cs（α＋β）＋cs（α－β）]；sin α·sin β＝－12[cs（α＋β）－cs（α－β）]；
sin α·cs β＝12[sin（α＋β）＋sin（α－β）]；cs α·sin β＝12[sin（α＋β）－sin（α－β）].
2.和差化积
sin α＋sin β＝2sinα＋β2csα－β2；sin α－sin β＝2csα＋β2sinα－β2；
cs α＋cs β＝2csα＋β2csα－β2；cs α－cs β＝－2sinα＋β2sinα－β2.
注意 和差化积和积化和差公式不要求记忆，可借助推导过程找规律，先得到积化和差的公式，再通过换元得到和差化积的公式.
1.[2023北京海淀区月考]若tan（α－5π12）＝12，则tan（α－π6）的值为（ A ）
A.3B.13C.－3D.－13
解析 因为tan（α－5π12）＝tan[（α－π6）－π4]＝tan（α－π6）－11+tan（α－π6）＝12，所以tan（α－π6）＝3.
2.已知sin α＝1517，α∈（π2，π），则cs（π4－α）的值为 7234 .
解析 ∵sin α＝1517，α∈（π2，π），∴cs α＝－1－sin2α＝－1－（1517）2＝－817，
∴cs（π4－α）＝cs π4cs α＋sin π4sin α＝22×（－817）＋22×1517＝7234.
3.[全国卷Ⅱ]若sin x＝－23，则cs 2x＝ 19 .
解析 cs 2x＝1－2sin2x＝1－2×（－23）2＝19.
4.[易错题]1+tan15°1－tan15°＝ 3 .
解析 1+tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°tan15°＝tan（45°＋15°）＝tan 60°＝3 .
5.若sin x－3cs x＝2sin（x－φ），φ＞0，则φ的最小值为 π3 .
解析 因为sin x－3cs x＝2（12sin x－32cs x）＝2（sin xcs φ－cs xsin φ），所以cs φ＝12，sin φ＝32.因为φ＞0，所以φ的最小值为π3.
6.[积化和差]函数f（x）＝sin（x＋π3）cs x的最小值为 －12＋34 .
解析 因为f（x）＝12[sin（x＋π3＋x）＋sin（x＋π3－x）]＝12sin（2x＋π3）＋34，所以函数
f（x）的最小值为－12＋34.
7.[和差化积]在△ABC中， sin A＝cs B＋cs C，则△ABC的形状是 直角三角形 .
解析 cs B＋cs C＝2csB＋C2·csB－C2＝2sinA2·csB－C2.
因为sin A＝cs B＋cs C，所以2sinA2csA2＝2sinA2·csB－C2，
因为sinA2≠0，所以csA2＝csB－C2，易得A2与｜B－C｜2均小于π2，所以A2＝｜B－C｜2，即A＝｜B－C｜，
所以A＋C＝B或A＋B＝C，即π－B＝B或π－C＝C，即B＝π2或C＝π2，所以△ABC是直角三角形.
学生用书P078
命题点1 和、差、倍角公式的直接应用
例1 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知sin（α－β）＝13，cs αsin β＝16，则cs（2α＋2β）＝（ B ）
A.79B.19C.－19D.－79
解析 依题意，得sinαcsβ－csαsinβ＝13，csαsinβ＝16，所以sin αcs β＝12，所以sin（α＋β）＝
sin αcs β＋cs αsin β＝12＋16＝23，所以cs（2α＋2β）＝1－2sin2（α＋β）＝1－2×（23）2＝19，故选B.
（2）[全国卷Ⅲ]已知2tan θ－tan（θ＋π4）＝7，则tan θ＝（ D ）
A.－2B.－1C.1D.2
解析 由已知得2tan θ－tanθ+11－tanθ＝7，得tan θ＝2.
方法技巧
应用和、差、倍角公式化简求值的策略
（1）首先要记住公式的结构特征和符号变化规律，例如两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”；
（2）注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用；
（3）注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.
训练1 （1）[全国卷Ⅰ]已知α∈（0，π），且3cs 2α－8cs α＝5，则sin α＝（ A ）
A.53B.23C.13D.59
解析 ∵3cs 2α－8cs α＝5，∴3（2cs2α－1）－8cs α＝5，∴6cs2α－8cs α－8＝0，∴3cs2α－4cs α－4＝0，解得cs α＝2（舍去）或cs α＝－23.∵α∈（0，π），∴sin α＝1－cs2α＝53.故选A.
（2）[2024广西玉林市联考]已知cs（α＋β）＝13，cs αcs β＝12，则cs（2α－2β）＝（ B ）
A.－79B.－19C.19D.79
解析 由cs（α＋β）＝cs αcs β－sin αsin β，即13＝12－sin αsin β，可得sin α·sin β＝16，则cs（α－β）＝cs αcs β＋sin αsinβ＝12＋16＝23，所以cs（2α－2β）＝2cs2（α－β）－1＝2×（23）2－1＝－19.故选B.
命题点2 和、差、倍角公式的逆用与变形用
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]已知α为锐角，cs α＝1+54，则sin α2＝（ D ）
A.3－58B.－1+58C.3－54D.－1+54
解析 cs α＝1+54＝1－2sin2α2，得sin2α2＝3－58＝6－2516＝（5－14）2，又α为锐角，所以sinα2＞0，所以sinα2＝－1+54，故选D.
（2）[2021全国卷乙]cs2π12－cs25π12＝（ D ）
A.12B.33C.22D.32
解析 解法一 原式＝1+cs π62－1+cs 5π62＝32－（－32）2＝32.
解法二 因为cs5π12＝sin（π2－5π12）＝sinπ12，所以cs2π12－cs25π12＝cs2π12－sin2π12＝
cs（2×π12）＝csπ6＝32.故选D.
（3）[2022新高考卷Ⅱ]若sin（α＋β）＋cs（α＋β）＝22cs（α＋π4）sin β，则（ C ）
A.tan（α－β）＝1B.tan（α＋β）＝1
C.tan（α－β）＝－1D.tan（α＋β）＝－1
解析 sin （α＋β）＋cs （α＋β）＝2sin （α＋β＋π4）＝22sin βcs （α＋π4），所以
sin（α＋π4）cs β＋sin βcs（α＋π4）＝2sin βcs （α＋π4），整理得sin（α＋π4）cs β－
sin βcs（α＋π4）＝0，即sin（α＋π4－β）＝0，所以α－β＋π4＝kπ，k∈Z，所以tan（α－β）＝tan（kπ－π4）＝－1.
方法技巧
1.运用两角和与差的三角函数公式时，要熟悉公式的正用、逆用及变形用，如tan α＋
tan β＝tan（α＋β）·（1－tan αtan β）和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
2.对asin x＋bcs x化简时，辅助角φ的值如何求要清楚.
训练2 （1）在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝233，则tan Atan B的值为（ B ）
A.14B.13C.12D.53
解析 解法一 由题意得tan（A＋B）＝－tan C＝－tan 120°＝3，所以tan（A＋B）＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝3，即2331－tanAtanB＝3，解得tan Atan B＝13，故选B.
解法二 由已知，可取A＝B＝30°，则tan Atan B＝33×33＝13，故选B.
（2）[2022北京高考]若函数f（x）＝ Asin x－3cs x的一个零点为π3，则A＝ 1 ；
f（π12）＝ －2 .
解析 依题意得f（π3）＝A×32－3×12＝0，解得A＝1，所以f（x）＝sin x－3cs x＝
2sin（x－π3），所以f（π12）＝2sin（π12－π3）＝－2.
命题点3 角的变换问题
例3 （1）[2024山东省部分学校联考]已知sin（x＋π12）＝－14，则cs（5π6－2x）＝（ C ）
A.78B.18C.－78D.－18
解析 因为sin（x＋π12）＝－14，所以cs（5π6－2x）＝cs（π－π6－2x）＝－cs（π6＋2x）＝－[1－2sin2（x＋π12）]＝－[1－2×（－14）2]＝－78.故选C.
（2）若tan（α＋2β）＝2，tan β＝－3，则tan（α＋β）＝ －1 ，tan α＝ 12 .
解析 因为tan（α＋2β）＝2，tan β＝－3，所以tan（α＋β）＝tan（α＋2β－β）＝tan（α+2β）－tanβ1+tan（α+2β）tanβ＝2－（－3）1+2×（－3）＝－1，tan α＝tan（α＋β－β）＝－1－（－3）1+(－1）×（－3）＝12.
方法技巧
角的变换问题的解题思路
1.当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和差倍半的形式.
2.当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和差倍半的关系，注意换元思想的应用.
3.常见的配角技巧：2α＝（α＋β）＋（α－β）；α＝（α＋β）－β＝（α－β）＋β；α－β＝（α－γ）＋（γ－β）；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－（π4－α）等.
训练3 （1）[2024江苏省南通市学情检测]已知sin（α＋π6）＝63，则sin（π6－2α）＝ （ C ）
A.－223B.223C.－13D.13
解析 设α＋π6＝t，则α＝t－π6，sin t＝63，∴sin（π6－2α）＝sin[π6－2（t－π6）]＝sin（π2－2t）＝cs 2t＝1－2sin2t＝1－2×（63）2＝－13，故选C.
（2）[2024辽宁省辽东南协作体联考]已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cs（π4－α）＝35，sin（3π4＋β）＝513，则sin（α＋β）的值为 5665 .
解析 ∵π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，∴－π2＜π4－α＜0，3π4＜3π4＋β＜π，∴sin（π4－α）＝
－1－cs2（π4－α）＝－45，cs（3π4＋β）＝－1－sin2（3π4＋β）＝－1213，∴sin（α＋β）＝－cs[π2＋（α＋β）]＝－cs[（3π4＋β）－（π4－α）]＝－cs（3π4＋β）cs（π4－α）－sin（3π4＋β）sin（π4－α）＝1213×35－513×（－45）＝5665.
1.[命题点1/2024河北石家庄模拟]已知tan（α＋β），tan（α－β）是方程x2＋4x－3＝0的两个实数根，则sin2αcs2β＝（ D ）
A.－2B.－1C.33D.2
解析 因为tan（α＋β），tan（α－β）是方程x2＋4x－3＝0的两个实数根，
所以tan（α＋β）＋tan（α－β）＝－4，tan（α＋β）·tan（α－β）＝－3，所以sin2αcs2β＝sin[(α＋β）＋（α－β)]cs[(α＋β）－（α－β)]＝sin（α＋β）cs（α－β）＋cs（α＋β）sin（α－β）cs（α＋β）cs（α－β）＋sin（α＋β）sin（α－β）＝tan（α＋β）＋tan（α－β）1+tan（α＋β）·tan（α－β）＝－41+(－3）＝2.
2.[命题点1/2023河北沧州部分学校联考]1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作图作出正十七边形就要将圆十七等分，如图所示.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则cs（π－α）cs 2αcs 4αcs 8α的值为 116 .
解析 cs（π－α）cs 2αcs 4αcs 8α＝－sin2α2sinα·sin4α2sin2α·sin8α2sin4α·sin16α2sin8α＝－sin16α16sinα，易知α＝2π17，所以cs（π－α）·cs 2αcs 4αcs 8α＝－sin32π1716sin2π17＝－sin（2π－2π17）16sin2π17＝sin2π1716sin2π17＝116.
3.[命题点2]已知sin 2α＝23，则cs2（α＋π4）＝ （ A ）
A.16B.13C.12D.23
解析 解法一 cs2（α＋π4）＝12[1＋cs（2α＋π2）]＝12（1－sin 2α）＝16.
解法二 cs（α＋π4）＝22cs α－22sin α，所以cs2（α＋π4）＝12（cs α－sin α）2＝
12（1－2sin αcs α）＝12（1－sin 2α）＝16.
4.[命题点3]已知角α，β∈（0，π），cs α＝－33，sin（α＋β）＝14，则tan β＝ 162－31513 .
解析 因为α，β∈（0，π），cs α＝－33，sin（α＋β）＝14，所以α∈（π2，π），α＋β∈（π2，π），可得sin α＝63，cs（α＋β）＝－154，所以tan α＝－2，tan（α＋β）＝
－1515.tan β＝tan[（α＋β）－α]＝tan（α＋β）－tanα1+tan（α＋β）·tanα＝－1515＋21+1515×2＝162－31513.
5.[命题点3/2023乌鲁木齐质监]已知3sin α＋cs α＝23，则cs（2π3－2α）＝ （ B ）
A.－1718B.－89C.89D.1718
解析 3sin α＋cs α＝2sin（α＋π6）＝23，设θ1＝α＋π6，则sin θ1＝26，设θ2＝2π3－
2α，则θ2＝π－2θ1，所以cs θ2＝cs（π－2θ1）＝－cs 2θ1＝2sin2θ1－1＝－89，故选B.
学生用书·练习帮P293
1.已知cs x＝－14，x为第二象限角，则sin 2x＝（ C ）
A.－154B.154C.－158D.158
解析 因为cs x＝－14，x为第二象限角，所以sin x＝154，所以sin 2x＝2sin xcs x＝2×154×（－14）＝－158，故选C.
2.[2024重庆渝北中学模拟]sin 47°sin 103°＋sin 43°·cs 77°＝（ B ）
A.－32B.32C.－12D.1
解析 sin 47°sin 103°＋sin 43°cs 77°＝cs 43°sin 77°＋sin 43°·cs 77°＝sin（77°＋43°）＝sin 120°＝32.
3.[2024河北石家庄模拟]若tan θ＝5，则cs 2θ＝（ B ）
A.－35B.－23C.35D.23
解析 cs 2θ＝cs2θ－sin2θ＝cs2θ－sin2θcs2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1+tan2θ＝1－51+5＝－23.故选B.
4.已知sin 2α＝23，则cs2（α＋π4）＝（ A ）
A.16B.13C.12D.23
解析 解法一 cs2（α＋π4）＝12[1＋cs（2α＋π2）]＝12（1－sin 2α）＝16.
解法二 cs（α＋π4）＝22cs α－22sin α，所以cs2（α＋π4）＝12（cs α－sin α）2＝
12（1－2sin αcs α）＝12（1－sin 2α）＝16.
5.[2024厦门大学附属科技中学模拟]已知sin（α＋π6）－cs α＝45，则sin（2α＋π6）＝（ A ）
A.－725B.725C.－2425D.2425
解析 由已知sin（α＋π6）－cs α＝sin αcsπ6＋cs α·sinπ6－cs α＝32sin α－12cs α＝sin（α－π6）＝45，则sin（2α＋π6）＝cs（2α－π3）＝1－2sin2（α－π6）＝1－2×（45）2＝－725，故选A.
6.[2024安徽六校联考]已知cs（α＋β）＝13，tan α·tan β＝13，则cs（α－β）＝（ D ）
A.－16B.16C.－23D.23
解析 因为tan αtan β＝13＝sinαsinβcsαcsβ，所以cs αcs β＝3sin αsin β，又cs（α＋β）＝13＝
cs αcs β－sin αsin β，所以sin αsin β＝16，cs αcs β＝12，所以cs（α－β）＝cs αcs β＋sin αsin β＝23.故选D.
7.已知α，β为锐角，且tan α＝17，cs（α＋β）＝255，则cs 2β＝（ C ）
A.35B.23C.45D.7210
解析 由已知α为锐角，且tan α＝17，得到sin α＝210，cs α＝7210.由cs（α＋β）＝255且α，β为锐角，得到sin（α＋β）＝55，所以cs β＝cs[（α＋β）－α]＝cs（α＋β）cs α＋sin（α＋β）sin α＝255×7210＋55×210＝31010，所以cs 2β＝2cs2 β－1＝2×910－1＝45.
8.[2023高三名校联考]已知π4≤α≤π，π≤β≤3π2，sin 2α＝45，cs（α＋β）＝－210，则β－α＝（ C ）
A.π4或3π4B.π4C.3π4D.5π4
解析 解法一 因为π4≤α≤π，所以π2≤2α≤2π，又sin 2α＝45＞0，所以π2≤2α≤π，可得π4≤α≤π2，所以cs 2α＝－1－sin22α＝－35.
因为π≤β≤3π2，所以π2≤β－α≤5π4，5π4≤α＋β≤2π，所以sin（α＋β）＝－1－cs2（α＋β）＝－7210，
所以sin（β－α）＝sin[（α＋β）－2α]＝sin（α＋β）cs 2α－cs（α＋β）sin 2α＝－7210×（－35）－（－210）×45＝22，所以β－α＝3π4，故选C.
解法二 由题意，易得2α∈（π2，π），α＋β∈（5π4，2π），β－α∈（0，5π4），（提示：由sin 2α＝45，π4≤α≤π，知α∈（π4，π2））
得β－α＝（α＋β）－2α∈（π4，3π2），所以β－α∈（π4，5π4），结合选项可知选C.
9.[2023东北三省三校联考]若sin（2α＋π6）＋cs 2α＝3，则tan α＝（ C ）
A.33B.1C.2－3D.2＋3
解析 由sin（2α＋π6）＋cs 2α＝3，可得sin 2αcsπ6＋cs 2αsinπ6＋cs 2α＝3，所以3（12sin 2α＋32cs 2α）＝3，即sin（2α＋π3）＝1，解得2α＋π3＝π2＋2kπ，k∈Z，即α＝π12＋kπ，k∈Z，则tan α＝tan（π12＋kπ）＝tanπ12＝tan（π3－π4）＝tanπ3－tanπ41+tanπ3·tanπ4＝3－11+3＝2－3.故选C.
10.[2024山东泰安模拟]锐角α，β满足tan α＝csβ1－sinβ，则（ B ）
A.2α＋β＝π2B.2α－β＝π2
C.2α＋β＝3π4D.2α－β＝－π2
解析 tan α＝csβ1－sinβ＝cs2β2－sin2β2cs2β2＋sin2β2－2sin β2·cs β2＝（cs β2－sin β2)(cs β2＋sin β2）（cs β2－sin β2）2＝csβ2＋sin β2cs β2－sin β2＝1+tan β21－tan β2＝tanπ4＋tan β21－tan π4·tan β2＝tan（π4＋β2），又∵α，β是锐角，∴π4＜π4＋β2＜π2，而y＝tan x在（0，π2）单调递增，故α＝π4＋β2，因此2α－β＝π2.故选B.
11.[2024陕西咸阳模拟]已知a＝2sin13，b＝3sin14，c＝4sin16，则（ B ）
A.a＜c，a＋c＞2bB.a＜c，a＋c＜2b
C.a＞c，a＋c＞2bD.a＞c，a＋c＜2b
解析 ∵0＜16＜π2，∴0＜cs16＜1，∴2sin13＝2sin（2×16）＝4sin16cs16＜4sin16，∴a＜c；
∵0＜112＜16＜13＜π2，∴0＜cs112＜1，sin16＜sin13，即sin16－sin13＜0，∴a＋c＝2sin13＋4sin16＝3sin13＋3sin16＋（sin16－sin13）＜3sin13＋3sin16＝3sin（14＋112）＋3sin（14－112）＝6sin14cs112＜6sin14＝2b，∴a＋c＜2b.故选B.
12.点P0（45，35）为锐角α的终边与单位圆的交点，OP0（O为坐标原点）逆时针旋转π3得OP1，则点P1的横坐标为 4－3310 .
解析 根据三角函数的定义可得sin α＝35，cs α＝45.由于OP0逆时针旋转π3得OP1，所以点P1的横坐标为cs（α＋π3）＝cs αcsπ3－sin αsinπ3＝45×12－35×32＝4－3310.
13.如图1，正方形ABCD的边长为2，点M为线段CD的中点，现把正方形纸按照图2进行折叠，使点A与点M重合，折痕与AD交于点E，与BC交于点F.记∠MEF＝θ，则
sin（θ＋π4）＝ 31010 .
图1 图2
解析 设DE＝x，则DM＝1，EM＝EA＝2－x，在Rt△DEM中，∠D＝90°，∴DE2＋DM2＝EM2，即x2＋12＝（2－x）2，x＝34，∴EM＝54，∴在Rt△DEM中，sin∠DEM＝DMEM＝45，则sin 2θ＝sin（π－∠DEM）＝sin∠DEM＝45，sin θ＋cs θ＝（sinθ＋csθ）2＝1+2sinθcsθ＝1+sin2θ＝355，∴sin（θ＋π4）＝sin θcsπ4＋cs θsinπ4＝22（sin θ＋
cs θ）＝22×355＝31010.
14.[条件创新]设函数y＝cs 2x（x≥0）和函数y＝cs 10x （x≥0）的图象公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，若tan（x3－α） ＝cs x4，则tan 2α的值为（ B ）
A.13B.34C.43D.3
解析 令cs 2x＝cs 10x（x≥0），则有10x＝2x＋2kπ或10x＋2x＝2nπ，k，n∈N，解得x＝kπ4或x＝nπ6，k，n∈N，又函数y＝cs 2x（x≥0）和函数y＝cs 10x（x≥0）的图象的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，所以x＝0，π6，π4，π3，π2，2π3，…，故x3＝π4，x4＝π3，所以tan（x3－α）＝cs x4，即tan（π4－α）＝csπ3＝12，即1－tanα1+tanα＝12，所以tan α＝13，所以tan 2α＝2tanα1－tan2α＝34.
15.[角度创新]已知函数f（x）＝2cs（x＋π4）cs（x－π4）＋sin x，若对任意的实数x，恒有f（α1）≤f（x）≤f（α2），则cs（α1－α2）＝ －14 .
解析 因为f（x）＝2（22cs x－22sin x）（22cs x＋22sin x）＋sin x＝2（12cs2x－12sin2x）＋sin x＝1－2sin2x＋sin x＝－2（sin x－14）2＋98，且f（x）对任意实数x恒有f（α1）≤
f（x）≤f（α2），所以sin α1＝－1，sin α2＝14.则cs α1＝0，cs（α1－α2）＝
cs α1cs α2＋sin α1sin α2＝－sin α2＝－14.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
和、差、倍角公式的直接应用
2023新高考卷ⅠT8；2021全国卷甲T9；2020全国卷ⅠT9；2020全国卷ⅢT9；2019全国卷ⅡT10
本讲每年必考，主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式的正用、逆用、变形用，主要体现在三角函数式的化简和求值中.题型以选择题、填空题为主，有时在解答题中也有应用，难度中等偏易.预计 2025年高考命题趋势变化不大，在复习备考时要掌握公式及其变形，并能灵活应用，应用时注意角和函数名的变换.
和、差、倍角公式的逆用与变形用
2023新高考卷ⅡT7；2022新高考卷ⅡT6；2022北京T13；2021全国卷乙T6；2020全国卷ⅢT5
角的变换问题
2022浙江T13；2019江苏T13