备战2025年高考数学精品教案第二章函数第6讲函数的图象（Word版附解析）

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学生用书P039
1.利用描点法作函数的图象
2.利用图象变换法作函数的图象
注意 （1）平移变换，基本原则是“左加右减”“上加下减”.“左加右减”只针对x本身，若x的系数不是1，需先将系数变为1后，再进行变换.
（2）对称变换的对称是指两个函数的图象之间的关系，而与奇偶性有关的对称，是指一个函数图象自身的特征.
常用结论
1.函数图象自身的对称性
（1）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a＋b2对称.特别地，若f（a＋x）＝f（a－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称.
（2）若函数y＝f（x）的定义域为R，且有f（a＋kx）＝f（b－kx）（k≠0），则函数
f（x）的图象关于直线x＝a＋b2对称，函数f（kx）的图象关于直线x＝a＋b2k对称.
（3）函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）中心对称⇔f（a＋x）＝2b－f（a－x）⇔f（x）＝2b－f（2a－x）.特别地，若f（a＋x）＝－f（a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）中心对称.
2.两个函数图象之间的对称关系
（1）函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）的图象关于直线x＝b－a2对称（由a＋x＝b－x得对称轴方程）.
（2）函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点（a，b）对称.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.函数y＝f（1－x）的图象可由y＝f（－x）的图象向左平移1个单位长度得到
B.函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称
C.当x∈（0，＋∞）时，函数y＝f（｜x｜）的图象与y＝｜f（x）｜的图象相同
D.若函数y＝f（x）满足f（1＋x）＝f（1－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
解析 y＝f（1－x）可由y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到，A错误；y＝
f（x）与y＝－f（x）的图象关于x轴对称，B错误.令f（x）＝－x，当x∈（0，＋∞）时，y＝｜f（x）｜＝x，y＝f（｜x｜）＝－x，两者图象不同，C错误.易知D正确.
2.函数y＝x2，x0，
作出函数y＝f（x）＋x与y＝－x＋a的大致图象，如图所示.
数形结合可知，当a≤1时，两个函数的图象有两个不同的交点，即方程f（x）＝－2x＋a有两个不同的实数根.
1.[命题点2角度1/全国卷Ⅰ]函数f（x）＝sinx＋xcsx＋x2在[－π，π]上的图象大致为（ D ）
AB
CD
解析 易知函数f（x）的定义域为R.
因为f（－x）＝sin（－x）－xcs（－x）＋（－x）2＝－sinx＋xcsx＋x2＝－f（x），所以f（x）为奇函数，排除A；
因为f（1）＝sin1+1cs1+1，且sin 1＞cs 1，所以f（1）＞1，排除B，C.故选D.
2.[命题点2角度1]从某个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ C ）
A.f（x）＝sin6x2－x－2x
B.f（x）＝cs6x2x－2－x
C.f（x）＝cs6x｜2x－2－x｜
D.f（x）＝sin6x｜2x－2－x｜
解析 因为函数图象关于y轴对称，所以此函数为偶函数.四个选项中的函数的定义域均为（－∞，0）∪（0，＋∞）.对于A，f（－x）＝sin（－6x）2x－2－x＝－sin6x－（2－x－2x）＝sin6x2－x－2x＝
f（x），f（x）是偶函数，当x＞0时，令f（x）＝0，则sin 6x＝0，得x＝kπ6（k∈N*），则当x＞0时，函数的第一个零点为x＝π6，当0＜x＜π6时，sin 6x＞0，2－x－2x＜0，f（x）＜0，A不符合题意.
对于B，f（－x）＝cs（－6x）2－x－2x＝cs6x－（2x－2－x）＝－cs6x2x－2－x＝－f（x），f（x）是奇函数，不符合题意.
对于C，f（－x）＝cs（－6x）｜2－x－2x｜＝cs6x｜2x－2－x｜＝f（x），f（x）是偶函数，当x＞0时，令
f（x）＝0，则cs 6x＝0，得x＝π12＋kπ6（k∈N），所以当x＞0时，函数的第一个零点为x＝π12，当0＜x＜π12时，cs 6x＞0，｜2x－2－x｜＞0，f（x）＞0，符合题意.
对于D，f（－x）＝sin（－6x）｜2－x－2x｜＝－sin6x｜2x－2－x｜＝－sin6x｜2x－2－x｜＝－f（x），f（x）是奇函数，不符合题意.故选C.
3.[命题点2角度2/2024北京市育英学校模拟]点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，A，P两点间的距离y关于点P所走的路程x的函
数图象如图所示，那么点P所走的图形是（ C ）
AB
CD
解析 观察题图，可以发现两个显著特点：①点P所走的路程为图形周长的一半时，A，P两点间的距离y最大；②y关于x的函数图象是曲线.设点M是点P所走的路程为图形周长的一半时所对应的点，如图所示，在图1和图4中，易知｜AM｜＜｜AP｜max，均不符合特点①，所以排除选项A，D.在图2中，当点P在线段AB上运动时，y＝x，其图象是一条线段，不符合特点②，因此排除选项B.故选C.
4.[命题点3角度3/2024山东省德州市模拟]已知函数f（x）＝2x－1+1，x≤2，｜lg2（x－2)|,x>2，若关于x的方程[f（x）]2－（a＋3）f（x）－a＝0有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ A ）
A.∅B.[－1，0）
C.（－2，0）D.（－2，－1）
解析 作出函数f（x）的大致图象如图，由函数图象可知，要使关于x的方程[f（x）]2－（a＋3）f（x）－a＝0有6个不同的实数根，设f（x）＝t，则关于t的方程t2－（a＋3）t－a＝0在（1，3]有两个不同的实数根，
因此Δ＝[－（a+3）]2－4×1×（－a）>0，11，则函数y＝f（1－x）的图象大致为（ B ）
AB
CD
解析 解法一 令g（x）＝f（1－x）.由题意，得g（0）＝f（1－0）＝f（1）＝e0－1＝0，易知f（x）在R上单调递增，所以y＝f（1－x）在R上单调递减，故选B.
解法二 先作f（x）＝ex－1－1，x≤1，lg2x，x>1，的图象关于y轴对称的图象，再把该图象向右平移1个单位长度，得到y＝f（1－x）的图象，故选B.
4.[2023天津高考]函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（ D ）
A.f（x）＝5（ex－e－x）x2+2B.f（x）＝5sinxx2+1
C.f（x）＝5（ex+e－x）x2+2D.f（x）＝5csxx2+1
解析 由题图可知函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数f（x）是偶函数.因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f（x）＝5（ex－e－x）x2+2是奇函数，故排除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sin x是奇函数，所以f（x）＝5sinxx2+1是奇函数，故排除B；因为x2＋2＞0，ex＋e－x＞0，所以f（x）＝5（ex+e－x）x2+2＞0恒成立，不符合题意，故排除C.分析知，选项D符合题意，故选D.
5.[2024辽宁模拟]已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为（ A ）
A.（－2，－1）∪（1，2）B.（－2，－1）
C.（－1，0）∪（1，2）D.（－1，0）
解析 ∵xf（x）＜0，∴x和f（x）异号.由f（x）为奇函数，可得f（x）在R上的图象如图所示.由图可得，当x∈（－2，－1）∪（0，1）∪（2，＋∞）时，f（x）＞0，当x∈（－∞，－2）∪（－1，0）∪（1，2）时，f（x）＜0，∴不等式xf（x）＜0的解集为（－2，－1）∪（1，2）.
6.[2024陕西调研]若函数f（x）＝e－x－ln（x＋a）在（0，＋∞）上存在零点，则实数a的取值范围是（ D ）
A.（－1e，＋∞）B.（－e，＋∞）
C.（－∞，1e）D.（－∞，e）
解析 由题意知，函数y＝e－x与g（x）＝ln（x＋a）的图象在（0，
＋∞）上有交点.当a＞0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝
ln x的图象向左平移a个单位长度得到的，根据图象（如图）可知此时只需要g（0）＝ln a＜1，即0＜a＜e；当a≤0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向右平移－a个单位长度得到的，此时在（0，＋∞）上y＝e－x与g（x）的图象恒有交点，满足条件.综上，a＜e，即实数a的取值范围是（－∞，e）.故选D.
7.[2024江西联考]已知定义域为R的函数f（x）满足f（2＋x）＝－f（－x），且曲线y＝
f（x）与曲线y＝－1x－1有且只有两个交点，则函数g（x）＝f（x）＋1x－1的零点之和是（ A ）
A.2B.－2C.4D.－4
解析 由f（2＋x）＝－f（－x），得f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，函数y＝
－1x－1的图象是由y＝－1x的图象向右平移一个单位长度得到的，故y＝－1x－1的图象关于点（1，0）中心对称，
又曲线y＝f（x）与曲线y＝－1x－1有且只有两个交点，则这两个交点关于（1，0）对称，故这两个交点的横坐标之和为2，而函数g（x）＝f（x）＋1x－1的零点即曲线y＝f（x）与曲线y＝－1x－1交点的横坐标，故函数g（x）＝f（x）＋1x－1的零点之和是2，故选A.
8.[多选/2024山东日照模拟改编]下列结论正确的是（ ABD ）
A.函数y＝sin x与y＝lgπx的图象只有一个交点
B.函数y＝sin x与y＝（12）x的图象有无数个交点
C.函数y＝sin x与y＝x的图象有三个交点
D.函数y＝sin x与y＝tan x，x∈（－π2，π2）的图象只有一个交点
解析 在同一坐标系内作出函数y＝sin x，y＝lgπx，y＝（12）x及y＝x的图象，如图所示，
由图象可知，A，B正确，C错误.
对于D，sin x＝tan x⇒sin x＝sinxcsx⇒sin x（1－1csx）＝0，∵x∈（－π2，π2），∴x＝0，因此函数y＝sin x与y＝tan x，x∈（－π2，π2）的图象只有一个交点，故D正确.故选ABD.
9.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2－x.若f（a）＜4＋
f（－a），则实数a的取值范围是 （－∞，2） .
解析 因为f（x）为奇函数，所以f（－x）＝－f（x），所以f（a）＜4＋f（－a）可转化为f（a）＜2，作出f（x）的图象，如图所示，由图易知a＜2.
10.设函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x＋2）＝f（x）.当x∈[－1，0]时，f（x）＝x2，则函数f（x）与y＝｜lg x｜的图象的交点个数为 10 .
解析 因为f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期为2的偶函数，图象关于y轴对称.因为当x∈[－1，0]时，f（x）＝x2，所以当x∈[－1，1]时，f（x）＝x2.根据f（x）是周期为2的偶函数画出f（x）的图象如图所示，同时画出y＝｜lg x｜的图象，根据图象可知，两个函数的图象有10个交点.
11.[2023吉林长春模拟]函数y＝f（x）（x∈R）的图象如图所示，则函数g（x）＝
f（－ln x）的单调递减区间是（ D ）
A.（0，12）B.（12，1）
C.（0，1e]D.[1e，1]
解析 因为t＝－ln x在x∈（0，＋∞）上单调递减，所以g（x）＝f（－ln x）的单调递减区间为y＝f（t）的单调递增区间，由图象可知y＝f（t）的单调递增区间为[0，12]，所以
－ln x∈[0，12]，解得x∈[1e，1]，选D.
12.[2024辽宁省沈阳市新民市高级中学模拟]岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展.图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心.图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ C ）
A.y＝｜x｜4－x2B.y＝x4－x2
C.y＝－x2+2｜x｜D.y＝－x2+2x
解析 由图象可知，函数为偶函数，排除B，D.对于A，∵y＝｜x｜4－x2＝x2（4－x2）≤（x2+4－x22）2＝2（当且仅当x2＝4－x2，即x＝±2时取等号），∴y＝｜x｜4－x2在（－2，2）上的最大值为2，与图象不符，A错误.对于C，∵y＝－x2+2｜x｜＝－(|x｜－1）2+1，∴当x＝±1时，ymax＝1.又y＝－x2+2｜x｜的图象过点（－2，0），（2，0），（0，0），由－x2＋2｜x｜≥0得｜x｜（｜x｜－2）≤0，解得－2≤x≤2，即函数定义域为[－2，2]，又－（－x）2+2|－x｜＝－x2+2｜x｜，∴y＝－x2+2｜x｜为定义在[－2，2]上的偶函数，图象关于y轴对称.当x∈[0，2]时，y＝－x2+2x＝－（x－1）2+1，则函数在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减.综上所述，y＝－x2+2｜x｜的图象满足题意.故选C.
13.[2024河南模拟]已知函数①f（x）＝e｜x｜sin x；②g（x）＝x－ln｜x｜；③t（x）＝
x2sin x；④h（x）＝exx2.则下列（1）（2）（3）（4）4个函数图象所对应的函数解析式的序号依次为（ A ）
A.④②①③B.②④①③
C.②④③①D.④②③①
解析 由题图可知，图象（1）对应函数的定义域为{x｜x≠0}，值域为{y｜y＞0}，结合函数解析式可知，图象（1）必对应函数④，排除B，C.对于函数①，当x＞0时，f（x）＝exsin x，易得f '（x）＝ex（sin x＋cs x）＝2exsin（x＋π4），当x∈（0，3π4）时，f '（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（3π4，π）时，f '（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x∈（0，π）时，f（x）max＝f（3π4）＝22e3π4＞5，所以函数①对应图象（3），排除D，图象（2）的定义域中不含0，故对应函数②；图象（4）有零点，故对应函数③，故选A.
14.[多选]已知函数f（x）＝｜3x－1|,x0，若直线y＝kx与函数f（x）的图象交于A，B两点，且满足｜OA｜＝｜OB｜，其中O为坐标原点，则k值的个数为 2 .
解析 由题意知，函数y＝f（x）的图象上有关于原点O对称的点，因此存在x0，使得f（x0）＝－f（－x0），即函数y＝f（x）与y＝
－f（－x）的图象有公共点.当x＞0时，f（x）＝ln x，－x＜0，
－f（－x）＝x2－1，作出y＝f（x），y＝－f（－x）在（0，＋∞）上的图象如图所示，则当x＞0时，y＝－f（－x）与y＝f（x）的图象的交点个数即所求.（将问题转化为两函数图象的交点个数问题）
数形结合可知，当x＞0时，y＝f（x）与y＝－f（－x）的图象有2个交点，所以k值的个数为2.
16.[2024广东七校联考]已知函数y＝｜x2－1｜x－1的图象与函数y＝kx－2的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是 （0，1）∪（1，4） .
解析 先画出函数y＝｜x2－1｜x－1＝｜x+1||x－1｜x－1＝x+1，x>1，－｜x+1|,x1，则（ ACD ）
A.f（3）＝6
B.当x∈（3，4）时，g（x）＝4x2－20x＋24
C.若对任意x∈[0，t），g（x）≥－3恒成立，则实数t的最大值为174
D.若g（x）＝m（－2＜m＜－1）在[0，5]内有根x1，x2，…，xn，则∑i=1nxi＝16
解析 因为f（x）－x2是奇函数，f（x）＋x是偶函数，所以f（－x）－x2＝－f（x）＋x2，f（－x）－x＝f（x）＋x，解得f（x）＝－x＋x2，则f（3）＝－3＋32＝6，故A正确；
当x∈（1，2）时，x－1∈（0，1），所以g（x）＝2g（x－1）＝2f（x－1），同理，当x∈（2，3）时，g（x）＝2g（x－1）＝4g（x－2）＝4f（x－2），当x∈（3，4）时，
g（x）＝2g（x－1）＝4g（x－2）＝8g（x－3）＝8f（x－3）＝8[－（x－3）＋（x－3）2]＝8x2－56x＋96，故B错误；
根据规律可得到g（x）的图象（部分）如图所示，
当x∈（4，5）时，g（x）＝16f（x－4）＝16（x－4.5）2－4，令16（x－4.5）2－4＝
－3，解得x＝174或x＝194，结合图象可知0＜t≤174，即实数t的最大值为174，故C正确；
g（x）＝m（－2＜m＜－1）在[0，5]内的根，即y＝g（x）的图象与y＝m（－2＜m＜
－1）在[0，5]内的交点的横坐标，由图可知有4个交点，不妨设其横坐标分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1，x2关于直线x＝3+42＝72对称，x3，x4关于直线x＝4+52＝92对称，所以x1＋x2＝2×72＝7，x3＋x4＝2×92＝9，所以∑i=1nxi＝x1＋x2＋x3＋x4＝16，故D正确.故选ACD.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析式法表示函数，理解函数图象的作用.
作函数的图象
本讲是高考的一个热点，主要考查函数图象的识别和应用，题型以选择题为主，中档难度.在2025年高考备考过程中要掌握数形结合思想，并能灵活应用.
函数图象的识别
2023天津T4；2022全国卷乙T8；2022全国卷甲T5；2019全国卷ⅠT5；2019全国卷ⅢT7
函数图象的应用
2020北京T6
平移变换
y＝f（x）的图象 y＝f（x＋a）的图象.
y＝f（x）的图象 y＝① f（x－a） 的图象.
y＝f（x）的图象 y＝f（x）＋h的图象.
y＝f（x）的图象 y＝② f（x）－h 的图象.
对称变换
y＝f（x）的图象 y＝－f（x）的图象.
y＝f（x）的图象y＝③ f（－x） 的图象.
y＝f（x）的图象 y＝f（x）的反函数的图象.
y＝f（x）的图象y＝④ －f（－x） 的图象.
翻折变换
y＝f（x）的图象 y＝｜f（x）｜的图象.
y＝f（x）的图象 y＝⑤ f（｜x｜） 的图象.
伸缩变换
y＝f（x）的图象 y＝f（ax）的图象.
y＝f（x）的图象 y＝⑥ Af（x） 的图象.