备战2025年高考数学精品教案第一章集合、常用逻辑用语与不等式第4讲基本不等式（Word版附解析）

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学生用书P010
1.基本不等式：ab≤a＋b2
（1）基本不等式成立的条件：① a＞0，b＞0 .
（2）等号成立的条件：当且仅当 ② a＝b 时取等号.
（3）其中，③ a＋b2 叫做a，b的算术平均数，④ ab 叫做a，b的几何平均数.基本不等式表明：正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数.
注意 若a＜0，b＜0，应先转化为－a＞0，－b＞0，再运用基本不等式求解.
2.几个重要不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.
（2）a＋b≥2ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.
（3）2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.
思维拓展
基本不等式链的几何解释
如图，AB是☉O的直径，AC＝a，CB＝b，点D，F在☉O上，且DC⊥AB，FO⊥AB，连接DA，DO，DB，FC，作CE⊥DO，垂足为E.由图可知，☉O的半径等于AB2＝AC＋CB2＝a＋b2.
（1）因为DC是Rt△ADB斜边上的高，所以由射影定理得DC2＝AC·CB＝ab⇒DC＝ab.由DO≥DC得a＋b2≥ab，当且仅当C与O重合，即a＝b时不等式取等号.
（2）因为CE是Rt△DOC斜边上的高，所以由射影定理得DC2＝DE·DO，所以DE＝DC2DO＝aba＋b2＝21a＋1b.由DC≥DE得ab≥21a＋1b，当且仅当C与E重合，即a＝b时不等式取等号.
（3）因为OC＝AC－AO＝a－a＋b2＝a－b2，OF＝a＋b2，所以在Rt△COF中，由勾股定理可得CF＝OC2＋OF2＝（a－b2）2＋（a＋b2）2＝a2＋b22.由CF≥OF得a2＋b22≥a＋b2，当且仅当C与O重合，即a＝b时不等式取等号.
则由（1）（2）（3）可得不等式链：21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，当且仅当a＝b时不等式取等号.
拓展思维：类似地，我们可以由DO≥DE得a＋b2≥21a＋1b；由CF≥DE得a2＋b22≥21a＋1b；由CF≥DC得a2＋b22≥ab.
归纳总结：不等式链21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22一共包含了6个不等式（它们取等号的条件一致，均是当且仅当a＝b时不等式取等号），对于其中的每一个不等式，我们都可以根据上图给出它的几何解释.
注意 21a＋1b，ab，a＋b2，a2＋b22分别称为正实数a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数，故基本不等式链也称为均值不等式.
3.利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0.
（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值⑤ 2P （简记：积定和最小）；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值⑥ S24 （简记：和定积最大）.
注意 应用基本不等式求最值应满足三个条件“一正”“二定”“三相等”.
1.下列说法正确的是（ C ）
A.函数y＝x＋1x的最小值是2
B.函数f（x）＝cs x＋4csx，x∈（0，π2）的最小值为4
C.“x＞0且y＞0”是“xy＋yx≥2”的充分不必要条件
D.不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件
2.矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是（ B ）
A.4B.92C.322D.2
解析 依题意可得a＞0，b＞0，则6＝a＋2b≥2a·2b＝22·ab，当且仅当a＝2b时取等号，所以ab≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.
3.已知a，b为正数，则下列不等式中不成立的是（ D ）
A.ab≤a2＋b22B.ab≤（a＋b2）2C.a2＋b22≥a＋b2D.2aba＋b≥ab
解析 易知A，B成立；对于C，因为a2＋b2≥2ab，所以2（a2＋b2）≥（a＋b）2，所以a2＋b22≥（a＋b2）2，所以a2＋b22≥a＋b2，故C成立；对于D，取a＝4，b＝1，代入可知，不等式不成立，故D不成立.由以上分析可知，选D.
4.[教材改编]已知x＞2，则4x－2＋x的最小值是 6 .
解析 由x＞2知x－2＞0，则4x－2＋x＝4x－2＋（x－2）＋2≥24x－2·（x－2）＋2＝6，当且仅当4x－2＝x－2，即x＝4时取“＝”，所以4x－2＋x的最小值是6.
学生用书P011
命题点1 利用基本不等式求最值
角度1 配凑法
例1 （1）[2024四川省南充第一中学模拟]已知a＞b＞0，则2a＋9a＋b＋4a－b的最小值为（ D ）
A.4B.6C.3D.10
解析 ∵a＞b＞0，∴a＋b＞0，a－b＞0，∴2a＋9a＋b＋4a－b＝[（a＋b）＋9a＋b]＋[（a－b）＋4a－b]≥2（a＋b）·9a＋b＋2（a－b）·4a－b＝6＋4＝10，当且仅当a＋b＝9a＋b且a－b＝4a－b，即a＝52，b＝12时取等号，故2a＋9a＋b＋4a－b的最小值为10.故选D.
（2）[2024宁夏银川模拟]已知0＜x＜4，则x（4－x）的最大值为 2 .
解析 0＜x＜4，则0＜4－x＜4，由基本不等式可得x（4－x）≤x+4－x2＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，等号成立.故x（4－x）的最大值为2.
角度2 常数代换法
例2 （1）[2023江西省南昌一中模拟]已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为（ C ）
A.54B.56C.72D.81
解析 解法一 因为8a＋4b＝ab，所以b＝8aa－4＞0，因为a＞0，所以a＞4，所以8a＋b＝8a＋8aa－4＝8（a2－3a）a－4＝8[（a－4）＋4a－4＋5]≥8×（24＋5）＝72，当且仅当a＝6时取等号.故选C.
解法二 ∵8a＋4b＝ab，a＞0，b＞0，∴8b＋4a＝1，∴8a＋b＝（8a＋b）（8b＋4a）＝64ab＋4ba＋40≥264×4＋40＝72，当且仅当64ab＝4ba，即a＝6，b＝24时取“＝”，故选C.
（2）[山东高考]若直线xa＋yb＝1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a＋b的最小值为8.
解析 ∵直线xa＋yb＝1（a＞0，b＞0）过点（1，2），∴1a＋2b＝1.∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝（2a＋b）（1a＋2b）＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8，当且仅当ba＝4ab和1a＋2b＝1同时成立，即a＝2，b＝4时等号成立，∴2a＋b的最小值为8.
角度3 消元法
例3 （1）[2024河南名校调研]若正数x，y满足xy－2x－y＝0，则x＋y2的最小值是（ C ）
A.2B.22C.4D.42
解析 因为正数x，y满足xy－2x－y＝0，所以y＝2xx－1＞0，则x－1＞0，所以x＋y2＝x＋xx－1＝x＋1x－1＋1＝x－1＋1x－1＋2≥2（x－1）·1x－1＋2＝4，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立.故选C.
（2）[江苏高考]已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是 45 .
解析 解法一 由5x2y2＋y4＝1得x2＝15y2－y25，则x2＋y2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝45，当且仅当15y2＝4y25，即y2＝12时取等号，故x2＋y2的最小值是45.
解法二 因为4＝（5x2＋y2）·4y2≤[（5x2＋y2）+4y22]2＝254（x2＋y2）2，所以x2＋y2≥45，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝310，y2＝12时取等号，故x2＋y2的最小值是45.
方法技巧
1.基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.
2.配凑、常数代换、消元的目的都是为了凑出和为定值或者积为定值的形式.
3.多次使用基本不等式时，尤其要注意等号能否同时成立.
训练1 （1）[2024辽宁省阜新市高级中学模拟]两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，若关于m的不等式x＋y4＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是（ C ）
A.（－1，4）B.（－4，1）
C.（－∞，－4）∪（1，＋∞）D.（－∞，－3）∪（0，＋∞）
解析 ∵正实数x，y满足1x＋4y＝1，∴x＋y4＝（x＋y4）（1x＋4y）＝2＋4xy＋y4x≥2＋24xy·y4x＝4，当且仅当4xy＝y4x且1x＋4y＝1，即x＝2，y＝8时取等号.∵不等式x＋y4＜m2＋3m有解，∴4＜m2＋3m，解得m＞1或m＜－4，即m∈（－∞，－4）∪（1，＋∞）.故选C.
（2）[2021天津高考]若a＞0，b＞0，则1a＋ab2＋b的最小值为 22 .
解析 因为1a＋ab2＋b≥21a·ab2＋b＝2b＋b≥22，当且仅当1a＝ab2，2b＝b，即a＝b＝2时取等号，所以1a＋ab2＋b的最小值为22.
（3）[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则xyz的最大值为 1 .
解析 因为4x2－3xy＋y2－z＝0，所以z＝4x2－3xy＋y2，所以xyz＝xy4x2－3xy＋y2＝14xy－3+yx≤124xy·yx－3＝12×2－3＝1，当且仅当4xy＝yx，即y＝2x时等号成立， 所以xyz的最大值为1.
命题点2 基本不等式的综合问题
角度1 基本不等式的综合应用
例4 （1）[2021浙江高考]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcs β，sin βcs γ，
sin γcs α三个值中，大于12的个数的最大值是（ C ）
A.0B.1C.2D.3
解析 因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin α，cs β，sin β，cs γ，sin γ，cs α均为正数.由基本不等式可知sin αcs β≤sin2α＋cs2β2，sin βcs γ≤sin2β＋cs2γ2，sin γcs α≤
sin2γ＋cs2α2，三式相加可得sin αcs β＋sin βcs γ＋sin γcs α≤32，当且仅当sin α＝
cs β，sin β＝cs γ，sin γ＝cs α，即α＝β＝γ＝π4时取等号，因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin αcs β＋sin βcs γ＋sin γcs α＜32，所以sin αcs β，sin βcs γ，sin γcs α不会都大于12.若取α＝π6，β＝π3，γ＝π4，则sinπ6csπ3＝12×12＝14＜12，sinπ3csπ4＝32×22＝64＞24＝12，sinπ4csπ6＝22×32＝64＞12，所以三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C.
（2）[多选/2022新高考卷Ⅱ]若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（ BC ）
A.x＋y≤1B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2D.x2＋y2≥1
解析 解法一 由题意得，x2＋y2＝xy＋1，所以（x＋y）2＝3xy＋1，当x＞0且y＞0时，显然有（x＋y）2＞1，即x＋y＞1，故A错误.因为x2＋y2≥2xy，所以xy＋1≥2xy，所以xy≤1，所以x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立，故C正确.因为（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝3xy＋1≤4，所以｜x＋y｜≤2，所以－2≤x＋y≤2，故B正确.因为x2＋y2＝xy＋1，所以当xy＜0时，x2＋y2＜1，故D错误.故选BC.
解法二 由x2＋y2－xy＝（x－12y）2＋34y2＝1，可设x－12y＝cs α，32y＝sin α，所以x＝sinα3＋cs α，y＝2sinα3.x＋y＝3sin α＋cs α＝2sin（α＋π6）∈[－2，2]，且当α＝π3时，x＋y可取得最大值2，故A错误，B正确.x2＋y2＝3sin2α－cs2α+43＝2sin（2α－π6）+43∈[23，2]，且当α＝－π6时，x2＋y2取得最小值23，所以C正确，D错误，故选BC.
角度2 利用基本不等式解决实际问题
例5 [江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 30 .
解析 一年购买 600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x＝4（900x＋x）≥8900x×x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
例6 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G（x）万元，且G（x）＝x2+120x，0