备战2025年高考数学精品教案第一章集合、常用逻辑用语与不等式第3讲等式性质与不等式性质（Word版附解析）

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学生用书P008
1.两个实数比较大小的方法
2.等式的性质
3.不等式的性质
常用结论
1.a＞b＞0⇒a＞b.
2.（1）a＞b，ab＞0⇒1a＜1b；（2）a＞b＞0，d＞c＞0⇒ac＞bd.
3.a＞b＞0，m＞0⇒ba＜b＋ma＋m，ab＞a＋mb＋m.
1.已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，则（ C ）
A.t＞sB.t≥sC.t≤sD.t＜s
解析 因为t－s＝（2a＋2b）－（a2＋2b＋1）＝－（a－1）2≤0，所以t≤s.故选C.
2.[易错题]设a，b∈[0，＋∞），A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是（ B ）
A.A≤BB.A≥B C.A＜B D.A＞B
解析 由题意得，A2－B2＝2ab≥0，又A≥0，B≥0，故A≥B.
3.[多选]下列说法不正确的是（ AD ）
A.一个不等式的两边同时加上或同时乘以同一个数，不等号方向不变
B.若a＞b＞0，c＞d＞0，则ad＞bc
C.若ab＞0，a＞b，则1a＜1b
D.若x＞y，则x2＞y2
4.[教材改编]已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则2a－b的取值范围是 （5，8） .
解析 ∵2＜a＜3，∴4＜2a＜6 ①.∵－2＜b＜－1，∴1＜－b＜2 ②.①＋②得，5＜2a－b＜8.
学生用书P009
命题点1 比较两个数（式）的大小
例1 （1）[2024湖北襄阳宜城第一中学模拟]已知0＜a＜12，若A＝1＋a2，B＝11－a，则A与B的大小关系是（ A ）
A.A＜BB.A＞BC.A＝BD.不确定
解析 A－B＝1＋a2－11－a＝（1+a2)(1－a）－11－a＝a2－a－a31－a＝a（a－1－a2）1－a，因为0＜a＜12，所以
1－a＞0，－a2＋a－1＝－（a－12）2－34＜－34＜0，所以A－B＜0，即A＜B.故选A.
（2）eπ·πe与ee·ππ 的大小关系为 eπ·πe＜ee·ππ .
解析 eπ·πeee·ππ＝eπ－eππ－e＝（eπ）π－e，又0＜eπ＜1，0＜π－e＜1，所以（eπ）π－e＜1，即eπ·πeee·ππ＜1，又ee·ππ＞0，所以eπ·πe＜ee·ππ.
方法技巧
比较数（式）大小的常用方法
1.作差法：（1）作差；（2）变形；（3）定号；（4）得出结论.
2.作商法：（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小关系；（4）得出结论.
3.构造函数， 利用函数的单调性比较大小.
训练1 （1）若a＞b＞1，P＝aeb，Q＝bea，则P，Q的大小关系是（ C ）
A.P＞QB.P＝QC.P＜QD.不能确定
解析 P，Q作商可得PQ＝aebbea＝ebbeaa.
令f（x）＝exx，则f '（x）＝ex（x－1）x2，
当x＞1时，f '（x）＞0 ，所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，
因为a＞b＞1，所以ebb＜eaa，
又ebb＞0，eaa＞0，
所以PQ＝ebbeaa＜1，所以P＜Q.
（2）[多选/2023江苏省南京市调研]已知a＞b＞0，则（ AC ）
A.1b＞1a
B.a－1b＞b－1a
C.a3－b3＞2（a2b－ab2）
D.a+1－b+1＞a－b
解析 对于A，因为函数y＝1x在（0，＋∞）上单调递减，a＞b＞0，所以1b＞1a，故A正确.
对于B，解法一 由a－1b＞b－1a，得a－b＋1a－1b＞0，即（a－b）（1－1ab）＞0，
因为a＞b＞0，所以a－b＞0，ab＞0，
所以1－1ab＞0，
所以ab＞1，而该式不一定成立，
所以不等式a－1b＞b－1a不一定成立，故B不正确.
解法二 当a＝12，b＝13时，a－1b＝－52，b－1a＝－53，则a－1b＜b－1a，故B不正确.
对于C，由a3－b3＞2（a2b－ab2），得（a－b）（a2－ab＋b2）＞0，因为a－b＞0，
所以a2＋b2－ab＞0，即（a－b）2＋ab＞0，该不等式恒成立，故C正确.
对于D，由a+1－b+1＞a－b，得a+1－a＞b+1－b，即1a+1＋a＞1b+1＋b，
所以b+1＋b＞a+1＋a，该不等式不成立，故D不正确.
综上所述，选AC.
命题点2 不等式的性质及其应用
角度1 不等式的性质
例2 （1）[全国卷Ⅱ]若a＞b，则（ C ）
A.ln（a－b）＞0B.3a＜3b
C.a3－b3＞0D.｜a｜＞｜b｜
解析 解法一 由函数y＝ln x的图象（图略）知，当0＜a－b＜1时，ln（a－b）＜0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a＞b时，3a＞3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a＞b时，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b＜a＜0时，｜a｜＜｜b｜，故D不正确.故选C.
解法二 当a＝0.3，b＝－0.4时，ln（a－b）＜0，3a＞3b，｜a｜＜｜b｜，故排除A，B，D.故选C.
（2）[多选/2023湖南省邵阳二中模拟]如果a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列结论一定正确的是（ ACD ）
A.ab＞acB.cb2＜ab2
C.c（b－a）＞0D.ac（a－c）＜0
解析 由c＜b＜a，且ac＜0，得a＞0，c＜0.对于A，由c＜b，a＞0得ac＜ab，故A正确.对于B，取c＝－1，b＝0，a＝1，显然B不一定正确.对于C，b－a＜0，c＜0，故c（b－a）＞0，故C正确.对于D，ac＜0，a－c＞0，故ac（a－c）＜0，故D正确.故选ACD.
方法技巧
判断不等式是否成立的常用方法
（1）利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件；
（2）利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项；
（3）根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断.
角度2 不等式性质的综合应用
例3 （1）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则ca的取值范围是（ A ）
A.（－3，－1）B.（－1，－13）
C.（－2，－1）D.（－1，－12）
解析 因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.因为a＞b＞c，所以
－2a－c＜a，即3a＞－c，解得ca＞－3，将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得ca＜－1，所以－3＜ca＜－1.故选A.
（2）[2024湖北孝感部分学校模拟]已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，则3a－2b的取值范围为 [－4，11] .
解析 设3a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b）＝（m＋n）a＋（m－n）b，则m＋n=3，m－n＝－2，解得m＝12，n＝52，所以3a－2b＝12（a＋b）＋52（a－b）.又－32≤12（a＋b）≤1，－52≤52（a－b）≤10，所以－4≤3a－2b≤11.
方法技巧
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解.
训练2 （1）[2024吉林长春东北师范大学附属中学模拟]设a≥b≥c，且1是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个实根，则ca的取值范围是（ A ）
A.[－2，－12]
B.（－2，－12）
C.（－∞，－2）∪（－12，＋∞）
D.（－∞，－2]∪[－12，＋∞）
解析 因为1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个实根，
所以a＋b＋c＝0，则b＝－a－c，
又a≥b≥c，所以a≥－a－c≥c，则2a≥－c，－a≥2c，
又a≥b≥c，所以3a≥a＋b＋c＝0，又a≠0，所以a＞0，
则不等式组等价于2≥－ca，－1≥2ca，即－2≤ca，－12≥ca，故－2≤ca≤－12，故选A.
（2）[多选/2024山东省鄄城县第一中学模拟]已知a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是（ ABC ）
A.若bc2＜ac2，则b＜a
B.若a3＞b3且ab＜0，则1a＞1b
C.若a＞b＞c＞0，则ab＞a＋cb＋c
D.若c＞b＞a＞0，则ac－a＞bc－b
解析 选项A，若bc2＜ac2成立，则c≠0，所以c2＞0，故选项A正确；
选项B，由a3＞b3得a＞b，又ab＜0，所以a＞0＞b，所以1a＞0＞1b，故选项B正确；
选项C，因为a＞b＞c＞0，所以ac＞bc，所以ac＋ab＞bc＋ab，因为1b（b＋c）＞0，所以两边同乘1b（b＋c）得ab＞a＋cb＋c，故选项C正确；
选项D，易知a－b＜0，c－a＞0，c－b＞0，所以ac－a－bc－b＝c（a－b）（c－a)(c－b）＜0，即ac－a＜bc－b，故选项D不正确.
故选ABC.
1.[命题点1/多选/2024黑龙江哈尔滨模拟]已知偶函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（－1）＝0.若a＝f（20.7），b＝f（0.5－0.9），c＝f（lg0.70.9），则（ ACD ）
A.b2＞a2B.1a＜1cC.cb＞caD.b＞a＋c
解析 因为偶函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f（－1）＝0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（1）＝0.又lg0.71＝0＜lg0.70.9＜lg0.70.7＝1＝20＜20.7＜20.9＝0.5－0.9，所以c＜0＜a＜b.
对于A选项，因为c＜0＜a＜b，所以b2－a2＞0，即b2＞
a2，故A选项正确；
对于B选项，因为c＜0＜a＜b，所以1c＜0＜1a，故B选项不正确；
对于C选项，因为c＜0＜a＜b，所以1b＜1a，所以cb＞ca，故C选项正确；
对于D选项，因为c＜0＜a＜b，所以b＞a＞a＋c，故D选项正确.
故选ACD.
2.[命题点2/多选/2023长沙调研]若1a＜1b＜0，则下列不等式中正确的是（ AC ）
A.1a＋b＜1abB.｜a｜＋b＞0
C.a－1a＞b－1bD.ln a2＞ln b2
解析 由1a＜1b＜0，可知b＜a＜0.
A中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以1a＋b＜0，1ab＞0，故有1a＋b＜1ab，即A正确；
B中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞｜a｜，即｜a｜＋b＜0，故B错误；
C中，因为b＜a＜0，1a＜1b＜0，所以－1a＞－1b＞0，a－1a＞b－1b，故C正确；
D中，由b＜a＜0，y＝x2在（－∞，0）上单调递减，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域（0，＋∞）上单调递增，所以ln b2＞ln a2，故D错误.
学生用书·练习帮P261
1.[2024四川广安模拟]已知P＝a2＋3，Q＝4a－1，则P，Q的大小关系是（ A ）
A.P≥QB.P＞Q
C.P≤QD.P＜Q
解析 P＝a2＋3，Q＝4a－1，P－Q＝a2＋3－4a＋1＝（a－2）2≥0，故P≥Q，故选A.
2.[2022上海高考]已知实数a，b，c，d满足：a＞b＞c＞d，则下列选项中正确的是（ B ）
A.a＋d＞b＋cB.a＋c＞b＋d
C.ad＞bcD.ac＞bd
解析 对于选项A，如取a＝4，b＝3，c＝2，d＝－4，此时a＋d＜b＋c，故A错误；
对于选项B，a＋c＞b＋c＞b＋d，故B正确；
对于选项C，D，如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此时ad＜bc，ac＜bd，故C，D错误.故选B.
3.[2024陕西西安模拟]若a＜b＜0＜c＜d，则（ C ）
A.ac＜adB.a－c＞b－d
C.ca＞dbD.a＋cb＞b＋dc
解析 对于A，因为a＜0，c＜d，所以ac＞ad，故选项A错误；
对于B，取a＝－4，b＝－1，c＝1，d＝2，则a－c＝－5，b－d＝－3，故选项B错误；
对于C，ca－db＝bc－adab＞ac－adab＞0，所以ca＞db，故选项C正确；
对于D，取a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝2，则a＋cb＝1，b＋dc＝1，故选项D错误.故选C.
4.已知0＜a＜b＜1，设m＝bln a，n＝aln b，p＝ln（lnalnb），则m，n，p的大小关系为（ A ）
A.m＜n＜pB.n＜m＜p
C.p＜m＜nD.p＜n＜m
解析 由0＜a＜b＜1，得ba＞1，且ln a＜ln b＜0，即有lnalnb＞1，因此，ln（lnalnb）＞0，即p＞0，由m＜0，n＜0，mn＝blnaalnb＝ba·lnalnb＞1，得m＜n＜0，所以m＜n＜p.故选A.
5.[2024山东烟台模拟]已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是（ B ）
A.xy＞yz B.xy＞xz
C.xz＞yz D.x｜y｜＞｜y｜z
解析 因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定.
对于A，由题意得x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；
对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；
对于D，当｜y｜＝0时，x｜y｜＝｜y｜z，故D错误.故选B.
6.[2024广西柳州模拟]一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应该不小于10％，而且这个比值越大，采光效果越好.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果（ B ）
A.变坏了B.变好了
C.不变D.无法判断
解析 设a和b分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得0＜a＜b，m＞0，则a＋mb＋m－ab＝ab＋bm－ab－amb（b＋m）＝m（b－a）b（b＋m），
因为b＞0，m＞0，所以b（b＋m）＞0，
又因为a＜b，则b－a＞0，
所以a＋mb＋m－ab＞0，即a＋mb＋m＞ab，
所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了.
故选B.
7.[多选]若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（ BCD ）
A.ad＞bcB.ad＋bc＜0
C.a－c＞b－dD.a（d－c）＞b（d－c）
解析 因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误；因为0＞
b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）·
（－d），所以ac＋bd＜0，又cd＞0，所以ac＋bdcd＝ad＋bc＜0，故B正确；因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故C正确；因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－c），故D正确.
8.[多选]若a＞0，b＞0，则使a＞b成立的充要条件是（ ABD ）
A.a2＞b2B.a2b＞ab2
C.ba＞b+1a+1D.a＋1b＞b＋1a
解析 对于A，因为a＞0，b＞0，所以a＞b⇔a2＞b2，A选项符合题意；
对于B，因为a＞0，b＞0，所以a2b＞ab2⇔ab（a－b）＞0⇔a＞b，B选项符合题意；
对于C，当a＞b＞0时，ba－b+1a+1＝b（a+1)－a（b+1）a（a+1）＝b－aa（a+1）＜0，即ba＜b+1a+1，C选项不符合题意；
对于D，当a＞b＞0时，1b＞1a＞0，所以a＋1b＞b＋1a，反之，由a＞0，b＞0，a＋1b＞b＋1a，可得a＋1bb＋1a＞1，即a（ab+1）b（ab+1）＞1，即ab＞1，所以a＞b，D选项符合题意.故选ABD.
9.[多选/2024安徽模拟]已知2＜x＜3，－2＜y＜1，则下列选项正确的是（ CD ）
A.－23＜yx＜12B.2＜xy2＜12
C.－6＜xy＜3D.3＜2x－y＜8
解析 对于A，2＜x＜3，13＜1x＜12，当y＝0时，yx＝0；当0＜y＜1时，0＜yx＜12；当－2＜y＜0时，0＜－y＜2，0＜－yx＜1，－1＜yx＜0.所以－1＜yx＜12，A选项错误.对于B，－2＜y＜1，当y＝0时，xy2＝0，B选项错误.对于C，当y＝0时，xy＝0；当0＜y＜1时，0＜xy＜3；当－2＜y＜0时，0＜－y＜2，0＜－xy＜6，－6＜xy＜0.所以－6＜xy＜3，C选项正确.对于D，由2＜x＜3，得4＜2x＜6，由－2＜y＜1，得－1＜－y＜2，所以3＜2x－y＜8，D选项正确.故选CD.
10.[2024安徽省淮南市模拟]已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，则4a－2b的取值范围是 [5，10] .
解析 令 4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n－m）b ，则 m＋n=4，n－m＝－2， 解得 n=1，m=3.因为1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，所以5≤3（a－b）＋（a＋b）≤10，所以5≤4a－2b≤10.
11.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则（ B ）
A.a＜b＜c B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜a＜c
解析 解法一 易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝lg8164＜1，所以a＞b；bc＝5ln44ln5＝
lg6251 024＞1，所以b＞c，即c＜b＜a.故选B.
解法二 构造函数f（x）＝lnxx，则f '（x）＝1－lnxx2，由f '（x）＞0，得0＜x＜e；由
f '（x）＜0，得x＞e，所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，所以f（3）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c.故选B.
12.[2024河南郑州模拟]某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案：①先降价a％，再降价b％；②先降价a＋b2％，再降价a％；③先降价a＋b2％，再降价a＋b2％；④一次性降价（a＋b）％.其中a＞b＞0，则最终降价幅度最小的方案是（ C ）
A.①B.②C.③D.④
解析 设原价为1，对于①，降价后的价格为（1－a％）（1－b％），
对于②，降价后的价格为（1－a＋b2％）（1－a％），
对于③，降价后的价格为（1－a＋b2％）2，
对于④，降价后的价格为1－（a＋b）％.
（1－a％）（1－b％）＝1－（a＋b）％＋a％b％＞1－（a＋b）％，所以①＞④.
因为a＞b，所以（1－a＋b2％）2－（1－a％）（1－b％）＝（a％＋b％2）2－a％b％＝（a％＋b％）2－4a％b％4＝（a％－b％2）2＞0，所以①＜③.
因为a＞b，所以a％＞a＋b2％，1－a％＜1－a＋b2％，（1－a＋b2％）（1－a％）＜（1－a＋b2％）2，所以②＜③.
则最终降价幅度最小的方案是③.故选C.
13.[多选/2024广东名校联考]若a＝ln b＋1，c＝eb－1，则（ ACD ）
A.a≤bB.c≤bC.a＜cD.b＜c
解析 a－b＝ln b－b＋1，构造函数f（x）＝ln x－x＋1，则f '（x）＝1x－1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以f（x）≤f（1）＝0，所以a≤b.
c－b＝eb－b－1，构造函数g（x）＝ex－x－1（x＞0），则g'（x）＝ex－1，因为x＞0，所以g'（x）＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g（x）＞e0－1＝0，所以c＞b.综上，a≤b＜c，故选ACD.
14.b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添加m克糖（m＞0），就会使糖水变得更甜，试根据这个事实提炼出一个不等式： ab＜a＋mb＋m .
解析 原来糖水浓度为ab，添加m克糖后变为a＋mb＋m，糖水变甜，意味着ab＜a＋mb＋m.
15.[多选/2024山东菏泽模拟]下列结论一定正确的有（ AD ）
A.若ln a2＞ln b2，则2｜a｜＞2｜b｜
B.若｜a｜a2＞｜b｜b2，则2a＜2b
C.若b＞a＞e，则ab＜ba
D.若0＜2a＜b＜3－a2，则sin a＜sin b2
解析 由ln a2＞ln b2可得a2＞b2，即｜a｜＞｜b｜，而y＝2x是增函数，所以2｜a｜＞2｜b｜成立，故A正确.由｜a｜a2＞｜b｜b2可得1｜a｜＞1｜b｜，故｜b｜＞｜a｜，若取a＝1，b＝－2，则
2a＞2b，所以2a＜2b不一定成立，故B错误.若取b＝4，a＝3，满足b＞a＞e，但34＝81＞43＝64，即ab＞ba，故ab＜ba不一定成立，故C错误.由0＜2a＜b＜3－a2可知0＜2a＜b＜3，所以0＜a＜b2＜32＜π2，而y＝sin x在x∈（0，π2）上单调递增，所以sin a＜sin b2，故D正确.故选AD.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质.
比较两个数（式）的大小
2022全国卷甲T12；2020全国卷ⅢT12
本讲很少单独命题，常与其他知识综合命题，命题热点有比较大小，不等式性质的应用等，主要考查学生的数学运算和逻辑推理素养.题型以选择题和填空题为主，难度中等，预计2025年高考命题点变化不大，复习备考时要掌握等式与不等式的性质，并能充分运用.
不等式的性质及其应用
2020新高考卷ⅠT11；2019全国卷ⅡT6
关系
方法
作差法
作商法
a＞b
a－b＞0
ab＞1（a，b＞0）或ab① ＜ 1（a，b＜0）
a＝b
a－b＝0
ab＝1（b≠0）
a＜b
a－b＜0
ab＜1（a，b＞0）或ab② ＞ 1（a，b＜0）
对称性
如果a＝b，那么b＝a
传递性
如果a＝b，b＝c，那么a＝c
可加（减）性
如果a＝b，那么a±c＝b±c
可乘性
如果a＝b，那么ac＝bc
可除性
如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc
性质
性质内容
对称性
a＞b⇔③ b＜a
传递性
a＞b，b＞c⇒④ a＞c
可加性
a＞b⇔a＋c＞b＋c
可乘性
a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒⑤ ac＜bc
同向可加性
a＞b，c＞d⇒⑥ a＋c＞b＋d
同向同正可乘性
a＞b＞0，c＞d＞0⇒⑦ ac＞bd
同正可乘方性
a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）