备战2025年高考数学精品教案第二章函数第7讲函数的零点与方程的解（Word版附解析）

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学生用书P043
1.函数零点的概念
对于函数y＝f（x），我们把使① f（x）＝0 的实数x叫做函数y＝f（x）的零点.
注意 零点不是点，是满足f（x）＝0的实数x.
2.三个等价关系
3.零点存在定理
如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有④ f（a）·f（b）＜0 ，那么，函数y＝f（x）在区间⑤ （a，b） 内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得⑥ f（c）＝0 ，这个c也就是方程f（x）＝0的解.
注意 （1）函数的零点存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点.
（2）对于连续函数f（x），在[a，b]上，f（a）·f（b）＜0是f（x）在（a，b）上存在零点的充分不必要条件.
规律总结
（1）若图象连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则函数f（x）至多有一个零点.
（2）图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值同号.
4.二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）·f（b）＜0 的函数y＝f（x），通过不断地把它的⑦ 零点 所在区间⑧ 一分为二 ，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
思维拓展
给定精确度ε，用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤：
1.确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0.
2.求区间（a，b）的中点c.
3.计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
（1）若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；
（2）若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；
（3）若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c.
4.判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤2～4.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.函数的零点就是函数的图象与x轴的交点
B.若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0
C.二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac≤0时没有零点
D.函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数解
2.函数y＝3x－ln x的零点所在区间是（ B ）
A.（3，4）B.（2，3）C.（1，2）D.（0，1）
解析 因为y＝3x在（0，＋∞）上单调递减，y＝－ln x在（0，＋∞）上单调递减，所以函数y＝3x－ln x在（0，＋∞）上单调递减.又当x＝2时，y＝32－ln 2＞0；当x＝3时，y＝1－ln 3＜0，两函数值异号，所以函数y＝3x－ln x的零点所在区间是（2，3）.
3.已知函数f（x）＝x2＋x－2，x≤0，－1+lnx，x>0，则f（x）的零点为 －2，e .
解析 当x≤0时，由x2＋x－2＝0，得x＝－2.当x＞0时，由－1＋ln x＝0，得x＝e.所以
f（x）的零点为－2，e.
4.已知函数y＝f（x） 的图象是连续不断的曲线，且有如下的对应值表：
则函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有 3 个.
解析 依题意，f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＞0，f（5）＜0，根据零点存在定理可知，
f（x）在区间（2，3），（3，4），（4，5）上均至少含有1个零点，故函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有3个.
学生用书P044
命题点1 判断函数零点所在区间
例1 （1）[2024海南模拟]函数f（x）＝x＋sin x－2的零点所在区间为（ B ）
A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）
解析 因为f '（x）＝1＋cs ≥0，所以f（x）在定义域内单调递增.因为f（1）＝－1＋
sin 1＜0，f（2）＝sin 2＞0，所以函数f（x）的零点在（1，2）内.故选B.
（2）函数f（x）＝lg3x＋x－2的零点所在的区间为（ B ）
A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）
解析 解法一 函数f（x）＝lg3x＋x－2的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，
＋∞）上单调递增.由题意知f（1）＝－1＜0，f（2）＝lg32＞0，根据零点存在定理可知，函数f（x）＝lg3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间（1，2）内.故选B.
解法二 将判断函数f（x）的零点所在的区间转化为判断函数g（x）＝lg3x，h（x）＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围.作出两函数图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（1，2）.故选B.
方法技巧
确定函数零点所在区间的常用方法
（1）利用函数零点存在定理：先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.
（2）数形结合法：画函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，也可转化为观察两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
训练1 若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（ A ）
A.（a，b）和（b，c）内
B.（－∞，a）和（a，b）内
C.（b，c）和（c，＋∞）内
D.（－∞，a）和（c，＋∞）内
解析 因为f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝
（c－a）（c－b）＞0，所以f（a）·f（b）＜0，f（b）·f（c）＜0，所以函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b）和（b，c）内.故选A.
命题点2 判断函数的零点个数
例2 （1）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝2sin x－sin 2x在[0，2π]的零点个数为（ B ）
A.2B.3C.4D.5
解析 f（x）＝2sin x－2sin xcs x＝2sin x（1－cs x），令f（x）＝0，则sin x＝0或cs x＝1，所以x＝kπ（k∈Z），又x∈[0，2π]，所以x＝0或x＝π或x＝2π.故选B.
（2）[2024江苏苏州常熟中学模拟]设定义域为R的函数f（x）＝｜lgx|,x>0，－x2－2x，x≤0，则关于x的函数y＝2f 2（x）－3f（x）＋1的零点的个数为（ B ）
A.3B.7C.5D.6
解析 根据题意，令2f 2（x）－3f（x）＋1＝0，得f（x）＝1或f（x）＝12.作出y＝
f（x），y＝1，y＝12的图象，如图所示，
由图象可得f（x）的图象与直线y＝1和y＝12分别有3个和4个交点，故关于x的函数y＝2f 2（x）－3f（x）＋1的零点的个数为 7.
方法技巧
判断函数零点个数的方法
（1）直接法：令f（x）＝0，解方程可得.
（2）利用函数的零点存在定理：利用函数的零点存在定理结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）判断.
（3）图象法：将判断函数f（x）零点个数转化为判断函数f（x）的图象与x轴交点的个数，或将函数f（x）拆成两个函数h（x）和g（x）的差的形式，判断函数y＝h（x）和y＝g（x）的图象的交点个数.
训练2 （1）定义在R上的函数y＝f（x）满足f（x＋2）＝f（x），且x∈[－1，1]时，
f（x）＝1－x2.若函数g（x）＝｜lgx|,x>0，ex，x≤0，则函数h（x）＝f（x）－g（x）在区间
[－6，6]内的零点个数为（ B ）
A.14B.13C.12D.11
解析 易得函数y＝f（x）是周期为2的函数，因为x∈[－1，1]时，f（x）＝1－x2，所以作出y＝f（x）的图象，如图所示.
再作出函数g（x）＝｜lgx|,x>0，ex，x≤0的图象，容易得出所求交点为13个.故选B.
[2023河南省部分学校押题信息卷]设f（x）是定义在R上且周期为5的奇函数，
f（3）＝0，则f（x）在[0，10]内的零点个数最少是（ D ）
A.4B.6C.7D.9
解析 因为f（x）是定义在R上且周期为5的奇函数，所以f（0）＝f（5）＝f（10）＝0.又f（3）＝0，所以f（3）＝f（8）＝0，f（－3）＝f（2）＝f（7）＝0.f（－52）＝
－f（52），f（－52）＝f（－52＋5）＝f（52），所以f（－52）＝f（52）＝0，f（152）＝f（52＋5）＝f（52）＝0，故零点至少有0，2，52，3，5，7，8，152，10，则f（x）在[0，10]内的零点个数最少是9.故选D.
命题点3 函数零点的应用
角度1 根据函数零点个数求参数的范围
例3 函数f（x）＝4－x2，x≤2，lg3（x－1),x>2，g（x）＝kx－3k，若函数f（x）与g（x）的图象有三个交点，则实数k的取值范围为（ D ）
A.（22－6，0）B.（23－6，0）
C.（－2，0）D.（25－6，0）
解析 作出函数f（x）＝4－x2，x≤2，lg3（x－1),x>2的图象，如图所示.g（x）＝kx－3k＝k（x－3），故g（x）过定点（3，0），设过（3，0）且与y＝4－x2相切的直线为l，切点为P（x0，4－x02），x0＜2，因为y'＝－2x，所以切线的斜率为k＝－2x0＝4－x02x0－3，解得x0＝3－5或x0＝3＋5（舍去），所以切线的斜率k＝25－6，由图象知，要想函数f（x）与g（x）的图象有三个交点，则实数k的取值范围为（25－6，0）.
角度2 根据函数零点的范围求参数的范围
例4 已知函数f（x）＝3x－1+axx.若存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（ B ）
A.（－∞，43）B.（0，43）
C.（－∞，0）D.（43，＋∞）
解析 由f（x）＝3x－1+axx＝0，可得a＝3x－1x.令g（x）＝3x－1x，x∈（－∞，－1）.由于存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则函数g（x）的值域即为实数a的取值范围.因为函数y＝3x和y＝－1x在区间（－∞，－1）上均单调递增，所以函数g（x）在（－∞，－1）上单调递增，所以g（x）＝3x－1x＜3－1＋1＝43，且g（x）＝3x－1x＞0，所以函数
g（x）的值域为（0，43），因此，实数a的取值范围是（0，43），故选B.
方法技巧
已知函数零点情况求参数取值范围的方法
（1）直接法：先直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围.
（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域问题.
（3）数形结合法：先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，最后数形结合求解.
角度3 函数零点（或方程根）的和
例5 [2023广东六校第一次联考]定义在R上的函数f（x）满足f（－x）＋f（x）＝0，
f（x）＝f（2－x）；且当x∈[0，1]时，f（x）＝x3－x2＋x.则方程7f（x）－x＋2＝0所有的根的和为（ A ）
A.14B.12C.10D.8
解析 由f（－x）＋f（x）＝0，f（x）＝f（2－x）可得f（x）为奇函数，且图象关于直线x＝1对称，且易得f（x）的周期为4.
当x∈[0，1]时，f（x）＝x3－x2＋x，此时f '（x）＝3x2－2x＋1＝3（x－13）2＋23＞0，故
f（x）＝x3－x2＋x在[0，1]上单调递增.综上，可画出y＝f（x）的部分图象如图所示.
方程7f（x）－x＋2＝0的根，即y＝f（x）与y＝17（x－2）的图象的交点的横坐标，作出直线l：y＝17（x－2），易知直线l也关于点（2，0）对称且y＝f（x）与l的图象在区间
[－5，2），（2，9]上均有3个交点，且关于点（2，0）对称，加上点（2，0）共7个交点，所以方程7f（x）－x＋2＝0所有的根的和为3×2×2＋2＝14.故选A.
方法技巧
解函数零点（或方程根）的和的问题的方法
（1）把函数零点转化为方程的根，通过解方程，求出方程的所有根，再求出这些根的和.
（2）作出函数的草图，通过函数的图象的对称性，得出函数零点的对称性，从而求出这些零点的和.
训练3 （1）[2023湖北省沙市中学模拟]若函数 f（x）＝ln x＋x2＋a－1在区间（1，e）内有零点，则实数a的取值范围是（ A ）
A.（－e2，0）B.（－e2，1）
C.（1，e）D.（1，e2）
解析 函数f（x）的定义域为（0，＋∞），因为函数y＝ln x与y＝x2在（0，＋∞）上均单调递增，所以函数f（x）＝ln x＋x2＋a－1在（0，＋∞）上单调递增，则由函数f（x）在区间（1，e）内有零点知f（1）f（e）＜0，即a（e2＋a）＜0，解得－e2＜a＜0，故选A.
（2）[2024江西抚州模拟]已知函数f（x）＝2x+3，x≤0，（x－2）2，x>0，则函数g（x）＝
[f（x）]2－f[f（x）]的所有零点之和为（ D ）
A.2B.3C.0D.1
解析 令t＝f（x），则h（t）＝t2－f（t），令h（t）＝0，可得t2＝f（t），当t＞0时，由t2＝f（t），可得t2＝（t－2）2，即－4t＋4＝0，解得t＝1；当t＜0时，由t2＝f（t），可得t2＝2t＋3，即t2－2t－3＝0，解得t＝－1或t＝3（舍去），所以t＝±1，即f（x）＝±1.当x＞0时，令（x－2）2＝1或（x－2）2＝－1（舍去），解得x＝1或x＝3；当x＜0时，令2x＋3＝1或2x＋3＝－1，解得x＝－1或x＝－2，所以函数g（x）＝[f（x）]2－
f[f（x）]的零点之和为1＋3－1－2＝1.故选D.
（3）[多选/2023廊坊模拟]已知函数f（x）＝｜x2＋3x＋1｜－a｜x｜，则下列结论正确的是（ AC ）
A.若f（x）没有零点，则a∈（－∞，0）
B.若f（x）恰有2个零点，则a∈（1，5）
C.若f（x）恰有3个零点，则a＝1或a＝5
D.若f（x）恰有4个零点，则a∈（5，＋∞）
解析 f（0）＝1≠0，所以x＝0不是f（x）的零点；当x≠0时，由f（x）＝0，整理得a＝｜x＋1x＋3｜，令g（x）＝｜x＋1x＋3｜，则函数f（x）的零点个数即为函数g（x）＝｜x＋1x＋3｜的图象与直线y＝a的交点个数，作出函数g（x）＝｜x＋1x＋3｜的大致图象（如图）.
由图可知，若f（x）没有零点，则a∈（－∞，0），故A正确；
若f（x）恰有2个零点，则a∈{0}∪（1，5），故B不正确；
若f（x）恰有3个零点，则a＝1或a＝5，故C正确；
若f（x）恰有4个零点，则a∈（0，1）∪（5，＋∞），故D不正确.故选AC.
学生用书P046
复合函数的零点问题
角度1 判断复合函数的零点个数
例6 已知函数f（x）＝ex，x