广东省2025届高三上学期普通高中毕业班第二次调研考试数学试卷(含答案)

这是一份广东省2025届高三上学期普通高中毕业班第二次调研考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．若双曲线满足,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
3．设全集,,则( )
A.B.C.D.
4．已知四棱锥的体积为4,底面是边长为的正方形,,则直线与平面所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.
5．设a,b,c分别为函数,,的零点,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.
C.D.
6．已知向量,,,则四边形的面积为( )
A.B.C.D.
7．已知函数,,,且在区间上单调,则的最大值为( )
A.B.C.D.
8．一个正八面体的八个面分别标有数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体,观察它与地面接触的面上的数字.事件,事件,若事件C满足,,则满足条件的事件C的个数为( )
A.4B.8C.16D.24
二、多项选择题
9．已知复数z满足,则( )
A. z可以是
B.若z为纯虚数,则z的虚部是2
C.
D.
10．已知等差数列的前n项和为,且,,则( )
A.
B.
C.当时,取得最小值
D.记,则数列前n项和为
11．已知函数,则( )
A.当时,在上的最大值为
B.在上单调递增
C.当时,
D.当且仅当时,曲线与x轴有三个交点
三、填空题
12．在中,,,,则______________.
13．若函数的图象与直线有两个交点,则a的最小值为__________.
四、双空题
14．已知点F为椭圆的右焦点,直线l与椭圆相交于A,B两点,且与圆在y轴右侧相切.若l经过点F且垂直于x轴,则___________;若l没有经过点F,则的周长为________________.
五、解答题
15．某市举办一年一度的风筝节,吸引大批游客前来观赏.为了解交通状况,有关部门随机抽取了200位游客,对其出行方式进行了问卷调查（每位游客只填写一种出行方式）,具体情况如下：
用上表样本的频率估计概率,低碳出行方式包括地铁、公交车、骑行和步行：
(1)若从参加活动的所有游客中随机抽取3人,这3人中低碳出行的人数记为X,求和;
(2)据另一项调查显示,80%的低碳出行的游客表示明年将继续参加活动,60%的非低碳出行的游客表示明年将继续参加活动,求今年参加活动的游客明年继续参加活动的概率.
16．已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)证明：.
17．如图,四棱锥的底面是边长为2菱形,,E,F分别是,的中点.
(1)求证;平面;
(2)若,,,求平面与平面所成角的余弦值.
18．在数列中,,都有,,成等差数列,且公差为.
(1)求,,,;
(2)求数列的通项公式;
(3)是否存在x,使得,,,成等比数列.若存在,求出x的值;若不存在,说明理由.
19．已知集合,,设函数.
(1)当和时,分别判断函数是否是常数函数？说明理由;
(2)已知,求函数是常数函数的概率;
(3)写出函数是常数函数的一个充分条件,并说明理由.
参考答案
1．答案：A
解析：由解得或,因为是或的真子集,
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选：A.
2．答案：C
解析：由,得,
即.
故选：C.
3．答案：A
解析：因为,则,即,因为.
故选：A.
4．答案：B
解析：四棱锥的体积,得,
直线与平面所成角的正弦值为,
故选：B.
5．答案：D
解析：因为时,,又因为单调递增,所以;
若,则,所以时,,即;
若,则,所以时,,即.
综上所述,,
故选：D.
6．答案：B
解析：因为,,所以四边形为直角梯形.
,,,则面积,
故选：B.
7．答案：B
解析：由题意知,,则,
因为,所以,又因为在区间上单调,
所以,解得,则的最大值为.
故选：B.
8．答案：C
解析：样本空间,这是一个古典概型,可得,,
即,,从而且.
由可得事件;又因为,所以1或2.
(1)若,则,即,,
此时不满足;
(2)若,则,且,又因为,
所以或,即或3;
①若,,此时或或或
,也就是从事件中的四个样本点中选3个,再加入6这一个样本
点,即有个满足条件的事件C;
②若,,同理有个满足条件的事件C;
③若,,此时或或或,
即从事件的四个样本点中选1个,再加入5,6,7这三个样本点,即有个满足条件的事件C;
④若,,同理有4个满足条件的事件C;
综上所述,满足条件的事件C共计个.
故选：C.
9．答案：AC
解析：当时,,选项A正确;
若为纯虚数,则,选项B错误;
易知,选项C正确;
由可知,在复平面上,复数z对应的点Z在以点为圆心,2为半径的圆上,
的几何意义是点Z到点的距离,可得,选项D错误,
故选：AC.
10．答案：BCD
解析：设公差为d,因为,则,
解得.由得,选项A错误;
,则,选项B正确,
二次函数性质知道时,最小,选项C正确;
,所以为等差数列,,
前n项和为,选项D正确.
故选：BCD.
11．答案：ABD
解析：(1)当时,可得则;
则当时,,单调递增;
当时,,单调递减,如图（a）;
当时,,选项A正确;
(2)当时,易知
①当时,恒成立,单调递增,如图（b）;
②当时,当时,,单调递增;
当时,,单调递减,如图（c）;
(3)当时,易知
当时,,单调递增;
当时,,单调递减;如图（d）
综上所述,在上单调递增,选项B正确;
当时,不一定成立,比如时,,选项C错误;
只有时,的图象与轴可能有三个交点,
此时解得,选项D正确,
故选：ABD.
12．答案：
解析：由正弦定理,得,
解得,
又,所以,即.
故答案为：.
13．答案：3
解析：函数是偶函数,
且,
当且仅当时等号成立,此时,
因为的图象与直线有两个交点,所以a的最小值为3.
故答案为：3.
14．答案：;
解析：设,易知长半轴长,离心率;
设l与圆O相切于点M,若l垂直于x轴,此时M与F重合,则有,
所以,得,
此时直线,将代入得,所以.
若l没有经过F点,设,,
由椭圆性质和题意可知,,所以,
.
由椭圆方程得,
代入上式有.
,
则,
同理,所以的周长.
故答案为：,.
15．答案：(1),
(2).
解析：(1)记“低碳出行”为事件A,估计.
则,,
;
(2)由(1)知,则有,
记“今年参加活动的游客明年继续参加活动”为事件B,
由题意,,
所以.
16．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1),
,则,
曲线在点处的切线方程为.
(2)解法1：定义域为.
①当时,,,则,即;
②当时,.
设,,
由于,均在上单调递增,故在上单调递增,,
所以,
所以在上单调递增,,,即,
所以在上单调递增,,则,
综上所述,.
解法2：定义域为.
要证,只需证,只需证,
令,,,
当,,单调递减;
当,,单调递增,
,
,
当,,单调递增;
当,,单调递减,
,
综上所述,,也就是,即
17．答案：(1)证明见解析
(2).
解析：(1)取的中点为G,连接,.
点F,G分别是,的中点,
是的中位线,即,,
在菱形中,,.
,,即四边形为平行四边形,则,
又平面,平面,平面.
(2)连接,,
,,,平面,平面,
平面,
又平面,,
,
又,则,所以.
即直线,,两两垂直.
如图,以E为坐标原点建立空间直角坐标系,
则,,,,
,,,.
设平面的法向量为,平面的法向量为,
由得取.
由得取.
设平面与平面所成角为,则
,
即平面与平面所成角的余弦值为.
18．答案：(1)3;5;9;13
(2)
(3)存在,
解析：(1)由题意,,,成等差数列,公差为2;,,成等差数列,公差为4.
则,,,.
(2)由题意,.
当,时,
,
且满足上式,所以当为奇数时,.
当时,.
所以
(3)存在时,使得,,,成等比数列
证明如下：
由(2)可得,,,
假设,,成等比数列,
则,
化简得,所以,即,
此时,所以当时,,,,成等比数列.
19．答案：(1)答案见解析
(2)
(3),理由见解析
解析：(1)当时,,
此时是常数函数;
当时,
,此时不是常数函数.
(2)设,不妨令.
.
若函数是常数函数,则
则,
得,所以,
得或,,所以或,,
同理或,,或,,
则①
集合共有13个元素,从中任取3个元素组成集合M,
共个,
而满足①的集合M有,,,,,共5个,
则使得函数是常数函数的概率为.
(3)不妨令,
因为
,
若函数是常数函数,则
得,所以,
得,,所以,,
①当n为偶数时,可以拆分成组两项（,）的和,每一组为定值时,也为定值,
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是
②当为奇数时,可以拆分成1组三项的和与组两项（,）的和,每一组为定值时,也为定值,
所以函数是常数函数的一个充分条件可以是
.
综上所述,
当n为偶数时,函数是常数函数的一个充分条件可以是
;
当为奇数时,函数是常数函数的一个充分条件可以是
.
出行方式
地铁
公交车
出租车
自驾
骑行
步行
频数
54
27
38
42
18
21
图（a）
图（b）
图（c）
图（d）