备战2025年高考数学精品教案第三章一元函数的导数及其应用第3讲导数与函数的极值、最值（Word版附解析）

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学生用书P056
1.函数的极值
极小值点和极大值点统称为⑤ 极值点 ，极小值和极大值统称为⑥ 极值 .
易错警示
（1）极值点不是点，若函数f（x）在x＝x1时取得极大值，则x1为极大值点，极大值为
f（x1）.
（2）极大值与极小值的大小没有必然关系，极小值可能比极大值大.
（3）有极值的函数一定不是单调函数.
（4）导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，f（x）＝x3，f '（0）＝0，但x＝0不是极值点.
2.函数的最大（小）值
如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.
辨析比较
函数极值与最值的区别与联系
1.[易错题]下列说法正确的是（ C ）
A.函数的极大值比极小值大
B.函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的
C.函数的最大值不一定是极大值，极大值也不一定是最大值
D.f '（x0）＝0是x0为可导函数y＝f（x）的极值点的充分不必要条件
解析 对于A，由极大值与极小值的概念可知，函数的极大值不一定比极小值大；对于B，函数在某区间上或定义域内如果有最大值，则最大值是唯一的，但极大值不一定；对于C，由极大值与最大值的概念可知C正确；对于D，在函数的极值点处f '（x0）＝0，但是使f '（x0）＝0成立的x0未必是极值点，如当x0为定义域的左右端点时f '（x0）可以等于0，但此时x0不是极值点.
2.设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是 f（x）的极大值点，则下列结论一定正确的是（ D ）
A.∀x∈R， f（x）≤f（x0）B.－x0是y＝f（－x）的极小值点
C.－x0是y＝－f（x）的极小值点D.－x0是y＝－f（－x）的极小值点
解析 极值是函数的一种局部性质，因此不能确定在整个定义域上f（x0）是否最大，故A错误；因为函数f（x）与y＝f（－x）的图象关于y轴对称，所以－x0是y＝ f（－x）的极大值点，故B错误；因为函数f（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，所以x0是y＝
－f（x）的极小值点，而－x0是否为y＝－f（x）的极小值点不确定，故C错误；因为函数f（x）与y＝－f（－x）的图象关于原点对称，所以－x0是y＝－f（－x）的极小值点，选项D正确.
3.[2024辽宁省部分学校联考]函数f（x）＝（－2x＋4）ex在区间[1，＋∞）上的最大值为 2e .
解析 f '（x）＝（－2x＋2）ex，当x∈[1，＋∞）时，f '（x）≤0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝2e.
4.若函数f（x）＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是 （－∞，－6）∪（6，＋∞） .
解析 由已知，得f '（x）＝3x2－2ax＋2.因为函数f（x）有极值，所以f '（x）＝0有变号零点，所以Δ＝4a2－24＞0，解得a＞6或a＜－6，所以实数a的取值范围为（－∞，
－6）∪（6，＋∞）.
学生用书P057
命题点1 导函数图象的应用
例1 （1）[浙江高考]函数y＝f（x）的导函数y＝f '（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）的图象可能是（ D ）
A B
C D
解析 根据题意，已知导函数的图象与x轴有三个交点，且每个交点的两边导函数值的符号相反，因此函数f（x）在这些零点处取得极值，根据f（x）有两个极小值和一个极大值可排除A，C；记导函数 f '（x）的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在（－∞，x1）上
f '（x）＜0，在（x1，x2）上f '（x）＞0，所以函数f（x）在（－∞，x1）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，由x2＞0排除B.故选D.
（2）[多选/2024陕西省汉中市联考]设f '（x）是函数f（x）的导函数，y＝f '（x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（ BC ）
A.函数一定有三个零点
B.函数一定有三个极值点
C.函数有最小值
D.函数图象一定经过坐标原点
解析 易知函数f（x）在（－∞，0），（1，2）上单调递减，在（0，1），（2，＋∞）上单调递增，所以函数f（x）一定有三个极值点0，1，2，B正确；函数f（x）有最小值，为f（0），f（2）中的较小者，C正确；函数f（x）的图象可能都在x轴上方，其零点个数可能是0，A错误；函数f（x）的图象不一定过原点，D错误.故选BC.
方法技巧
根据函数图象判断极值的方法
（1）由y＝f '（x）的图象与x轴的交点，可得函数y＝f（x）的可能极值点.
（2）由y＝f '（x）的图象可以看出y＝f '（x）的值的正负，从而可得函数y＝f（x）的单调性，进而求得极值（点）.
注意 要看清楚所给图象是原函数的图象还是导函数的图象.
训练1 [多选]已知函数y＝f（x）的导函数y＝f '（x）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ AB ）
A.f（a）＜f（b）＜f（c）
B.f（e）＜f（d）＜f（c）
C.x＝c时， f（x）取得最大值
D.x＝d时，f（x）取得最小值
解析 由f '（x）的图象可知，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f '（x）＞0；当x∈（c，e）时，f '（x）＜0.所以f（x）在（－∞，c），（e，＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减.对于A，因为a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c），A正确；对于B，因为c＜d＜e，所以f（e）＜f（d）＜f（c），B正确；对于C，由单调性知f（c）为极大值，当x＞e时，可能存在f（x0）＞f（c），C错误；对于D，由单调性知f（e）＜f（d），D错误.
命题点2 利用导数研究函数的极值
角度1 求函数的极值
例2 [全国卷Ⅱ]若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，则 f（x）的极小值为（ A ）
A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1
解析 因为f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1，所以f '（x）＝（2x＋a）ex－1＋（x2＋ax－1）ex－1＝[x2＋（a＋2）x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，所以－2是x2＋（a＋2）x＋a－1＝0的根，将x＝－2代入解得a＝－1，所以f '（x）＝（x2＋x－2）ex－1＝（x＋2）（x－1）ex－1.令f '（x）＞0，解得x＜－2或x＞1，令f '（x）＜0，解得－2＜x＜1，所以f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以当x＝1时，f（x）取得极小值，且f（x）极小值＝f（1）＝－1，故选A.
方法技巧
求可导函数f（x）的极值的步骤
（1）确定函数的定义域，求导数f '（x）；
（2）求方程f '（x）＝0的根；
（3）判断f '（x）在方程f '（x）＝0的根附近的左右两侧的符号；
（4）求出极值.
角度2 已知函数的极值（点）求参数
例3 （1）[多选/2023新高考卷Ⅱ]若函数f（x）＝aln x＋bx＋cx2（a≠0）既有极大值也有极小值，则（ BCD ）
A.bc＞0B.ab＞0
C.b2＋8ac＞0D.ac＜0
解析 因为函数f（x）＝aln x＋bx＋cx2（a≠0），所以函数f（x）的定义域为（0，
＋∞），f'（x）＝ax2－bx－2cx3，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则Δ>0，x1＋x2>0，x1x2>0，即b2+8ac>0，ba>0，－2ca>0，所以b2+8ac>0，ab>0，ac0，f '(3）0，1－6+a－12