备战2025年高考数学精品教案第一章集合、常用逻辑用语与不等式第1讲集合（Word版附解析）

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学生用书P001
1.集合的概念
2.集合间的基本关系
空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.
规律总结
（1）A⊆B（子集）A＝B（相等）⇔A⊆B且A⊇B，A⫋B（真子集）⇔A⊆B且A≠B.
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，即⌀⊆A，⌀⫋B（B≠⌀）.
（3）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.空集只有一个子集，即它本身.
（4）含有n个元素的集合的子集个数是2n，非空子集的个数是2n－1，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.
（5）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.
3.集合的基本运算
常用结论
集合的运算性质
（1）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
（2）∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）.
1.下列说法正确的是 （ D ）
A.{x｜y＝x2}＝{y｜y＝x2}＝{（x，y）｜y＝x2}
B.方程x－2 024＋（y＋2 025）2＝0的解集为{2 024，－2 025}
C.若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或1
D.对任意两个集合A，B，（A∩B）⊆（A∪B）恒成立
2.若集合P＝{x∈N｜x≤2 025}，a＝22，则（ D ）
A.a∈PB.{a}∈PC.{a}⊆PD.a∉P
3.集合{a，b}的真子集的个数为 3 .
解析 解法一 集合{a，b}的真子集为⌀，{a}，{b}，有3个.
解法二 集合{a，b}有2个元素，则集合{a，b}的真子集的个数为22－1＝3.
4.设a，b∈R，P＝{2，a}，Q＝{－1，－b}，若P＝Q，则a－b＝ 1 .
解析 ∵P＝Q，∴a＝－1，－b=2，∴a－b＝－1－（－2）＝1.
5.已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（∁UB）＝ {2，4} ，（∁UA）∩（∁UB）＝ {6} .
解析 ∵∁UA＝{1，3，6，7}，∁UB＝{2，4，6}，∴A∩（∁UB）＝{2，4，5}∩{2，4，6}＝{2，4}，（∁UA）∩（∁UB）＝{1，3，6，7}∩{2，4，6}＝{6}.
学生用书P002
命题点1 集合的概念
例1 （1）[2022全国卷乙]设全集U＝{1，2，3，4，5}， 集合M满足∁UM＝{1，3}，则（ A ）
A.2∈MB.3∈M
C.4∉MD.5∉M
解析 由题意知M＝{2，4，5}，故选A.
（2）[全国卷Ⅲ]已知集合A＝{（x，y）｜x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）｜x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为（ C ）
A.2B.3
C.4D.6
解析 由题意得，A∩B＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}，所以A∩B中元素的个数为4，故选C.
方法技巧
1.解决集合含义问题的三个关键点：一是确定构成集合的元素；二是分析元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题.2.常见集合的含义
训练1 （1）[多选/2024黑龙江模拟]已知集合A＝{x｜4ax2－4（a＋2）x＋9＝0}中只有一个元素，则实数a的可能取值为（ ABD ）
A.0B.1C.2D.4
解析 当a＝0时，－8x＋9＝0，解得x＝98，所以A＝{98}，符合题意；当a≠0时，由题意，得Δ＝[4（a＋2）]2－4×4a×9＝0，解得a＝1或a＝4.故选ABD.
（2）[多选/2023江苏省镇江中学模拟]已知集合A＝{y｜y＝x2＋2}，集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}，下列关系正确的是（ AB ）
A.（1，3）∈BB.（0，0）∉B
C.0∈AD.A＝B
解析 ∵集合A＝{y｜y≥2}＝[2，＋∞），集合B＝{（x，y）｜y＝x2＋2}是由抛物线y＝x2＋2上的点组成的集合，∴AB正确，CD错误，故选AB.
（3）已知集合A＝{0，m，m2－5m＋6}，且2∈A，则实数m的值为 1或4 .
解析 因为A＝{0，m，m2－5m＋6}，2∈A，所以m＝2或m2－5m＋6＝2.当m＝2时，m2－5m＋6＝0，不满足集合中元素互异性，所以m＝2不符合题意.当m2－5m＋6＝2时，m＝1或m＝4，
若m＝1，A＝{0，1，2}符合题意；若m＝4，A＝{0，4，2}符合题意.所以实数m的值为1或4.
命题点2 集合间的基本关系
例2 （1）[2023新高考卷Ⅱ]设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝（ B ）
A.2B.1C.23D.－1
解析 依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1，故选B.
（2）[2024山西太原模拟]满足条件{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}的集合A的个数是（ C ）
A.5B.6C.7D.8
解析 解法一 因为集合{1，2}⊆A⫋{1，2，3，4，5}，所以集合A可以是{1，2}，{1，2，3}， {1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，共 7 个.故选C.
解法二 问题等价于求集合{3，4，5}的真子集的个数，则共有23－1＝7个.故选C.
方法技巧
1.求集合的子集个数，常借助列举法和公式法求解.
2.根据两集合间的关系求参数，常根据集合间的关系转化为方程（组）或不等式（组）求解，求解时注意集合中元素的互异性和端点值能否取到.
注意 在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的情况，如已知集合A、非空集合B满足A⊆B或A⫋B，则有A＝⌀和A≠⌀两种情况.
训练2 （1）设集合P＝{y｜y＝x2＋1}，M＝{x｜y＝x2＋1}，则集合M与集合P的关系是（ D ）
A.M＝PB.P∈M
C.M⫋PD.P⫋M
解析 ∵P＝{y｜y＝x2＋1}＝{y｜y≥1}，M＝{x｜y＝x2＋1}＝R，∴P⫋M.故选D.
（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为 （－∞，3] .
解析 因为B⊆A，所以分以下两种情况：
①若B＝∅，则2m－1＜m＋1，此时m＜2；
②若B≠∅，则2m－1≥m+1，m+1≥－2，2m－1≤5，解得2≤m≤3.
由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为（－∞，3].
命题点3 集合的基本运算
角度1 集合的交、并、补运算
例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x｜x2－x－6≥0}，则M∩N＝（ C ）
A.{－2，－1，0，1}B.{0，1，2}
C.{－2}D.{2}
解析 解法一因为N＝{x｜x2－x－6≥0}＝{x｜x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故选C.
解法二 因为1∉N，所以1∉M∩N，排除A，B；因为2∉N，所以2∉M∩N，排除D.故选C.
（2）[2023全国卷甲]设全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，则∁U（M∪N）＝（ A ）
A.{x｜x＝3k，k∈Z}B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}
C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}D.∅
解析 解法一 M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故选A.
解法二 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好能被3整除的整数集，故选A.
角度2 已知集合运算结果求参数
例4 （1）[全国卷Ⅰ]设集合A＝{x｜x2－4≤0}，B＝{x｜2x＋a≤0}，且A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，则a＝（ B ）
A.－4B.－2C.2D.4
解析 易知A＝{x｜－2≤x≤2}，B＝{x｜x≤－a2}，因为A∩B＝{x｜－2≤x≤1}，所以－a2＝1，解得a＝－2.故选B.
（2）已知集合A＝{x｜y＝ln（1－x2）}，B＝{x｜x≤a}，若（∁RA）∪B＝R，则实数a的取值范围为（ B ）
A.（1，＋∞）B.[1，＋∞）
C.（－∞，1）D.（－∞，1]
解析 由题可知A＝{x｜y＝ln（1－x2）}＝{x｜－1＜x＜1}，∁RA＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以由（∁RA）∪B＝R，B＝{x｜x≤a}，得a≥1.
方法技巧
1.处理集合的交、并、补运算时，一是要明确集合中的元素是什么，二是要能够化简集合，得出元素满足的最简条件.
2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可借助Venn图求解；如果集合中的元素是连续的，可借助数轴求解，此时要注意端点的情况.
训练3 （1）[2023全国卷乙]设集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，则{x｜x≥2}＝（ A ）
A.∁U（M∪N）B.N∪∁UM
C.∁U（M∩N）D.M∪∁UN
解析 由题意知M∪N＝{x｜x＜2}，所以∁U（M∪N）＝{x｜x≥2}，故选A.
（2）[2023江西省联考]已知集合A＝{（x，y）｜（x－1）2＋y2＝1}，B＝{（x，y）｜kx－y－2＜0}.若A∩B＝A，则实数k的取值范围是（ A ）
A.（－∞，34）B.（34，3）
C.（34，＋∞）D.（－∞，34]
解析 因为A∩B＝A，所以A⊆B，则圆（x－1）2＋y2＝1在直线y＝kx－2的上方，则k×1－21，解得k＜34.
命题点4 集合中的计数问题
例5 [全国卷Ⅲ]《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ C ）
A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8
解析 解法一 由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为 90－80＋60＝70，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70÷100＝0.7.故选C.
解法二 用Venn图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系，如图，
易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.
方法技巧
集合中元素的个数问题的求解策略
关于集合中元素的个数问题，常借助Venn图或用公式card（A∪B）＝card（A）＋
card（B）－ card（A∩B），card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－
card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）（card（A）表示有限集合A中元素的个数）求解.
训练4 向50名学生调查对A，B两种观点的态度，结果如下：赞成观点A的学生人数是全体人数的35，其余的不赞成；赞成观点B的学生人数比赞成观点A的多3人，其余的不赞成；另外，对观点A，B都不赞成的学生人数比对观点A，B都赞成的学生人数的13多1人，则对观点A，B都赞成的学生有 21 人.
解析 赞成观点A的学生人数为50×35＝30，赞成观点B的学生人数为30＋3＝33.如图，记50名学生组成的集合为U，赞成观点A的学生全体为集合A，赞成观点B的学生全体为集合B.设对观点A，B都赞成的学生人数为x，则对观点A，B都不赞成的学生人数为x3＋1，赞成观点A或赞成观点B的学生人数为30＋33－x.依题意30＋33－x＋x3＋1＝50，解得x＝21.故对观点A，B都赞成的学生有21人.
命题点5 集合的新定义问题
例6 （1）[2024上海市晋元高级中学模拟]已知集合M＝{1，2，3，4，5，6}，集合A⊆M，定义M（A）为A中元素的最小值，当A取遍M的所有非空子集时，对应的
M（A）的和记为S，则S＝ 120 .
解析 由M＝{1，2，3，4，5，6}得，M的非空子集A共有26－1个，其中最小值为1的有25个，最小值为2的有24个，最小值为3的有23个，最小值为4的有22个， 最小值为5的有21个，最小值为6的有20个，故S＝25×1＋24×2＋23×3＋22×4＋2×5＋1×6＝120.
（2）若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“全食”；若两个集合有公共元素但不互为对方的子集，则称两个集合构成“偏食”.已知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}和集合B＝{x｜x2－x－2＜0}，若集合A，B构成“偏食”，则实数t的取值范围为 （1，2） .
解析 由题意，可知集合A＝{x｜－t＜x＜t，t＞0}，集合B＝{x｜－1＜x＜2}，因为集合A，B构成“偏食”，所以t>0，－t＜－1