备战2025年高考数学精品教案第二章函数第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考数学精品教案第二章函数第3讲函数的奇偶性、周期性与对称性（Word版附解析），共24页。
学生用书P024
1.函数的奇偶性
注意 （1）只有函数在x＝0处有定义时，f（0）＝0才是f（x）为奇函数的必要不充分条件；
（2）既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.
规律总结
1.常见的奇（偶）函数
（1）函数f（x）＝ax＋a－x为偶函数，函数g（x）＝ax－a－x为奇函数；
（2）函数f（x）＝ax－a－xax＋a－x＝a2x－1a2x+1为奇函数，函数g（x）＝lgab－xb＋x为奇函数；
（3）函数f（x）＝lga（x＋x2+1）为奇函数，函数g（x）＝lga（x2+1－x）也为奇函数.
2.函数奇偶性的拓展结论
（1）若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a），函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称.
（2）若函数y＝f（x＋b）是奇函数，则f（x＋b）＋f（－x＋b）＝0，函数y＝f（x）的图象关于点（b，0）中心对称.
2.函数的周期性
（1）周期函数
一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且⑨ f（x＋T）＝f（x） ，那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.
（2）最小正周期
如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做
f（x）的⑩ 最小 正周期.
注意 并不是所有的周期函数都有最小正周期，如f（x）＝5.
常用结论
函数周期性的常用结论
设函数y＝f（x），x∈R，a＞0，a≠b.
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则2a是函数f（x）的周期；
（2）若f（x＋a）＝±1f（x），则2a是函数f（x）的周期；
（3）若f（x＋a）＝f（x＋b），则｜a－b｜是函数f（x）的周期.
3.函数图象的对称性
已知函数f（x）是定义在R上的函数，
（1）若f（a＋x）＝f（b－x） 恒成立，则y＝f（x） 的图象关于直线⑪ x＝a＋b2 对称.
（2）若f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则y＝f（x）的图象关于点⑫ （a＋b2，c2） 对称.
注意 （1）奇、偶函数的图象平移之后对应的函数不一定有奇偶性，但其图象一定有对称性.（2）注意区分抽象函数的周期性与对称性的表示，周期性的表示中，括号内x的符号相同，对称性的表示中，括号内x的符号相反.
常用结论
函数f（x）图象的对称性与周期的关系
（1）若函数f（x）的图象关于直线x＝a与直线x＝b对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；
（2）若函数f（x）的图象既关于点（a，0）对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为2｜b－a｜；
（3）若函数f（x）的图象既关于直线x＝a对称，又关于点（b，0）对称，则函数f（x）的周期为4｜b－a｜.
1.已知函数f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2＋1x，则f（－1）＝（ A ）
A.－2B.0C.1D.2
2.函数f（x）＝x+1x图象的对称中心为（ B ）
A.（0，0）B.（0，1）C.（1，0）D.（1，1）
解析 由题知f（x）＝x+1x＝1＋1x，其图象可由y＝1x的图象向上平移一个单位长度得到，又y＝1x的图象关于（0，0）对称，所以f（x）＝1＋1x的图象关于（0，1）对称.
3.[多选]以下函数为偶函数的是（ AC ）
A.f（x）＝x2－1B.f（x）＝x3
C.f（x）＝x2＋cs xD.f（x）＝1x＋｜x｜
4.已知函数f（x）为R上的偶函数，且当x＜0时，f（x）＝x（x－1），则当x＞0时，
f（x）＝ x（x＋1） .
5.已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（x－2），当x∈[0，2）时，f（x）＝x2－4x，则当x∈[4，6）时，f（x）＝ x2－12x＋32 .
解析 设x∈[4，6），则x－4∈[0，2），则f（x－4）＝（x－4）2－4（x－4）＝x2－12x＋32.又f（x）＝f（x－2），所以函数f（x）的周期为2，所以f（x－4）＝f（x），所以当x∈[4，6）时，f（x）＝x2－12x＋32.
6.[2024北京市海淀区中国农业大学附属中学模拟]若f（x）＝x＋a，x0是奇函数，则a＝ 1 ，b＝ 1 .
解析 由f（x）为奇函数，知f（－x）＝－f（x），当x＞0时，可得－x＋a＝－bx＋1，所以b＝1，a＝1.
学生用书P026
命题点1 函数的奇偶性
角度1 判断函数的奇偶性
例1 （1）[全国卷Ⅰ]设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（ B ）
A. f（x）g（x）是偶函数B. f（x）｜g（x）｜是奇函数
C.｜f（x）｜g（x）是奇函数D.｜f（x）g（x）｜是奇函数
解析 因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，所以f（x）g（x）为奇函数，f（x）·
｜g（x）｜为奇函数，｜f（x）｜g（x）为偶函数，｜f（x）g（x）｜为偶函数，故选B.
（2）[2021全国卷乙]设函数f（x）＝1－x1+x，则下列函数中为奇函数的是（ B ）
A.f（x－1）－1B.f（x－1）＋1
C.f（x＋1）－1D.f（x＋1）＋1
解析 解法一 因为f（x）＝1－x1+x，所以f（x－1）＝1－（x－1）1+（x－1）＝2－xx，f（x＋1）＝1－（x+1）1+（x+1）＝－xx+2.
对于A，F（x）＝f（x－1）－1＝2－xx－1＝2－2xx，定义域关于原点对称，但不满足F（x）＝－F（－x）；
对于B，G（x）＝f（x－1）＋1＝2－xx＋1＝2x，定义域关于原点对称，且满足G（x）＝
－G（－x）；
对于C，f（x＋1）－1＝－xx+2－1，定义域不关于原点对称；
对于D，f（x＋1）＋1＝－xx+2＋1，定义域不关于原点对称.
故选B.
解法二 f（x）＝1－x1+x＝2－（x+1）1+x＝21+x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝
f（x）的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f（x－1）＋1，故选B.
方法技巧
1.（1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件；（2）若定义域关于原点对称，则判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断f（x）＋
f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数）是否成立.
2.在公共定义域内有：奇函数±奇函数＝奇函数，偶函数±偶函数＝偶函数，奇函数×奇函数＝偶函数，偶函数×偶函数＝偶函数，奇函数×偶函数＝奇函数.
注意 对于分段函数奇偶性的判断，要分段判断f（－x）＝f（x）或f（－x）＝－f（x）是否成立，只有当所有区间都满足相同关系时，才能判断该分段函数的奇偶性.
角度2 函数奇偶性的应用
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]若f（x）＝（x＋a）·ln2x－12x+1为偶函数，则a＝（ B ）
A.－1B.0C.12D.1
解析 解法一 设g（x）＝ln 2x－12x+1，易知g（x）的定义域为（－∞，－12）∪（12，
＋∞），且g（－x）＝ln －2x－1－2x+1＝ln 2x+12x－1＝－ln 2x－12x+1＝－g（x），所以g（x）为奇函数.若
f（x）＝（x＋a）ln 2x－12x+1为偶函数，则y＝x＋a应为奇函数，所以a＝0，故选B.
解法二 因为f（x）＝（x＋a）ln 2x－12x+1为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln 13＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，经检验，满足题意，故选B.
（2）[2024江苏南通模拟]已知定义在R上的函数f（x），g（x）分别是奇函数和偶函数，且f（x）＋g（x）＝x2－2x，则f（2）＋g（1）＝ －3 .
解析 由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，得f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），∵f（x）＋g（x）＝x2－2x，∴f（－x）＋g（－x）＝（－x）2－2（－x）＝x2＋2x，即
－f（x）＋g（x）＝x2＋2x，则有f（x）＝－2x，g（x）＝x2，则f（2）＋g（1）＝－4＋1＝－3.
方法技巧
函数奇偶性的应用类型及解题策略
（1）求函数解析式或函数值：借助奇偶性转化为求已知区间上的函数解析式或函数值，或利用奇偶性构造关于f（x）的方程（组）求解析式.
（2）求参数值：利用定义域关于原点对称或f（x）±f（－x）＝0列方程（组）求解，对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.
注意 利用特殊值法求参数时要检验.
训练1 （1）[2024辽宁鞍山一中模拟]下列函数中，既是偶函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（ C ）
A.f（x）＝xln x
B.f（x）＝ln（－x＋x2+1）
C.f（x）＝ex＋e－x
D.f（x）＝ex－e－x
解析 对于A，因为f（x）＝xln x的定义域为（0，＋∞），不关于原点对称，所以f（x）＝xln x不是偶函数，故A选项不符合题意；对于B，因为f（x）＝ln（－x＋x2+1）的定义域为R，关于原点对称，f（x）＋f（－x）＝ln（－x＋x2+1）＋ln（x＋x2+1）＝ln 1＝0，所以f（x）＝ln（－x＋x2+1）是奇函数，故B选项不符合题意；对于C，因为f（x）＝ex＋e－x的定义域为R，关于原点对称，且f（－x）＝e－x＋ex＝f（x），所以
f（x）＝ex＋e－x是偶函数.f '（x）＝ex－e－x，当x∈（0，＋∞）时，有ex＞e0=1>e－x，则f '（x）＝ex－e－x＞0，所以f（x）＝ex＋e－x在（0，＋∞）上单调递增，故C选项符合题意；对于D，因为f（x）＝ex－e－x的定义域为R，关于原点对称，但f（－x）＝e－x－ex＝－（ex－e－x）＝－f（x），所以f（x）＝ex－e－x是奇函数，故D选项不符合题意.故选C.
（2）[2024江苏省扬州中学模拟]定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝2x－a·3－x，当x＜0时， f（x）＝ 3x－2－x .
解析 因为函数f（x）为奇函数，定义域为R，所以f（0）＝20－a×30＝0，解得a＝1.若x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝2－x－3x，又f（x）为奇函数，所以当x＜0时，f（x）＝－f（－x）＝3x－2－x，即当x＜0时，f（x）＝3x－2－x.
命题点2 函数的周期性
例3 （1）已知f（x＋1）是定义在R上且周期为2的函数，当x∈[－1，1）时，f（x）＝－2x2+4,－1≤x